對(duì)一道折紙問(wèn)題的分析與思考

1試題呈現(xiàn)

【問(wèn)題情境】為了研究折紙過(guò)程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，老師發(fā)給每位同學(xué)完全相同的紙片，紙片形狀如圖1，在四邊形ABCD中 BC?CD ）， AB//CD ∠B= 90^° ：

圖1

【探究實(shí)踐】老師引導(dǎo)同學(xué)們?cè)谶匓C上任取一點(diǎn)E ，連接 DE ，將 ΔDCE 沿 DE 翻折，點(diǎn) c 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為H ，然后將紙片展平，連接 CH 并延長(zhǎng)，分別交 DE .AB 于點(diǎn) M，G

老師讓同學(xué)們探究：當(dāng)點(diǎn) E 在不同位置時(shí)，能有哪些發(fā)現(xiàn)？

經(jīng)過(guò)思考和討論，小瑩、小明向同學(xué)們分享了自己的發(fā)現(xiàn).

（1）如圖2，小瑩發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)折痕 DE 與 AD 夾角為90^° 時(shí)，則四邊形 AGCD 是平行四邊形.”

圖2

圖3

（2）如圖3，小明發(fā)現(xiàn)：“當(dāng) E 是 BC 的中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng) DH 交 AB 于點(diǎn) N ，連接 EN ，則 N 是BG的中點(diǎn).”

請(qǐng)你分別判斷兩人的結(jié)論是否正確，并說(shuō)明理由.

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖4，小慧在小明發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步思考發(fā)現(xiàn)：“延長(zhǎng) EH 交 AB 于點(diǎn) F ，當(dāng)給出 BC 和BF的長(zhǎng)時(shí)，就可以求出 CD 的長(zhǎng).”

圖4

老師肯定了小慧同學(xué)結(jié)論的正確性.若 BC=6 ， BF=4 ，請(qǐng)你幫小慧求出 CD 的長(zhǎng).

2簡(jiǎn)要分析

本題共三問(wèn)，第（1）問(wèn)比較常規(guī)，下面重點(diǎn)對(duì)第（2）和第（3）問(wèn)進(jìn)行分析.

2.1探究實(shí)踐問(wèn)題（2）

思路1：證明 EN//CG ，利用中位線的性質(zhì)即可.

方法1：由折疊易得 ∠ECD=∠EHD ∠ECH= ∠EHC ，根據(jù)“HL”可證 ΔEHN?ΔEBN ，從而得出∠HEN=∠BEN .又因?yàn)?∠HEB 是 ΔCEH 的外角，所以 ∠BEN=∠BCG ，則 EN//CG ，又 E 是 BC 的中點(diǎn)，進(jìn)而得出結(jié)論.

思考：方法1要求學(xué)生能找到 ∠HEB 是△CEH的外角，并利用外角的性質(zhì)得出 ∠BEN=∠BCG .能否想到外角是方法1的關(guān)鍵.

方法2：由折疊易得 ∠CED=∠HED ；根據(jù)“HL”可證 ΔEHN?ΔEBN ，從而得出 ∠HEN=∠BEN .因此 ∠HED+∠HEN=90^° 易得 EN//CG ，接下來(lái)的方法和方法1一致.

思考：方法2要求學(xué)生能發(fā)現(xiàn) ED 和 EN 分別是∠CEH 和 ∠HEB 的角平分線，進(jìn)而結(jié)合折疊的性質(zhì)得到 EN//CG

思路2：根據(jù)線段轉(zhuǎn)化得出結(jié)論.

方法3：根據(jù)“HL”可證 ΔEHN?ΔEBN ，從而得出 HN=BN ；由折疊可得 DC=DH ，即 ∠DCH= ∠DHC ；由 DC//AB 可得 ∠DCG=∠CGN ，由對(duì)頂角相等可得 ∠DHC=∠GHN ，進(jìn)而得出 ∠NHG= ∠NGH ，即 NH=NG ，從而得出結(jié)論.

思考：這種思路很清晰，根據(jù)角和線段之間的轉(zhuǎn)化就可以得出結(jié)論.

思路3：證明 ΔBEN～ΔBCG ，根據(jù)相似比 1：2 得出結(jié)論.

方法4：利用方法1的思路得出 ∠BEN=∠BCG ，通過(guò)“AA\"證明 ΔBEN～ΔBCG ，根據(jù)相似比 1：2 得出結(jié)論.

思考：這種思路也挺常規(guī)，可是在證明 ΔBEN～ ΔBCG 時(shí)有些學(xué)生找不到條件導(dǎo)致做不出來(lái)，而且它是思路1中方法1的復(fù)雜化.選擇這種思路解題的學(xué)生可能是對(duì)中位線的性質(zhì)掌握得不太好.

通過(guò)對(duì)第（2）問(wèn)的批閱和分析，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生會(huì)做但是得不到滿分，原因就是沒(méi)有先交待結(jié)論；相反地，也有部分學(xué)生沒(méi)有思路但是能寫出結(jié)論，這樣就可以輕而易舉地得到1分.解題過(guò)程中思路1是最優(yōu)選.很多學(xué)生都知道要證 ΔEHN?ΔEBN ，但是證明的依據(jù)五花八門，本題只能依據(jù)“HL\"來(lái)證明.

