探秘二次函數新定義：最優縱橫值、縱三倍點和永恒點

1函數“最優縱橫值”問題

例1（2024·遼寧遼陽初三檢測）【定義】在平面直角坐標系中，對“縱橫值\"給出如下定義：點 A（x，y） 是函數圖象上任意一點，縱坐標 與橫坐標 x 的差4 ”稱為點 A 的“縱橫值”函數圖象上所有點的“縱橫值”中的最大值稱為函數的“最優縱橫值”.

【概念理解】已知點 A（1，3） 在函數 y=2x+1 的圖象上.點 A（1，3） 的\"縱橫值”為 y-x=3-1=2. 函數 y=2x+1 圖象上所有點的“縱橫值”可以表示為（204號 y-x=2x+1-x=x+1. 當 3?x?6 時， x+1 的最大值為 6+1=7 ，所以函數 y=2x+1（3?x?6） 的“最優縱橫值\"為7.

【嘗試應用】根據定義，解答下列問題：

（1） ① 點 B（-5，1） 的“縱橫值”為 “ ② 求出 函數 4+（2≤≤4）的“最優縱橫值\".

（2）若二次函數 y=-x²+bx+c 的頂點在直線 上，且“最優縱橫值\"為6，求 c 的值.

（3）若二次函數 y=-x²+（2b+1）x-b²+3 ，當-1?x?4 時，二次函數的“最優縱橫”值為2，直接寫出 b 的值.

解析： （1）① 點 B（-5，1） 的“縱橫值”為 1-（-5）= 6.② 函數 的“縱橫值”為 y-x= 當 2?x?4 時， 的最大值為 .故函數 的“最優縱橫值”為2.

（2）因為拋物線的頂點在直線 上，所以 2，則b=3，所以y=-χ2+3x+c，于是y-x=-x²+2x+c=-（x-1）²+c+1. 因為“最優縱橫”值為6，所以 c+1=6 ，解得 c=5 元

（3）y-x=-x²+2bx-b²+3=-（x-b）²+3 所以當 x=b 時， y-x 有最大值3.當 bgt;4 時， ^-16+ 8b-b²+3=2 ，解得 b=5 或 b=3（ 舍）；當 blt;-1 時，-1-2b-b²+3=2 ，解得 b=0 （舍）或 b=-2. 所以 b 的值為5或-2.

點評：本題主要考查反比例函數的圖象和性質、二次函數的圖象和性質，結合分類討論思想考查利用配方法求最值問題.

2“縱三倍點”問題

例2（2024·山東日照初三期末）定義：在平面直角坐標系中，若一個點的縱坐標等于它的橫坐標的三倍，則稱該點為“縱三倍點”.例如 （1，3），（-2，-6） 都是“縱三倍點”.

【概念理解】（1）有下列函數： ①y=-2x+1 ②y=-x（x+1） ： ③y=x²+x+1. 其中，圖象上只有一個“縱三倍點”的是 （填序號）.

【嘗試應用】（2）已知拋物線 y=x²+mx+n（m，n 均為常數）與直線 y=x+4 只有一個交點，且該交點是“縱三倍點”，求拋物線對應的函數解析式，

（3）若拋物線 是常數， agt; 0）上有且只有一個“縱三倍點”，令 w=b²-2b+6a ，是否存在一個常數 Ψ_t ，使得當 t?b?t+1 時， w 的最小值恰好等于t？若存在，求出 χ_t 的值;若不存在，請說明理由.

解析：（1）聯立 y=-2x+1 和 y=3x ，解得 x= 5y=，所以-次函數y=-2x+1的圖象上的“縱三倍點”為 ，故 ① 符合題意，同理判斷 ② ③ ，可得答案為： ①③

（2）聯立 y=x+4 和 ，解得 x=2，y=6. 依題意， y=x²+mx+n 經過點（2，6），則 2=2m+n 聯立 y=x²+mx+n 和 y=x+4 ，則可得 x²+（m-1）x+ n-4=0. .因為拋物線 y=x²+mx+n（m，n 均為常數）與直線 y=x+4 只有一個交點，則 Δ=（m-1）²- 4（n-4）=0. 結合 2=2m+n 解得 m=-3，n=8 ，所以拋物線的解析式為 y=x²-3x+8

（3）聯立 和 y=3x ，即 ax²+ 依題意 0所以 6a=（b-3）² ，則 w=b²-2b+6a=b²-2b+ （20 ，所以當 b=2 時， w 取得最小值1.因為當 t?b?t+1 時， w 的最小值恰好等于t，所以 t=1

點評：本題主要考查“縱三倍點”定義，一次函數、二次函數和反比例函數的綜合應用，以及一元二次方程根的判別式，需要在理解“縱三倍點”定義的基礎上，理解題意，尤其是任意一個“縱三倍點”一定在正比例函數 y=3x 的圖象上，然后進行有關的運算.

