例析運用“隱圓”智解題

“隱圓\"本質上就是圓，只不過其并未在題干中直接給出，因此，如何構造“隱圓”是解答一些習題的難點[1].初中數學教學中，教師既要做好圓基礎知識的講解，又要通過例題的講解，提高學生運用“隱圓”解決數學問題的意識，幫助學生積累解題的經驗，增強學生的解題能力.

1角度問題

初中數學中求角度大小的方法有多種，既可以通過角度之間的關系計算得出結果，又可以借助特殊幾何圖形的性質、銳角三角函數值通過逆向推理得出.這里的特殊幾何圖形主要有等邊三角形、正方形及圓等.其中部分習題需要通過構造圓，借助圓的性質直觀展現線段、角度的關系，順利解決問題.

例1如圖1，將矩形ABCD的邊 AB 繞點 A 逆時針旋轉得到AF ，連接 BF ，過點 D 作 BF 的垂線，垂足 E 在線段BF上，連接 CE 若 ，則 ∠DEC 的度數為

圖1

解析：連接 AC 與 BD ，設 AC 與 BD 相交于點 O ，連接 OE ，如圖2所示.

由四邊形ABCD是矩形，容易得到 OA=OB=OC=OD=

圖2

由 DE⊥BF 于點 E ，得△BDE是直角三角形，則 ，則 OA=OB=OC=OD=OE ，故 A，B ，C，D，E 五點共圓.

由圓的性質可以得到 ∠DEC=∠CAD 由旋轉的性質可知 又 AD=

3，則 ，可得 ∠CAD=30^° ，所以∠DEC 為 30^°

點評：該題難度不大，根據到同一點距離相等構造出“隱圓”，借助圓的性質推理出 ∠DEC=∠CAD .運用已知條件求出 ∠CAD 的正切值，從而得出答案.

2范圍問題

初中數學中，求角度范圍、線段范圍、參數范圍等統稱為求范圍問題[2].該類問題在初中數學中占有重要地位，日常測試及中考中幾乎都有涉及.因習題情境不同，考查的知識千差萬別.其中部分習題，在解答的過程中需要先結合已知條件確定點的運動軌跡，如點的軌跡是圓，要求線段長度的范圍，則可以在畫出圓后，結合圓的性質進行分析、判斷.

例2如圖3，線段 AB=4，M （204號為 AB 的中點，動點 P 到點 M 的距離是1，線段 PB 繞點 P 逆時針旋轉 90^° 得到線段 PC ，連接 AC ，則線段 AC 長度的取值范圍為

圖3

解析：以 _AB 為斜邊向上作等腰直角三角形 AJB ，連接 CJ，BC 如圖4所示.

圖4

由 AB=4，M 為 AB 的中點可得 JM=AM=MB=2，JM⊥

易得 ΔJMB ， ΔPBC 均是等腰直角三角形，即∠MBJ=∠PBC=45^° ，則 ∠MBP+∠PBJ=∠PBJ+ ∠JBC=45^° ，所以 ∠MBP=∠JBC ，又 cos 45^° ，所以 ΔMBP～ΔJBC ，則

由動點 P 到點 M 的距離是1，可得 MP=1 ，則

，則點 C 的運動軌跡是以 J 為圓心 為半徑的圓.當線段 AC 長度最大時，點 c 為直線 AJ 和圓的交點，此時 ；當線段AC 長度最小時， 綜上可知，線段 AC 長度的取值范圍為

點評：該題難度中等，需要運用等腰直角三角形的性質理順線段、角度之間的關系，運用三角形相似的性質求出 JC 的長度，確定點 c 的軌跡是圓，借助圓的性質求出線段 AC 長度的上限與下限.

3長度問題

求線段的長度在初中數學中屢見不鮮，主要考查角度關系、線段之間的關系、幾何圖形的性質等內容[3].部分習題難度較大，需要根據已知條件構造圓，運用圓的性質、圓與其他幾何圖形的關系計算求解.

