直角三角形在求解實(shí)際應(yīng)用類試題中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解直角三角形不僅是幾何與代數(shù)知識(shí)融合的重要內(nèi)容，更是聯(lián)系實(shí)際、發(fā)展學(xué)生空間觀念和應(yīng)用意識(shí)的關(guān)鍵載體.特別是在解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用中，測(cè)高、定位與測(cè)距三類問題最具代表性，廣泛涉及生活、工程與地理等領(lǐng)域，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的實(shí)用性與價(jià)值性.本文中以“解直角三角形解決實(shí)際問題”為主題，聚焦測(cè)高問題、定位問題和測(cè)距問題三種常見題型，從問題特征、數(shù)學(xué)建模到解題方法進(jìn)行系統(tǒng)分析，旨在幫助教師把握教學(xué)重點(diǎn)，提升學(xué)生的建模能力與實(shí)際問題解決能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的有效銜接，

1測(cè)高問題

（2025年天津市中考）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要用測(cè)角儀測(cè)量天津站附近世紀(jì)鐘建筑AB的高度（如圖1）.某學(xué)習(xí)小組設(shè)計(jì)了一個(gè)方案：如圖2所示，點(diǎn) A ，Ψ_E，C 依次在同一條水平直線上， CD⊥AC，EF⊥AC ，且 CD=EF=1.7m 在 D 處測(cè)得世紀(jì)鐘建筑頂部 B 的仰角為 22^° ，在 F 處測(cè)得世紀(jì)鐘建筑頂部 B 的仰角為 31^°，CE=32m .根據(jù)該學(xué)習(xí)小組測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算世紀(jì)鐘建筑 _AB 的高度（結(jié)果取整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：tan 22^°≈0.4 ，tan 31^°≈0.6

則 tan 31o在Rt△DGB 中，tan∠GDB GD，則 tan 22°·又 GF+DF=GD，則 tan 22，即GB 38.4.所以 AB=AG+GB≈1.7+38.4≈40（m）

答：世紀(jì)鐘建筑 AB 的高度約為 40m

點(diǎn)評(píng)：本題圍繞仰角觀測(cè)設(shè)計(jì)測(cè)高方案，構(gòu)建兩個(gè)直角三角形模型，通過銳角三角函數(shù)關(guān)系建立等式，最終求得建筑物的高度.考查學(xué)生對(duì)函數(shù)定義及圖形關(guān)系的靈活運(yùn)用能力，體現(xiàn)了解直角三角形在實(shí)際中的典型應(yīng)用，有助于培養(yǎng)空間建模與邏輯推理素養(yǎng).

2定位問題

（2025年重慶市中考）為加強(qiáng)森林防火，某林場(chǎng)采用人工瞭望與無人機(jī)巡視兩種方式監(jiān)測(cè)森林情況.如圖 _{4，A，B，C，D} 四點(diǎn)在同一平面內(nèi)， A 是瞭望臺(tái)，某一時(shí)刻，觀測(cè)到甲無人機(jī)位于 A 的正東方向 10km 的B 處，乙無人機(jī)位于 A 的南偏西 30^° 方向 20km 的 D 處.兩無人機(jī)同時(shí)飛往 c 處巡視， D 位于 c 的正西方向上， B 位于 c 的北偏西 30^° 方向上.（參考數(shù)據(jù)： 1.41， .

圖1

圖2

解析：如圖3，延長(zhǎng) DF 與 AB 相交于點(diǎn) G ，根據(jù)題意可得四邊形 GAEF 和四邊形FECD是矩形， ∠GDB= ∠2^°，∠GFB=31^° ∠DGB= 90^° ，所以 AG=EF=CD=

圖3

1.7，DF=CE=32. 在 RtΔFGB 中， ，（1）求BD的長(zhǎng)度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；

圖4

（2）甲、乙兩無人機(jī)同時(shí)分別從 B，D 出發(fā)沿 BC ，DC 往 c 處進(jìn)行巡視，乙無人機(jī)速度為甲無人機(jī)速度的2倍.當(dāng)兩無人機(jī)相距 20km 時(shí)，它們可以開始相互接收到信號(hào).請(qǐng)問：甲無人機(jī)飛離 B 處多少千米時(shí)，兩無人機(jī)可以開始相互接收到信號(hào)（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？

解析：（1）如圖5所示，過點(diǎn) A 作 AE⊥CD 于點(diǎn)E ，過點(diǎn) B 作 BF⊥CD 于點(diǎn) F ，則 ∠AED=∠BFC= 90^° 由題意得 ∠DAE=30^° 在 RtΔADE 中， AE=

因?yàn)榧谉o人機(jī)位于 A 的正東方向 10km 的 B 處， D 位于 C 的正西方向上，則AB//CD ，所以 AE⊥AB，BF⊥AB ，則四邊形AEFB是矩形，所以

