一道中考試題的多解探究與教學啟示

幾何問題作為初中數學的核心內容，在中考中常以綜合性試題的形式考查學生的知識整合與思維能力.2024年陜西中考第13題是一道以等腰三角形為背景的不規則四邊形面積問題，有一定的綜合性，對學生的數學素養有較高的要求.本文中通過多角度探究其解法，揭示問題本質，為同類問題的教學與備考提供思路.

1試題呈現

（2024年陜西中考第13題）如圖1，在 ΔABC 中， AB= AC，E 是邊 _AB 上一點，連接CE ，在BC的右側作 BF//AC ，且 BF=AE .連接 CF .若 AC=

圖1

13，BC=10 ，則四邊形EBFC的面積為

此題主要考查等腰三角形的性質、平行線的性質、角平分線的性質、勾股定理等初中平面幾何核心知識，同時滲透了轉化與化歸的思想.此題作為填空題的最后一題，綜合性較強，具有一定的區分度.學生不僅要熟練掌握單個知識點的具體內容，還需要具備將不同知識點串聯起來、構建完整解題邏輯鏈的能力.解決本題的關鍵點在于從不規則圖形中找到與規則圖形的關聯，進而突破解題難點.

2解法探究

以上問題求解思路開闊，解法多樣，下面從不同角度呈現多種解法.

思路1：等積變形法.

等積變形是求解不規則圖形面積的重要方法，通過平移、旋轉、分割、拼接等操作改變圖形形狀，同時保持面積不變，把復雜圖形轉化為易求面積的圖形，從而有效簡化問題.

解法1：因為 AB=AC ，所以 ∠ABC=∠ACB 又因為 BF//AC ，所以 ∠CBF= ∠ACB ，所以 ∠ABC=∠CBF 則 BC 平分 ∠ABF

圖2

如圖2，過點 c 作 CM⊥AB 于點 M，CN⊥BF 于點 N ，則CM=CN ：

因為S△ACE 且 BF=AE ，所以 S_ΔCBF=S_ΔACE .因此四邊形EBFC的面積 S△ABC·

因為 AB=AC=13 ，設 AM=x ，則 BM=13-x在 RtΔACM 和 RtΔBCM 中，由勾股定理得 CM²=AC²-AM²=BC²-BM² ，所以 13²-x²=10²- （204號（13-x）² ，解得 ：

所以 因此 （204號解法2：同解法1，可知S四邊形EBFc=S△ABC·

如圖3，過點 A 作 AP⊥ CB ，垂足為 P .因為 AB=AC= 13，BC=10 ，所以 5.在 RtΔABP 中，由勾股定理可知

圖3

于是，可得 （204號解法3：如圖4，過點 A 作 AG⊥BC 于點 G ，同解法2可知 AG=12. 分別過點 E，F 作 BC 的垂線，垂足分別為 _N，M 過點 E 作 AG 的垂線，垂足為 H容易知 EH//BC ，所以∠AEH=∠ABC.

因為 BF//AC ，所以可得∠FBM=∠ACB

圖4

因為 AB=AC ，所以可得∠ABC=∠ACB ：

所以 ∠AEH=∠FBM 又 AE=FB ，所以 RtΔAEH?RtΔFBM.

所以 AH=FM

易知四邊形 ENGH 為矩形，所以 EN=GH 所以，

思路2：極限求值法（特殊位置法）.

極限求值法（特殊位置法）通過將圖形的某些元素推向極限狀態（特殊位置），如點無限靠近、線無限延伸等，把復雜幾何關系簡化，進而求解幾何量或確定幾何圖形之間的位置關系.這一方法為解決幾何難題提供了巧妙思路，在考場上可以節省大量寶貴時間.需要注意的是，極限求值法不是嚴謹的方法，只適用于填空題或選擇題，不適用于解答題和證明題.另外，為避免因特殊位置的局限性導致答案偏差，可結合常規解法對結果進行驗證.總之，極限求值法用于“猜想答案”，而常規方法用于“推導答案”，讓學生理解兩種方法的互補性，既掌握快速解題技巧，又不忽視邏輯嚴謹性.

解法4：如圖5和圖6，當點 E 無限接近點 A 直到與點 A 重合時，點 F 也無限接近點 B 直到與點 B 重合，于是四邊形EBFC轉化為△ABC.

根據前面的解法可知 S_ΔABC=60 ，故 S_ΔABC=60

圖5

圖6

解法5：如圖7和圖8，當點 E 無限接近點 B 直到與點 B 重合時，四邊形EBFC轉化為 ΔCBF .此時BF=AE=AB=AC ，又因為 BF//AC ，所以四邊形ABFC 為平行四邊形.

此時，

圖7

圖8

3教學啟示

3.1強化轉化思想，構建幾何變換思維

等積變形法的核心是“變中抓不變”，教學中需引導學生觀察圖形關系（如角平分線、平行線、全等三角形），掌握平移、旋轉、對稱等變換技巧，體會“不規則圖形—規則圖形\"的轉化路徑.例如，通過角平分線或平行線的性質建立等高關系，利用等底等高三角形面積相等將問題進行轉化.

3.2滲透極限思維，突破位置約束

極限求值法（特殊位置法）是解決某些幾何問題的“捷徑”，主要適用于動態圖形問題.教學中可通過幾何畫板演示圖形的動態變化過程，引導學生直觀感受圖形變化中的不變量（如面積不變），培養思維靈活性與應試能力.

3.3夯實幾何基礎，提升綜合應用能力

本題涉及等腰三角形性質、勾股定理、全等三角形等核心知識，需在日常教學中夯實基礎，通過一題多解訓練，幫助學生掌握知識間的關聯.例如，在解決本文問題的過程中，結合等腰三角形“三線合一”與勾股定理求出三角形的高，為面積計算奠定基礎；利用平行線性質推導角度關系，建立全等或相似的條件.

3.4關注幾何直觀，培養數學核心素養

通過圖形分析，將抽象關系轉化為直觀的線段與面積關系，強化學生的幾何直觀能力.同時，引導學生用數學語言規范表達推理過程，提升邏輯推理與數學表達素養.

通過對一道中考試題的多解探究，不僅展現了幾何問題的豐富內涵，更揭示了轉化思想、極限思維在解題中的關鍵作用.教學中需以典型試題為載體，引導學生進行多角度分析，積累解題經驗，培養“化繁為簡\"的數學思維，提升數學綜合素養.Z