例析構(gòu)造全等三角形的常用輔助線的三種作法

在平面幾何中，構(gòu)造全等三角形是解決復(fù)雜幾何問題的重要手段，而選擇合適的輔助線往往決定了推理的簡潔性和準(zhǔn)確性.本文中對三種典型作法進行分析，為中學(xué)幾何教學(xué)提供了操作性強且邏輯清晰的解題路徑.

1利用“角平分線”構(gòu)造全等三角形

例1（2025年蘭州模擬）如圖1，已知 ∠MON=120^° ，點A 在射線OM上，點 B 在射線ON 上，且 OA

圖1

（1）求證：點 c 在 ∠MON 的平分線上；（2）連接 OC ，試探究 OA，OB，OC 的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（1）證明：如圖2，作 CD⊥ OM于點 D ，過點 c 作 CF⊥ ON于點 F ，所以 ∠CDA= ∠CFB=∠CFO=90^°， 在等邊三角形 ABC 中， ∠ACB=60^°

圖2

AC=BC .在四邊形CAOB中， ∠MON=120^° ，所以∠OAC+∠OBC=360^°-∠ACB-∠MON=180^° 又∠CAD+∠OAC=180^° ，所以 ∠CAD=∠CBF 在ΔCAD 與 ΔCBF 中， 所以 ΔCAD? ΔCBF （AAS），所以 CD=CF .又因為 CD⊥OM，CF⊥ ON ，所以點 c 在 ∠MON 的平分線上.

（2）解： OA+OB=OC 理由如下：

由（1）可知，點 c 在 ∠MON 的平分線上.因為∠MON=120^° ，所以 又因為 ∠CDA=∠CFO=90^° ，所以∠OCD=∠OCF=30^° ，從而 因為 ΔCAD?ΔCBF （AAS），所以 AD=BF ，所以 OC ，即 OA+OB=OC

解題思路：此類題的核心在于利用角平分線的幾何性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，從而推導(dǎo)邊長或角度關(guān)系.首先根據(jù)已知條件確定關(guān)鍵點的位置，并通過作垂線或輔助線形成可比三角形.接著，運用全等三角形判定（如AAS，SAS）證明輔助三角形全等，從而得到所求長度或角度關(guān)系.最后，結(jié)合角平分線的性質(zhì)和已知角度，分析線段關(guān)系，完成數(shù)量關(guān)系的推導(dǎo).整個解題過程強調(diào)輔助線與全等三角形的結(jié)合，依靠幾何關(guān)系而非復(fù)雜計算，實現(xiàn)邏輯嚴(yán)密的推理.

點評：此類題考查角平分線在構(gòu)造全等三角形中的應(yīng)用能力，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作輔助線和判斷全等三角形，通過全等性直接得出線段關(guān)系，方法直觀、易于理解，適合培養(yǎng)空間想象和邏輯推理能力.

2利用“截長補短法”構(gòu)造全等三角形

例2（2025年白銀模擬）如圖3，在△ABC中，∠ABC，∠ACB 的平分線交于點 D ，延長BD交 AC 于點 E ，點 G，F(xiàn) 分別在 BD，BC 上，連接 DF，GF ，其中 ∠A=2∠BDF GD=DE

圖3

（1）當(dāng) ∠A=80^° 時，求 ∠EDC 的度數(shù)；

（2）求證： CF=FG+CE

（1）解：因為 ∠A=80^° ，所以 ∠ABC+∠ACB= 100^° .又因為 BE 平分 ∠ABC . CD 平分 ∠ACB ，所以

∠DBC+∠DCB=50^°.

所以 ∠EDC=∠DBC+∠DCB=50^°

（2）證明：在 CF 上取 CM=CE 易得 ΔMCD?

ΔECD ，則 DM=DE=DG ， ∠CED=∠DMC ，于是

∠AEB=∠DMB. 所以

又 ∠A=

2∠BDF ，所以 ∠BDM=2∠BDF ，則 ∠FDM=

∠BDF 在 ΔDGF 和△DMF 中， ，所

以 ΔDGF?ΔDMF（SAS） ，則 GF=MF 所以 CF=CM+FM=CE+GF

解題思路：該類題利用等長線段將原問題轉(zhuǎn)化為易于判定全等的三角形.解題時，先根據(jù)題意構(gòu)造輔助線，并通過角平分線或延長線形成可比三角形；隨后，運用全等三角形判定條件求出未知邊或角度；必要時，可通過分類討論或構(gòu)造等長段進行驗證.

