立足整體 結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián) 深度學(xué)習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出：在教學(xué)中要重視對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.筆者進(jìn)行闡釋，不足之處，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

1內(nèi)容分析

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要概念，是研究運(yùn)動(dòng)變化的重要數(shù)學(xué)模型.初中階段主要學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，其中反比例函數(shù)是人教版教材安排的最后一類函數(shù)，是描述現(xiàn)實(shí)世界中具有反比例關(guān)系的數(shù)學(xué)模型[1].這三類初等函數(shù)雖然刻畫(huà)的變化規(guī)律各不相同，但從整體來(lái)看，函數(shù)內(nèi)容具有明顯的結(jié)構(gòu)化特征，其研究思路有跡可循，一般遵循“背景一概念一圖象一性質(zhì)一應(yīng)用\"的邏輯順序.這其中函數(shù)的圖象與性質(zhì)是函數(shù)研究的主體內(nèi)容，具有承上啟下之作用，其上承函數(shù)概念的深化理解，下啟函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用.通過(guò)對(duì)函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究，有助于揭示函數(shù)的本質(zhì)特征，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想.

2結(jié)構(gòu)梳理

函數(shù)研究?jī)?nèi)容具有共通性，研究路徑具有一致性，研究思想具有普適性.具體來(lái)說(shuō)，函數(shù)圖象與性質(zhì)的學(xué)習(xí)可以在一般觀念引領(lǐng)下系統(tǒng)開(kāi)展.從研究?jī)?nèi)容來(lái)看，主要聚焦圖象特征（形狀、位置、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性）與函數(shù)性質(zhì)（增減性、最值）這兩個(gè)方面；從研究路徑來(lái)看，學(xué)生在學(xué)習(xí)一次函數(shù) y=kx 和二次函數(shù) y= ax² 圖象與性質(zhì)的過(guò)程中經(jīng)歷了“進(jìn)行系數(shù)分類一分析具體函數(shù)一歸納共性特征\"這幾個(gè)關(guān)鍵步驟；從研究思想來(lái)看，分類討論可以更加全面系統(tǒng)地研究函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合可以從“式結(jié)構(gòu)”和“形結(jié)構(gòu)\"兩個(gè)維度對(duì)函數(shù)圖象與性質(zhì)進(jìn)行刻畫(huà)，從特殊到一般則是歸納抽象出函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵所在.

3教學(xué)實(shí)施

3.1立足整體，巧引新知

函數(shù)知識(shí)具有內(nèi)在的整體性、一致性和關(guān)聯(lián)性，新知往往是基于舊知的發(fā)展自然產(chǎn)生的.從整體視角梳理函數(shù)知識(shí)的來(lái)龍去脈，有利于溫習(xí)舊知、引出新知.

問(wèn)題1學(xué)習(xí)反比例函數(shù)之前，我們學(xué)習(xí)了哪幾類函數(shù)？學(xué)習(xí)函數(shù)的一般路徑是什么？

追問(wèn)：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念，猜想本節(jié)課我們將要學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？

教學(xué)說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生從整體視角梳理之前一次函數(shù)、二次函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑，滲透函數(shù)研究的一般方法，為將要學(xué)習(xí)的反比例函數(shù)明晰方向.通過(guò)追問(wèn)自然引出本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”，為接下來(lái)的新知探究做好準(zhǔn)備.

3.2剖析結(jié)構(gòu)，制訂策略

通過(guò)剖析已有函數(shù)圖象與性質(zhì)的內(nèi)在邏輯結(jié)構(gòu)，能夠?yàn)榉幢壤瘮?shù)圖象與性質(zhì)的研究提供參考和借鑒.

問(wèn)題2回顧之前一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)是如何研究的？嘗試進(jìn)行梳理.

教學(xué)活動(dòng)：師生從“研究?jī)?nèi)容、研究路徑、研究思想\"三個(gè)維度提煉一般規(guī)律和特性，共同繪制形成如下框架圖1.

圖象特征：形狀、位置、變化趨勢(shì)、對(duì)稱性研究?jī)?nèi)容 性質(zhì)：增減性、周期性、最值研究路徑 進(jìn)行系數(shù)分類 分析具體函數(shù) 歸納共性特征研究思想 分類討論 數(shù)形結(jié)合 特殊到一般

追問(wèn)：類比剛剛繪制的研究框架圖，請(qǐng)制訂反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究策略.

