借助二次函數解決實際問題培養學生應用能力

二次函數模型指的是以二次函數為基礎構建起來的，用于描述現實世界中某些數量關系或變化規律的一種數學模型1.運用二次函數模型解決實際問題，既要能夠讀懂題意，從習題情境中提煉出有用的參數正確構建模型，又要靈活運用二次函數的性質求出正確、符合實際情況的結果.

1單二次函數模型

單二次函數模型，顧名思義，模型中只有一個二次函數.運用單二次函數模型適宜解決的實際問題情境一般難度不大，學生也較為熟悉，解題的關鍵在于設出二次函數，根據題干給出的數據、圖象中的坐標，通過待定系數法確定二次函數的表達式.同時，計算的過程中應貼合實際，對所得的結果進行合理取舍[2].

例1某商店以10元/kg的進行采購一批水果進行銷售.研究發現，當銷售單價不低于進價且不超過30元/kg時，每天的銷售量 y （單位： kg） 和銷售單價 x （單位：元）滿足一次函數關系，如表1所示：

表1

（1）求 y 與 x 的函數表達式；

（2）求日銷售利潤最大時的銷售單價，以及最大利潤.

解析：（1）設 y=kx+b ，將點（20，32），（24，24）代入解得 k=-2，b=72 ，即 y=-2x+72（10?x?30）

（2）設銷售單價為 x 時，日銷售利潤最大.根據成本、銷售價、銷售量、利潤之間的關系，構建二次函數模型.設日銷售利潤為 Q 元，則 Q=（x-10）× （-2x+72）=-2x²+92x-720=-2 （x-23）²+ 338（10?x?30） .由二次函數的性質可知，當 x=23 時， Q 取得最大值338元，即銷售價定為23元時，日

銷售利潤最大，為338元.

例2某公園準備修建一座圓形噴水池，示意圖如圖1所示.在水池中心 o 的位置豎一高為 2m 的實心石柱 OA .在水池的周圍安裝若干噴頭，各噴頭噴出的水流運動軌跡為相同的拋物線，最后水流在石柱頂點 A 處匯合.其中 B 為拋物線的最高點，距離石柱的水平距離為 0.5m ，距離水池面的高度為2.25m .在距離池面 1.25m 的位置，圍繞石柱修建一個小的圓形小水池，要求不能影響水流.

圖1

（1）為滿足上述效果，求圓形大水池的最小半徑；（2）問圓形小水池的半徑不能超過多少米？

解析：（1）根據題干描述，可知需要建立二次函數模型描述水流的軌跡，結合圖1，選取 軸右側的軌跡為研究對象，設水流的軌跡滿足二次函數 y= a（x-0.5）²+2.25 ，由于其過點 ，代入得a（0-0.5）²+2.25=2 ，解得 a=- 1 ，則 y= -（x-0.5）²+2.25 令 y=0 ，即 -（x-0.5）²+2.25= 0，解得 x₁=2，x₂=-1 （舍去），則為滿足題干描述的效果，圓形噴水池的最小半徑為 2m

（2）令 _y=1.25 ，即 -（x-0.5）²+2.25=1.25 ，解得 x₁=1.5，x₂=-0.5（ 舍去）.因此，為了不影響水流，小水池的最大半徑不能超過 1.5m

點評：例1以銷售水果為背景設計兩個問題，問題（1）需要結合給出的表格數據求出日銷售量與銷售單價之間的一次函數關系，問題（2）需要在問題（1）的基礎上，圍繞銷售價、銷售量及日銷售利潤之間的關系建立二次函數模型.在計算日銷售最大利潤時，應注意分析對應的自變量是否符合題干情境.例2情境較為新穎，難度較大，構建模型時需要應用一定的技巧.由題干可知噴頭噴出的水有若干條，為順利求解，需要建立平面直角坐標系，選取合適的視角構建二次函數模型，靈活應用二次函數與一元二次方程之間的關系、二次函數圖象上點坐標的求法等知識作答.

2雙二次函數模型

對于部分實際問題，情境復雜，涉及的參數較多，往往需要構建兩個二次函數.一般情況下，兩個二次函數之間存在某種邏輯聯系，如兩個函數圖象形狀相同，或者兩個函數圖象存在交點.對于兩個函數圖象形狀相同的情況，可以運用二次函數圖象的平移、對稱等知識迅速完成模型的構建[3].對于兩個函數圖象存在交點的情況，構建模型時應注意公共點坐標的應用.

