兩類一元二次方程問題解法探究

一元二次方程是初三數學的一個核心內容，也是中考數學必考知識點.筆者發現，含有參數的一元二次方程問題，以及新情境下的一元二次方程問題是學生的難點.基于此，筆者采擷幾道典例分類例析其解題方法路徑，以提高學生分析、解決這類問題的能力，進而不斷提升數學核心素養.

1含有參數的一元二次方程問題

1.1求參數的值

關于 x 的一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0） .考查含參求值問題時，首先需要寫出根與系數的關系 ；其次需要在題設約束條件或目標式適當變形的基礎上，巧妙運用根與系數的關系加以靈活求解.

例1 （1）已知 α，β 是關于 x 的方程 x²-x+k- 1=0 的兩個實數根，且滿足 β²-2β-α=4 ，則實數 k 的值為

（2）若實數 s，t 滿足 2s²-3s-1=0，2t²-3t- 1=0（s≠t） ，則 的值為

解析：（1）因為 α，β 是方程 x²-x+k-1=0 的兩個實數根，所以可得 β²-β+k-1=0 ，即 β²-β=1- （204號 k ，且由根與系數的關系可得 α+β=1. 于是，結合 β²- 2β-α=4 ，即 β²-β-（α+β）=4 ，可得 1-k-1=4 ，所以 k=-4. 又易知當 k=-4 時，題設已知方程有兩個實數根.故所求實數 k 的值為—4.

（2）因為實數 s，t 滿足 2s²-3s-1=0，2t²-3t- 1=0（s≠t） ，所以實數 s，t 是關于 x 的一元二次方程2x²-3x-1=0 的兩個不同的實數根.所以 s+t= 2.于是，可得（t-s）2=（t+s）2-4st= ，所以t-s=±√17. 所以， 故所求 的值為± ：

評注：第（1）題將已知等式 β²-2β-α=4 ，變形為β²-β-（α+β）=4 ，有利于根據 β 是方程的實數根以及一元二次方程根與系數的關系，構建關于參數 k 的方程，進而簡捷獲解.第（2）題求解的關鍵在于以下兩點.一是構造一元二次方程 2x²-3x-1=0 ，并運用根與系數的關系得到 2；二是根據恒等式 （t-s）²=（t+s）²-4st ，可巧妙計算獲得 t-s 的值.顯然，這里第（2）題側重考查解題能力，有利于較好地培養學生在“數學抽象”和“數學運算”方面的核心素養，故值得我們去關注，并細細品味.

1.2求參數的范圍

關于 x 的一元二次方程的標準形式為 ax²+ bx+c=0（a≠0） ，若題目在 a，b，c 位置涉及參數，則根據一元二次方程的實數根的具體情況求解參數的取值范圍時，不僅要考慮二次項系數與零的大小關系，而且還要準確考慮方程的判別式與零的大小關系.

例2已知關于 x 的一元二次方程 （k-1）x²+ 2x-2=0 有兩個不相等的實數根，則實數 k 的取值范圍是（ ）.

解析：因為關于 x 的一元二次方程 （k-1）x²+ 2x-2=0 有兩個不相等的實數根，所以應滿足 k- 1≠0 且 Δ=2²-4（k-1）×（-2）gt;0 ，解得 ，且k≠1

故選：A.

評注：本題求解關鍵是根據題意構建不等式，并加以求解.一般地，若關于 x 的一元二次方程 ax²+ bx+c=0 有實數根，則 a≠0 ，且 Δ=b²-4ac≥0 ；若關于 x 的一元二次方程 ax²+bx+c=0 有兩個不相等的實數根，則 ?_a≠0 ，且 Δ=b²-4acgt;0 ；若關于 x 的一元二次方程 ax²+bx+c=0 沒有實數根，則 a≠0 且 Δ=b²-4aclt;0 ：

2新情境下的一元二次方程問題

2.1新運算情境下一元二次方程問題

“新運算”情境下，考查一元二次方程實數根的情況，具有一定的陌生性.首先，需要我們沉著、冷靜，理清“新運算”是如何規定新的運算規則的；其次，要準確運用“新運算”，將目標問題具體化，從而便于根據方程的判別式與零的大小關系，順利解決問題，

例3定義新運算 a×b ：對于任意實數 a，b ，滿足a*b=（a+b）（a-b）-1 ，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算.例如， 3*2=（3+2）（3-2）-1= 5-1=4. 若 x*k=2x（k 為實數）是關于 Ψ_x 的方程，則它的實數根的情況是（ ）.