3函數的“永恒點”問題

例3（2024·江蘇常州初三聯考改編）新定義：若函數圖象恒過點 （m，n） ，我們稱 （m，n） 為該函數的“永恒點”如：一次函數 y=k（x-1） （ k≠0 ，無論 k 值如何變化，該函數圖象恒過點（1，0），則點（1，0）稱為這個函數的“永恒點”.

【初步理解】一次函數 y₁=mx+3m（mgt;0） 的永恒點的坐標是

【理解應用】二次函數 y₂=-mx²-2mx+3m 中 落在 x 軸負半軸的永恒點 A 的坐標是落在 x 軸正半軸的永恒點 B 的坐標是

【知識遷移】點 P 為拋物線 y₂=-mx²-2mx+ （203m（mgt;0） 的頂點，設點 B 到直線 y₁=mx+3m（mgt; 0）的距離為 d₁ ，點 P 到直線 y₁=mx+3m（mgt;0） 的距離為 d₂ ，請問 是否為定值？如果是，請求出 的值；如果不是，請說明理由.

解析：對于初步理解中的問題， y₁=m（x+3）x （2 （mgt;0） ，當 x=-3 時，無論 Ψ_m 值如何變化， y₁=0 ，故一次函數 y₁=mx+3m（mgt;0） 必過定點 （-3，0） ：

理解應用 ：y₂=-m（x²+2x-3）=-m（x-1） ·（x+3）（mgt;0） ：

當 x=-3 或 x=1 時，無論 Σ_m 值如何變化， y₂= 0.所以二次函數 y₂=-mx²-2mx+3m（mgt;0） 的圖象必過定點 （-3，0），（1，0） .故二次函數 y₂=-mx²- 2mx+3m（mgt;0） 落在 x 軸負半軸的定點 A 的坐標是（-3，0） ，落在 x 軸正半軸的定點 B 的坐標是（1，0）.

知識遷移：是定值，定值為 2.y₂=-mx²-2mx+ 3m=-m（x+1）²+4m（mgt;0） ，所以 P（-1，4m） ，由上一小題知點 B（1，0） ！

如圖1，作 PE//y 軸交直線 y₁=mx+3m （ |?_mgt;0? 于點E ，作 BF//_y 軸交直線 y₁= 于點 F ，則 ，易知點

圖1

E（-1，2m） ！ F（1，4m） .分別過點 P，B 作直線 y₁= mx+3m（mgt;0） 的垂線，垂足分別為點 ^Q，C ，則 d₁= BC，d₂=PQ，∠PQE=∠BCF=90^°. 所以 PE=y_P- y_E=2m，BF=y_F-y_B=4m 因為 ∠PQE=∠BCF= 90^{° °}，∠PEQ=∠BFC ，所以 ΔPEQ～ΔBFC ，可得 ，即 ，所以 為定值2.

點評：本題考查新定義函數的“永恒點”問題，根據題意找出一次和二次函數的“永恒點”，然后利用學習的有關拋物線及相似三角形的性質求解.

4解法總結

在上述三類二次函數新定義問題中，解題的核心是先理解概念，再將題目轉化為熟悉的函數性質問題求解.“最優縱橫值\"題通常將縱橫差視為新的函數，在給定范圍內求最值，關鍵是判斷最大值是否出現在頂點或區間端點，若含參數，則通過頂點位置或最值條件列方程求解.“縱三倍點”題則是將條件轉化為函數與特定直線的交點問題，通過判別交點個數確定唯一性，再代人關系式求函數參數，核心是將特殊點定義與函數解析式建立聯系.解“永恒點”題的關鍵在于尋找解析式中不隨參數變化而固定的點，常通過因式分解或頂點式轉化發現函數恒過某點，從而確定“永恒點”.總體來看，三類題的通用解法可概括為“理解定義一轉化函數一利用條件求解—驗證結果”，在解題過程中要注意分類討論、結合圖象直觀分析，既保證思路清晰，又提升結果的準確性與推廣性.Z