教學(xué)活動(dòng)：首先，類比一次函數(shù) y=kx（k≠0） 、二次函數(shù) y=ax²（a≠0） ，對(duì)系數(shù) k 和 a 進(jìn)行分類，由此可知探究反比例函數(shù) 的圖象與性質(zhì)，也需分 kgt;0 和 |klt;0 兩種情況，具體引導(dǎo)學(xué)生先從 kgt;0 這種情況入手進(jìn)行研究.其次，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生類比一次函數(shù)、二次函數(shù)的研究過(guò)程，發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)也要從數(shù)量特征（數(shù)）和幾何特征（形）來(lái)刻畫(huà)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合歸納圖象特征與性質(zhì).最后，學(xué)生自主類比一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)得出方法，提煉不同實(shí)例中蘊(yùn)含的共性規(guī)律，歸納出反比例函數(shù)的一般性質(zhì).

教學(xué)說(shuō)明：本環(huán)節(jié)意在引導(dǎo)學(xué)生跳出知識(shí)和技能的范疇，從整體化、結(jié)構(gòu)化和一般化視角對(duì)之前所學(xué)函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究歷程進(jìn)行解構(gòu)，抽象出研究過(guò)程中的共性特點(diǎn)和一般思路，建構(gòu)出函數(shù)研究的一般方法，為學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)提供可供遷移的經(jīng)驗(yàn)和策略.

3.3深度學(xué)習(xí)，探究新知

通過(guò)類比已有函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究策略，學(xué)生自主進(jìn)行反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究，真正實(shí)現(xiàn)函數(shù)研究的觸類旁通，這正是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在.

圖1

問(wèn)題3我們先來(lái)研究 kgt;0 的情況，以反比例函數(shù) 為例.請(qǐng)觀察解析式的結(jié)構(gòu)特征，你能從中推理出哪些圖象特征和性質(zhì)？

教學(xué)活動(dòng)：學(xué)生發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可以類比分式性質(zhì)進(jìn)行研究.由于 Ψ_x 作分母，因此x≠0 ，由 k≠0 ，推出 ，故圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，亦不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).由 xy=6 可知 x，y 要么同為正數(shù)，要么同為負(fù)數(shù)，故圖象位于第一或者第三象限.由于 xy 的乘積為定值，因此在每個(gè)象限 隨 x 的增大而減小.

問(wèn)題4建立平面直角坐標(biāo)系，嘗試畫(huà)出反比例函數(shù) 的圖象.

教學(xué)活動(dòng)：學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)時(shí)已經(jīng)會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象，所以學(xué)生能夠自然想到通過(guò)“列表—描點(diǎn)—連線\"畫(huà) 的函數(shù)圖象.受一次函數(shù)圖象是直線的影響，連線時(shí)容易用折線連接各點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)要用光滑的曲線進(jìn)行連接.由于之前所學(xué)函數(shù)圖象都是連續(xù)不間斷的，學(xué)生容易將第一象限和第三象限的點(diǎn)進(jìn)行連接，此時(shí)可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生分析 的解析式特點(diǎn)，同時(shí)借助幾何畫(huà)板軟件通過(guò)加密點(diǎn)的個(gè)數(shù)動(dòng)態(tài)演示 的圖象生成過(guò)程，得到如圖2所示的函數(shù)圖象.

問(wèn)題5觀察圖象，你還能發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù) y= 的哪些性質(zhì)？請(qǐng)補(bǔ)充.

教學(xué)活動(dòng)：從圖象觀察，對(duì)于雙曲線上的每一個(gè)點(diǎn) （x，y） ，都有點(diǎn) （y，x） 也在此雙曲線上；從解析式的角度來(lái)看，將 （Π_X，y） 互換位置， x 與 的乘積保持不變.因此，雙曲線具有對(duì)稱性，關(guān)于直線 y=±x 對(duì)稱.學(xué)生進(jìn)一步觀察，對(duì)于雙曲線上的每一個(gè)點(diǎn) （x，y） ，都有 （-x，-y） 的點(diǎn)位于圖象上；分析解析式結(jié)構(gòu)，當(dāng)自變量 x 變?yōu)橄喾磾?shù) -x ，函數(shù)值 則變?yōu)橐粂，乘積亦不變.因此，雙曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱[2].