圖5

例3如圖5，在 ΔABC 中，AB=12，BC=10，ΔABC 的內心、外心分別為點 I 與點 O ，且有 OI⊥ AI ，則 AC 的長度為（ ）.

A.8 B.6 D.43

解析：延長 _AI 交 ΔABC 的外接圓于點 D ，連接 OA，OD，CD，CI ，過點 I 分別向 AC，AB，BC 作垂線，垂足分別為 F，G，H ，如圖6所示.

圖6

由點 I 為 ΔABC 的內心，可得AG=AF ， BG=BH ， CF=CH .∠ACI=∠BCI

易得 AB+AC-BC=AG+BG+AF+CF- BH-CH=2AF

由點 O 為 ΔABC 的外心，可得 AO=OD .又OI ⊥ AI ，則 AI=DI

由 ∠BAD=∠CAD ，得弧 BD 與弧 CD 是相等的，則 ∠CAD=∠DCB ：

由 ∠DIC=∠CAD+∠ACI，∠DCI=∠BCD+ ∠BCI ，則 ∠DIC=∠DCI ，則 DI=DC=AI

由弧 BD 與弧 CD 是相等的， OD 是圓 O 的半徑，得 ，即 ∠DEC= ∠IFA=90^° ，則 ΔDCE?ΔIAF （AAS），所以 CE= AF=5 ，即 AB+AC-BC=10 ，即 12+AC-10=10 .解得 AC=8. 故答案選：A.

點評：該題綜合性強，難度較大，考查外心與內心的關系、角平分線的性質、三角形全等等諸多知識.求解的過程中，可以通過構造“隱圓”，畫出對應的輔助線輔助分析.

4最值問題

最值問題是初中數學中較為常見的一類問題，尤其是與幾何圖形結合在一起，求解時往往需要借助幾何圖形的性質.圓是一個完美的圖形，根據圓心與圓上點的關系，可以為求解最值問題提供依據.然而，部分習題需要根據已知條件大膽作出輔助線，構造出圓，并結合菱形、平行四邊形、直角三角形等性質計算出結果.

例4如圖7，在等腰三角形ABC 中， AB=AC=3，BC=4 ，點D 在邊 BC 上， CD=1 ，將線段 CD 繞點 c 逆時針旋轉 α α（0^°lt;αlt; 360^°） 到 CE ，連接 AE ，以 AB，AE 為邊作平行四邊形 ABFE ，連接 DF ，則DF的最大值為.

圖7

A.5 B.√5+1 （204號

解析：如圖8所示，作平行四邊形ABPC，連接 PF，PD，PA ，設 PA 與 BC 交于點 O

圖8

易得四邊形ABPC為菱形， 則 PC=AB=3.

在 RtΔOPC 中，可得 由 CD=1 ，得 OD=OC-CD=1

在 RtΔOPD 中，

易得 PC//EF，PC=EF ，則四邊形PCEF是平行四邊形，故 PF=CE. 又 CE=CD=1 ，則 PF=1 ，所以點 F 在以點 P 為圓心，1為半徑的圓上運動.當 D ，P，F 三點共線，且點 P 在 DF 上時， DF 有最大值，此時 故答案選：D.

點評：該題難度較大，需要添加的輔助線較多.作答時需要聯系解題經驗，注重幾何圖形性質的活用，當判斷出點 F 的運動軌跡是圓時，問題便迎刃而解.

參考文獻：

[1]張興華.立足概念教學培育高階思維—以初中數學“隱圓”問題為例[J.中學數學月刊，2024（10）：31-34.

[2]林殊芳，葉順生.初中數學四大“隱圓模型\"探究[J].初中數學教與學，2024（6）：45-47.

[3]羅成忠.初中數學“隱圓”助力解題的探究[J].數學學習與研究，2020（10）：128-129.Z