A.有一個實數根

B.有兩個不相等的實數根

C.有兩個相等的實數根

D.沒有實數根

解析：根據題意可知，關于 Ψ_x 的方程 x?k=2x .即為 （x+k）（x-k）-1=2x ，整理得 x²-2x-k²- 1=0. 于是，可得 Δ=（-2）²-4（-k²-1）=4k²+8? 8gt;0 ，所以 Δgt;0 ，從而可知關于 x 的方程 x?k=2x 有兩個不相等的實數根.

故選：B.

評注：本題求解關鍵在于以下兩點.一是由新運算a×b ，獲得關于 x 的方程 x?k=2x 即為 x²-2x- k²-1=0 ；二是由實數的平方非負，得到關于 Ψ_x 的方程 x?k=2x 的判別式大于零.

2.2新定義情境下的一元二次方程問題

在“新定義\"情境下，考查一元二次方程的實數根的情況，首先需要我們認真研讀“新定義”，努力做到理解、掌握“新定義”；其次才是根據“新定義”，結合相關知識靈活解題.

例4定義： cx²+bx+a=0 是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0） 的“倒方程”.下列四個結論中，錯誤的是（ ）.

A.若 x=2 是方程 x²+2x+c=0 的“倒方程”的實數根，則 B.若 aclt;0 ，則這兩個方程都有兩個不相等的實數根 C.若一元二次方程 ax²-2x+c=0 無實數解，則它的“倒方程”也無實數解 D.若一元二次方程 ax²+bx+c=0 有兩個不相等的實根，則它的“倒方程”也有兩個不相等的實數根

解析：若 x=2 是方程 x²+2x+c=0 的“倒方程” 的實數根，則知 x=2 是方程 cx²+2x+1=0 的實數 根，所以 c×2²+2×2+1=0 ，解得 .故選項A 0 正確.

若 aclt;0 ，則一元二次方 ax²+bx+c=0 和它的“倒方程” ?cx²+bx+a=0 的判別式均滿足 Δ=b²- 4acgt;0 成立，所以這兩個方程都有兩個不相等的實數根.故選項B正確.

若一元二次方程 ax²-2x+c=0 無實數解，則Δ=（-2）²-4aclt;0 ，可得 acgt;1 ，所以 c≠0. 于是，易知它的“倒方程’ ′_cx²-2x+a=0 滿足 且 .所以它的“倒方程”也無實數解.故選項C正確.

若一元二次方程 ax²+bx+c=0 有兩個不相等的實數根，則 a≠0，Δ=b²-4acgt;0. 于是，可取 a=1 ，b=1，c=0 ，但此時它的“倒方程”為 x+1=0 ，顯然只有一個實數根.據此可知，選項D錯誤.

綜上，本題應選：D.

評注：求解本題，需要先準確理解“倒方程”的定義，再結合一元二次方程基本知識，即可具體判斷各選項是否正確.特別要提醒的是，一元二次方程 ax²+ bx+c=0（a≠0） 的“倒方程”是 cx²+bx+a=0 ，但“倒方程”不一定是關于“ x ”的一元二次方程，因為 c 與0的大小不確定.

相關鏈接：一般地，若一元二次方程 ax²+bx+ c=0（a≠0 ）的兩個非零實數根分別為 Φ_x1，x₂ ，則其“倒方程” 的兩個實數根分別為 ，方程 cx²-bx+a=0 的兩個實數根分別為 .據此，可靈活設計一元二次方程中的有關求值計算問題.

綜上，通過探究一元二次方程問題的兩個重要類型，從數學解題角度看，有利于提高學生判斷一元二次方程實數根的情況；有利于幫助學生學會處理與一元二次方程的實數根有關的求值、求范圍問題；有利于幫助學生學會在新情景下靈活分析、解決目標問題，從核心素養角度看，有利于不斷提升學生在數學運算、邏輯推理以及數學抽象方面的核心素養.因此，聚焦考查一元二次方程的兩個重要類型，不僅能夠有效提高學生的解題能力，而且能夠較好地提升學生的數學素養.