教學(xué)說(shuō)明：?jiǎn)栴}3從特例入手分析其解析式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)抽象的“式結(jié)構(gòu)”推理其具象的“形結(jié)構(gòu)”，實(shí)現(xiàn)“由數(shù)想形”，發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理和空間想象能力.問(wèn)題4通過(guò)描點(diǎn)法畫(huà)出反比例函數(shù)圖象，由于反比例函數(shù)中自變量 x≠0 ，因變量 ，因此反比例函數(shù)圖象是不連續(xù)的雙曲線，與坐標(biāo)軸漸近但是不相交，這與一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象形成了認(rèn)知沖突，此時(shí)借助幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)生成圖象巧妙突破難點(diǎn).問(wèn)題5借助直觀的圖象進(jìn)一步挖掘反比例函數(shù)的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“由形釋數(shù)”，發(fā)展學(xué)生幾何直觀和邏輯推理能力.

問(wèn)題6請(qǐng)嘗試分析 的圖象和性質(zhì)，它們與 有哪些共性特點(diǎn)？

追問(wèn)：利用幾何畫(huà)板改變 k（kgt;0） 的值，請(qǐng)觀察在k 的變化過(guò)程中依然存在以上共性特征嗎？有什么不同點(diǎn)嗎？

教學(xué)活動(dòng)：學(xué)生類比 y= 的探究過(guò)程，在同一坐標(biāo)系畫(huà)出 xy= 的圖象（如圖3），提煉三者之間的共性，發(fā)現(xiàn)它們?cè)趫D象形狀及其所在的位置、對(duì)稱性、增減性等方面表現(xiàn)一致.三個(gè)反比例函數(shù)雖然 k 值符號(hào)相同，但絕對(duì)值不同，觀察圖象可知它們離原點(diǎn)的距離不同，

圖3

絕對(duì)值大的圖象離原點(diǎn)遠(yuǎn).

教學(xué)說(shuō)明：僅憑一個(gè)實(shí)例歸納反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模蕟?wèn)題6引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究更多實(shí)例，通過(guò)觀察不同實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生抽象歸納其共性特征.通過(guò)追問(wèn)，借助幾何畫(huà)板改變 k 值驗(yàn)證其不變的性質(zhì)，驗(yàn)證猜想的正確性，實(shí)現(xiàn)由特殊到一般.

問(wèn)題7請(qǐng)類比 kgt;0 時(shí)反比例函數(shù)圖象及性質(zhì) 的研究過(guò)程，自主探究當(dāng) klt;0 時(shí)反比例函數(shù)的圖象 與性質(zhì).

追問(wèn)：你能總結(jié)反比例函數(shù) 的圖象特征與性質(zhì)嗎？

教學(xué)說(shuō)明：學(xué)生經(jīng)歷了反比例函數(shù) （20的完整探究歷程，積累了一定的經(jīng)驗(yàn)和方法，故研究 的圖象可以采用類比思維，放手給學(xué)生自主探究，實(shí)現(xiàn)舉一反三、觸類旁通，從而促進(jìn)深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生.通過(guò)追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生分類梳理反比例函數(shù)圖象的特征與性質(zhì)，再次體現(xiàn)分類討論思想在函數(shù)研究中的重要性.

3.4思維進(jìn)階，拓展新知

探究完反比例函數(shù)的基本圖象與性質(zhì)之后，此時(shí)應(yīng)順勢(shì)而為進(jìn)行新知拓展，加深學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，實(shí)現(xiàn)函數(shù)研究由低階思維到高階思維的進(jìn)階.

問(wèn)題8請(qǐng)?zhí)骄亢瘮?shù) 的圖象與性質(zhì)，分享你的探究歷程及結(jié)論.

教學(xué)說(shuō)明：本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生研究更為復(fù)雜的反比例型函數(shù)，促進(jìn)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)遷移，拓展學(xué)生認(rèn)知視野，提升學(xué)生思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生高階思維.

3.5系統(tǒng)總結(jié)，建構(gòu)體系

反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的總結(jié)不應(yīng)局限于知識(shí)與技能的梳理，需要從全局視角進(jìn)行系統(tǒng)建構(gòu)，從而形成函數(shù)研究的一般方法和系統(tǒng)觀念，為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)做好鋪墊.

問(wèn)題9反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)有哪些？嘗試進(jìn)行系統(tǒng)梳理.

