構造直角三角形之“無中生有”“有一生二”

在中考數學中，有一類圖形跟多種知識點關系緊密，這便是直角三角形，既能以勾股定理的形式來考查，進而延伸到圓半徑、弦長、圓心角等，體現以數解形、數形結合、轉化化歸的思想，又能與銳角三角函數一起出現，還能與開放性題一起考查.但是，有些題干并不是直接給出直角三角形，而是以鈍角三角形、銳角三角形乃至四邊形的形式給出，有時候題中已經給出了直角三角形，但是仍然需要我們進一步構造其他直角三角形，因此如何“無中生有”“有一生二\"構造直角三角形成了破除此類難題的關鍵所在，掌握這些方法，解答這類題目就會得心應手.

1題型一：背靠背構造直角三角形

例1為了增強職工體質，提升職工凝聚力，某單位工會組織了一次踏春徒步活動，如圖1.

圖1

A 點為出發(fā)點，途中設置兩個緩沖點，分別為 B 點和 c 點，行進路線為 點在 A 點的南偏東 25^° 方向 處， c 點在 A 點的北偏東 80^° 方向，行進路線 AB 和 BC 所在直線的夾角∠ABC 為 45^° ，求緩沖點 B 和 c 之間的距離.

思維概述：此題需要我們構造一個直角三角形，進而解題.可以利用“垂線構造法”“截長法”或“補短法”，通過截取或補充線段，將非直角三角形轉化為直角三角形.

解析：如圖2，過點 A 作 AD⊥BC 垂足為 D ，則 ∠ADB=∠ADC=90^° A： ∠ABD=45^° ，·.∠BAD=∠ABD=45^° B" 進一步求得 ，于是可得 B 和 C 之間的距離為

2題型二：構造含特殊角的直角三角形

例2如圖3，在 ΔABC 中，點 D，E，F 分別在

AB，BC，AC 邊上，且 DE=EF ∠DEF=∠B=90^° ，若 ∠A=45^° 求證：

思維概述一：要證 CF 與 BE 之間存在 倍的關系，需要構造一個等腰直角三角形，因此需要巧妙借助 45^° 或 90^° 構造出一個等腰直角三角形，這樣題目就迎刃而解了.

解法一：如圖4所示，過點 F 作 FG⊥BC 于點 G ：. ?∠B=90^°，∠A=45^°. ·.∠C=∠A=45^° ： ∠DEF=90^° ，·.∠DEB+∠FEC=90^°. ： ∠FEC=∠EDB

圖4

在 ΔFEG 和 ΔEDB 中， ∠FGE=∠B ， ∠FEG= ∠EDB，EF=DE .：△FEG≌△EDB（AAS）.∴ FG=EB 在 RtΔFGC 中， ∠FGC=90^° ∠C=45^° ，· 思維概述二：借助 ∠B=90^° ，構造出 ，借助∠C=45^° ，構造等腰直角三角形，證全等.

解法二：如圖5，以點 B 為直角 A

頂點向下作等腰直角三角形 BEG ，

則 D： ∠ABC=90^°，∠A=45^° F： ΔABC 為等腰直角三形. B1 E 【·： ∠C=∠A=45^° G： ∠DEF=∠ABC=90^°. （2號 ∴∠DEB+∠FEC=90^° ∠DEB+∠BDE=90^°. ·∠FEC=∠BDE 在 ΔDEG 和 ΔEFC 中， ∠G=∠C ， ∠EDG=∠FEC， DE=EF ，： ?ΔDEG?ΔEFC（AA S）.∴