故 （2

答： BD 的長(zhǎng)度約為 26.5km

圖5

圖6

（2）如圖6所示，當(dāng)甲無人機(jī)運(yùn)動(dòng)到 M 處，乙無人機(jī)運(yùn)動(dòng)到 N 處時(shí)，滿足 MN=20. 過點(diǎn) M 作MT⊥CD于點(diǎn) T .由題意可得到 ∠BCF=90^°-30^°=60^°， 在RtΔFBC 中，可得 ，于是有 CD=DF+ CF=30. 設(shè) BM=x ，則有 DN=2x，CM=20-x. 在RtΔCMT 中， CT=CM?cos∠MCT=（20-x） ·cos sin x，于是 TN=CD-DN -CT= x.在 Rt△MNT 中，可得 MN2=MT2+NT2，即202=（10√3-√3x ，解得 或 （此時(shí)大于 BC 的長(zhǎng)，舍去），所以

答：甲無人機(jī)飛離 B 處約 3.8km 時(shí)，兩無人機(jī)可以開始相互接收到信號(hào).

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合幾何構(gòu)型與運(yùn)動(dòng)情境，利用矩形與直角三角形的構(gòu)造方法，精確定位無人機(jī)位置并建立路徑關(guān)系.通過設(shè)置變量與構(gòu)建方程考查代數(shù)與幾何的融合能力，是“定位問題”在多步推理與圖形變換中的綜合體現(xiàn)，突出了解直角三角形在動(dòng)態(tài)分析中的實(shí)用性.

3測(cè)距問題

（2025年安徽省中考）某公司為慶祝新產(chǎn)品上市，在甲樓與乙樓的樓頂之間懸掛彩帶營(yíng)造喜慶氣氛.如圖7所示，甲樓和乙樓分別用與水平地面垂直的線段 _AB 和 CD 表示，彩帶用線段 AD 表示.工作人員在點(diǎn) A 處測(cè)得點(diǎn) c 的俯角為 23.8^° ，測(cè)得點(diǎn) D 的仰角為 36.9^° 已知 AB=13.20m ，求 AD 的長(zhǎng)（精確到 0.1m^， .參考數(shù)據(jù)：sin 23.8^°≈0.40 ，cos 23.8^°≈0.91 ，tan 23.8^°≈0.44 ，sin 36.9^°≈0.60 ，cos 36.9^°≈0.80 ，tan 36.9^°≈0.75

圖7

圖8

解析：如圖8，過點(diǎn) A 作 AE⊥CD ，垂足為 E .由題意得四邊形ABCE為矩形，所以可得 CE=AB= 13.20.在 RtΔACE 中， AE，所以AE= 在 RtΔADE 中，（2 （204號(hào) ，所以 ，

因此， AD 的長(zhǎng)約為 37.5m

點(diǎn)評(píng)：本題通過仰角與俯角信息構(gòu)建兩個(gè)直角三角形，逐步求解出水平距離與斜邊長(zhǎng)度，強(qiáng)調(diào)了輔助線的構(gòu)造與函數(shù)值運(yùn)用的精確性.問題背景貼近生活，易引發(fā)學(xué)生興趣，充分展現(xiàn)了解直角三角形在測(cè)距類問題中的直觀建模與精準(zhǔn)求解價(jià)值.

4解法總結(jié)

測(cè)高、定位與測(cè)距問題雖具體情境各異，但本質(zhì)上均依賴于構(gòu)建直角三角形模型，并運(yùn)用銳角三角函數(shù)（正切、余弦、正弦）進(jìn)行量的計(jì)算與轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了解直角三角形在實(shí)際問題中的廣泛適用性.對(duì)于測(cè)高問題，常以仰角為切入點(diǎn)，通過建立“高度一水平距離—角度\"的直角三角形關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用正切函數(shù)進(jìn)行模型轉(zhuǎn)化與求解；對(duì)于定位問題，則強(qiáng)調(diào)圖形構(gòu)造與幾何變換能力，需準(zhǔn)確繪制輔助線（如垂線、平行線），利用圖形的對(duì)稱性、矩形性質(zhì)及直角三角形關(guān)系綜合定位目標(biāo)位置，并結(jié)合運(yùn)動(dòng)關(guān)系通過列代數(shù)方程解決變量問題；而在測(cè)距問題中，俯角與仰角共同構(gòu)成兩個(gè)直角三角形，先通過函數(shù)關(guān)系求得水平距離，再由余弦或正切函數(shù)推得斜邊長(zhǎng)度.這三類問題均體現(xiàn)了解題路徑的共通性：明確信息、構(gòu)建模型、選取函數(shù)、準(zhǔn)確計(jì)算.此外，正確讀圖、合理添加輔助線、靈活運(yùn)用三角函數(shù)定義，是解決此類問題的關(guān)鍵策略.教學(xué)中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中提取幾何關(guān)系，訓(xùn)練其抽象建模與函數(shù)應(yīng)用能力，從而提升其綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的素養(yǎng).Z