2.2拓展應(yīng)用問(wèn)題（3）

第（3）問(wèn)的思路大體分為三步： ① 求 EF ·② 求BN ; ③ 求 CD .接下來(lái)將按照上述步驟分別展示不同的思路與方法.

① 求 EF ：

由題意易得 BE=3，BF=4 在 RtΔEBF 中，由勾股定理易得 EF=5 ：

思考：求 EF 很簡(jiǎn)單，只要是能夠熟練應(yīng)用勾股 定理即可得分.

② 求 BN ：

第一種思路：相似.

依據(jù)\"AA\"易證得 ΔFHNΔFBE ，則有 即 ，得出 FN=2.5 ，進(jìn)而得出 BN=1.5 =

思考：這種思路需要學(xué)生能夠找到相似的基本模型“字母型”.

第二種思路：勾股定理.

設(shè) BN=x ，則可得 HN=x，F(xiàn)N=4-x .在直角三角形 FHN 中，由 2²+x²=（4-x）² ，解得 x=1.5 ，即 BN=1.5

思考：這種思路需要學(xué)生能夠找到合適的直角三角形，并知道要通過(guò)設(shè)未知數(shù)求線段的長(zhǎng).其實(shí)這種思路在折疊等較復(fù)雜的幾何題中較為常見.

③ 求 CD ：

第一種思路：相似.

方法1：依據(jù)“AA”易證得 ΔEBN～ΔDCE ，有 （20號(hào)即 ，得出 CD=6

思考：方法1需要學(xué)生能夠找到相似的基本模型“一線三等角”

方法2：依據(jù)“AA”易證得 ΔEHNΔDHE ，則有 即 ，得出 DH=6 ，即 CD=6

思考：方法2需要學(xué)生能夠找到相似的基本模型“雙垂直”

第二種思路：勾股定理.

如圖5，過(guò)點(diǎn) D 作 DP⊥AB 于點(diǎn) P ，易得四邊形DPBC為矩形，因此 DP=BC=6

圖5

設(shè) DC=x ，則知 DH=x ，ADN=x+1.5，PN=x-1.5. 在 RtΔDPN 中，由勾股定理可得 6²+（x-1.5）²= （x+1.5）² ，解得 x=6 ，即 CD=6

思考：這種思路需要學(xué)生能夠找到合適的直角三角形，并知道要通過(guò)設(shè)未知數(shù)求線段的長(zhǎng).其實(shí)這種思路在折疊等較復(fù)雜的幾何題中較為常見.

3幾點(diǎn)思考

3.1知識(shí)點(diǎn)

本題以直角梯形[課標(biāo)（2022年版）新增內(nèi)容]為背景，以折疊為呈現(xiàn)方式，綜合考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，平行四邊形的判定、全等三角形、中位線的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形等考點(diǎn)，具有很強(qiáng)的綜合性，因此熟練掌握并綜合應(yīng)用以上知識(shí)點(diǎn)是解決上述試題的關(guān)鍵.

3.2創(chuàng)新點(diǎn)

試題以“問(wèn)題情境一探究實(shí)踐一拓展應(yīng)用”為主線，以綜合與實(shí)踐的方式考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，充分考查了學(xué)生的空間觀念和推理能力.

本題中問(wèn)題（1）在呈現(xiàn)梯形相關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)折疊直角三角形變換的形式，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)位置關(guān)系，進(jìn)而證明平行四邊形；問(wèn)題（2）是在問(wèn)題（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)折痕與線段BC的交點(diǎn)為該線段中點(diǎn)時(shí)，利用中位線性質(zhì)或平行線分線段成比例的性質(zhì)證明 N 是 BG 的中點(diǎn)；問(wèn)題（3）是在前兩問(wèn)基礎(chǔ)上的進(jìn)一步探索，利用相似來(lái)證明線段長(zhǎng)度.以上問(wèn)題（2）和問(wèn)題（3）方法多樣，可以使用不同的方法解決，每一問(wèn)基本做到了入口寬、切入點(diǎn)低，面向全體學(xué)生的同時(shí)，又具有很好的選拔和診斷功能.

3.3變化點(diǎn)

該題基本與已有中考試題中的幾何綜合題對(duì)應(yīng)，考查方式具有很好的一致性和傳承性，基本不會(huì)對(duì)學(xué)生產(chǎn)生影響.

但是，相比以往的試題，該題閱讀量明顯增加，以綜合與實(shí)踐的方式靈活考查了推理能力和應(yīng)用意識(shí)等核心素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生能否順利理解題意和靈活解決問(wèn)題提出了較高的要求，具有一定的挑戰(zhàn).

教無(wú)定法，貴在得法.系統(tǒng)化的復(fù)習(xí)，能讓學(xué)生透過(guò)問(wèn)題抓本質(zhì)，提高復(fù)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.復(fù)習(xí)課的根本任務(wù)應(yīng)是通過(guò)系統(tǒng)梳理知識(shí)，強(qiáng)化知識(shí)間的聯(lián)系，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而非單純的知識(shí)點(diǎn)教學(xué)，課雖盡而意無(wú)窮，知識(shí)體系生成后，本節(jié)課后仍需幾課時(shí)的內(nèi)容來(lái)鞏固練習(xí)，仍需與函數(shù)、幾何建立更為廣泛的聯(lián)系.Z