點評：截長補短法突出利用輔助線調(diào)節(jié)線段長度，形成全等三角形，是解決角度復(fù)雜或邊長不易直接比較的問題的有效手段.

3利用“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形

例3（2025年慶陽模擬）【問題背景】在數(shù)學(xué)興趣小組的活動中，教師提出了如下問題：如圖4所示，已知△ABC中， AB=8，AC=6，D 為BC邊的中點.試求中線 AD 的取值范圍.

【探究過程】小組合作討論后，小明提出了一種解法：延長 AD 至點 E ，使得 DE=AD

（1）求證： ΔADC?ΔEDB （2）探究得出 AD 的取值范圍是

圖4

圖5

【問題解決】（3）如圖5，在△ABC中， ∠B=90^° AB=3，AD 是 ΔABC 的中線， CE⊥BC CE=6 ，且∠ADE=90^° ，求 AE 的長.

（1）證明：延長 AD 到點 E ，使 DE/=AD 因為 D 是BC 的中點（已知），所以 CD=BD （中點定義）.在 ΔADC

.AD=ED （已作），和 ΔEDB 中，因為 ∠ADC=∠EDB （對頂角相等），所以CD=BD （已證），ΔADC?ΔEDB （SAS）.

（2）解：由題意得 AC=BE=6 ，所以 8-6

（3）延長 AD 交 EC 于點 F ，如圖6.因為 ∠B=90^° ， CE⊥BC ，所以 ∠ABC=∠DCF .在 ΔABD 和ΔFCD 中， 所以△ABD≌△FCD（ASA），所以 CF=BA=3，AD= DF .又 ∠ADE=90^° ，所以 AE=FE ，從而 AE=CE+ CF=9 ：

圖6

解題思路：此類題以中線或中點為基礎(chǔ)，通過延長中線并構(gòu)造對稱點形成全等三角形.解題流程是確定中點和中線，延長中線至輔助點，利用對稱關(guān)系構(gòu)造全等三角形，并應(yīng)用全等判定條件推導(dǎo)所需邊長或角度.進一步，可結(jié)合中線的取值范圍與圖形約束分析邊長范圍，實現(xiàn)量的綜合探究.該方法兼具幾何直觀性與推理嚴(yán)密性.

點評：倍長中線法充分利用中線和中點的對稱性質(zhì)，能夠在構(gòu)造全等三角形的同時分析邊長范圍，適用于涉及中線或中點關(guān)系的幾何問題，強調(diào)邏輯推理與圖形分析的結(jié)合.

4解法總結(jié)

綜上，角平分線法利用角平分線的幾何性質(zhì)，通過作垂線或輔助線形成三角形，再運用全等判定（如AAS，SAS推導(dǎo)邊長或角度關(guān)系，適合已知角度明確的題型；截長補短法通過延長線或調(diào)整線段，將復(fù)雜角度或邊長關(guān)系轉(zhuǎn)化為可判全等的三角形，從而求出所需邊或角，適合邊長不便直接比較的情境；倍長中線法以中點和中線為基礎(chǔ)，通過延長中線或構(gòu)造對稱點形成全等三角形，再結(jié)合中線性質(zhì)分析邊長或范圍問題，兼顧圖形直觀性與數(shù)量關(guān)系探究.總體而言，這類題解法的普遍指導(dǎo)在于：首先準(zhǔn)確分析已知條件，選擇合適輔助線；其次利用構(gòu)造的輔助三角形，結(jié)合全等判定建立邏輯鏈；最后通過全等關(guān)系和幾何性質(zhì)推導(dǎo)所求邊長、角度或范圍.在解題過程中，要注意輔助線的合理性、全等判定的準(zhǔn)確性及步驟間的邏輯銜接，從而形成完整、嚴(yán)密且可操作的思路，為應(yīng)對不同類型全等三角形構(gòu)造題提供指導(dǎo).

參考文獻：

[1熊凱鈺.核心素養(yǎng)理念下輔助線構(gòu)造三角形教學(xué)研究[D].廣州：廣州大學(xué)，2024.Z