例3圖2為某旅游景點建設的纜車旅游路線簡化圖， x 軸為距離出發點的橫向距離（單位： km），y 軸表示纜車路線距離地面的高度（單位： km ），纜車路線跨度為

圖2

8km，C₁，C₂ 形狀相同，均為拋物線的一部分，且關于直線 x=4 對稱， C₁ 最低點的坐標為（2，5）.

（1）求拋物線 C₁ 的表達式；

（2）當 x=7.5 時，求 的值；

（3）圖2中橫向距離為 x₁，x₂，x₃，x₄ 時，纜車線路距離地面的高度相同，且 x₄=7x₁ ，求當橫向距離為x₁ 時，纜車路線距離地面的高度

解析：（1）由于 C₁ 最低點的坐標為（2，5），所以設拋物線 C₁ 的表達式為 由圖2可知拋物線過點（0，9），代入解得 a=1 ，則拋物線 C₁ 的表達式為 y=（x-2）²+5（0?x?4） ：

（2）由于 C₁，C₂ 形狀相同，圖象關于直線 x=4 對稱，則 C₂ 可以看成 C₁ 向右平移4個單位長度得到的，所以拋物線 C₂ 的表達式為 y=（x-2-4）²+5 即 y=（x-6）²+5（4?x?8） .令 x=7.5 ，得 _y=7.25

（3）由于 C₁，C₂ 形狀相同，且關于直線 x=4 對稱，則 x₁+x₄=4×2=8. 又 Φ_X4=7Φ_X1 ，則 8x₁=8，x₁= 1，將其代入到 C₁ 的表達式，得 y=6 ，故此時纜車線路距離地面的高度為 6km

例4人們常用的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物線面.某品牌的鍋口的直徑為 6dm ，鍋深 3dm ，鍋蓋高為 1dm （鍋口直徑和鍋蓋直徑相同），如圖3所示.

圖3

（1）當鍋內水位高度為1dm時，水面的直徑是多少？

（2）若將一個底面直徑為 2dm ，高為 3.6dm 的圓柱形器血豎直放入到該品牌的鍋中蒸食物，鍋蓋是否能正常蓋上？

解析：（1）根據題干描述，建立平面直角坐標系，如圖4所示，將鍋縱斷面的拋物線設為 C₁ ，鍋蓋縱斷面的拋物線設為 C₂

圖4

設 C₁ 的表達式方程為

（204號 y₁=a₁x²-3 ，由其過點 B（3，0） ，代入得 9a₁-3=0 ，解得 ，即y1 .當鍋內水位高度為 1dm 時， y₁ 為 -2 ，即 ，解得 ，則水面的直徑為 dm.

（2）設 C₂ 滿足為 y₂=a₂x²+1 ，由其過 B（3，0） ，

代入得 9a₂+1=0 ，解得 ，則

（-3?x?3） .當 x=1 時，代入 則

因為

（204號 ，所以鍋蓋不能正常蓋上.

點評：例3、例4創設的情境與人們的生活密切相關，充滿生活氣息，都需要構建雙二次函數模型.其中例3可以先根據已知條件求出左側二次函數的表達式，通過平移知識求出第二個函數的表達式.例4中鍋縱斷面和鍋蓋縱斷面符合不同的拋物線，但是兩條拋物線交于 A，B 兩點，構建模型的過程中注意這兩個點坐標的應用，在解決第二問時，需要明確兩條拋物線在坐標上的關系，通過坐標的運算作出正確判斷.

運用二次函數模型解決實際問題是“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”的具體體現.教學中，教師應注重從模型視角講解二次函數知識，并展示如何運用二次函數模型解決實際問題，促使學生解題能力及核心素養的有效提升.

參考文獻：

[1]夏瑞瑞.以不變應萬變的二次函數—初中數學二次函數綜合題模型剖析[J].數理化解題研究，2024（26）：33-35.

[2]周康寶.巧用二次函數妙解實際問題[J].中學數學，2024（14）：81-82.

[3]張自山.利用二次函數解決實際問題的教學設計[J].數學之友，2022，36（23）：41-42，45.Z