問(wèn)題10對(duì)于反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究，我們經(jīng)歷了哪些過(guò)程？積累了哪些經(jīng)驗(yàn)？

問(wèn)題11初中函數(shù)研究的一般套路是什么？這為我們以后學(xué)習(xí)新函數(shù)有何幫助？

教學(xué)活動(dòng)：師生共同總結(jié)反比例函數(shù)的研究成果及探究歷程，進(jìn)一步梳理初中函數(shù)研究的一般套路、一般方法和一般觀念，構(gòu)建函數(shù)研究的整體框架圖（如下圖4）.

教學(xué)說(shuō)明：?jiǎn)栴}9意在梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，全面加深學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解.問(wèn)題10引導(dǎo)學(xué)生從整體視角回顧探究歷程，提煉反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)研究的通性通法.問(wèn)題11則是更近一步，從初中階段所學(xué)函數(shù)入手梳理函數(shù)研究的一般套路，形成函數(shù)研究的一般觀念，為以后研究新的函數(shù)積累經(jīng)驗(yàn)，提供參考和借鑒.

4教學(xué)反思

4.1注重整體建構(gòu)，提煉一般觀念，形成通性通法

章建躍博士指出：數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)統(tǒng)一的整體，其整體性體現(xiàn)在各部分內(nèi)容之間的相互聯(lián)系上.一般觀念則是對(duì)各關(guān)聯(lián)內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)一步提煉和概括，是研究數(shù)學(xué)對(duì)象的方法論.基于此，本節(jié)課在新知導(dǎo)入部分注重整體建構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生從整體視角回顧之前所學(xué)一次函數(shù)、二次函數(shù)之間的共性內(nèi)容，提煉函數(shù)研究的一般路徑，解決“學(xué)什么”的問(wèn)題.緊接著啟發(fā)學(xué)生從結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)視角解構(gòu)函數(shù)圖象與性質(zhì)研究的一般方法，提煉函數(shù)研究的一般觀念，解決“如何學(xué)\"的問(wèn)題.在新知探究部分，學(xué)生在一般觀念引領(lǐng)下自主探究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，交流學(xué)習(xí)成果，師生點(diǎn)評(píng)互動(dòng)，解決“學(xué)得怎樣”的問(wèn)題.在總結(jié)反思部分，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)初中三類函數(shù)進(jìn)行一般化梳理，形成函數(shù)研究的整體脈絡(luò)，讓知識(shí)結(jié)構(gòu)化、思維顯性化、方法一般化，最終形成函數(shù)研究的通性通法.

4.2加強(qiáng)代數(shù)推理，重視思想引領(lǐng)，凸顯函數(shù)本質(zhì)

研究函數(shù)的基本方法是數(shù)形結(jié)合，而坐標(biāo)是聯(lián)系“數(shù)\"（函數(shù)解析式）與“形”（函數(shù)圖象）的橋梁，因此可以通過(guò)分析自變量與所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的特點(diǎn)來(lái)推理函數(shù)的圖象特征與性質(zhì).基于此，本節(jié)課在畫(huà)函數(shù)圖象之前首先對(duì) 的圖象特征進(jìn)行代數(shù)推理，實(shí)現(xiàn)“由數(shù)想形”在此基礎(chǔ)上通過(guò)列表法畫(huà)出函數(shù)圖象，借助圖象的直觀性進(jìn)一步豐富完善函數(shù)性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)“由形助數(shù)”，真正實(shí)現(xiàn)數(shù)與形相互聯(lián)系.同時(shí)，整個(gè)探究過(guò)程注重思想引領(lǐng)，首先強(qiáng)化分類討論思想，在分類研究時(shí)遵循由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)

6 1

xy= 三個(gè)實(shí)例提煉圖象的不變特性，進(jìn)而歸納出反比例函數(shù) 的一般性質(zhì).有了 kgt;0 的經(jīng)驗(yàn)積累，在 klt;0 探究環(huán)節(jié)放手讓學(xué)生自主探究，則是體現(xiàn)了類比遷移的思想.通過(guò)思想引領(lǐng)探究，凸顯函數(shù)的本質(zhì)是聯(lián)系和變化.

4.3厘清認(rèn)知結(jié)構(gòu)，驅(qū)動(dòng)思維進(jìn)階，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)

學(xué)習(xí)新知識(shí)的過(guò)程就是學(xué)習(xí)者積極主動(dòng)地從已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中提取與新知識(shí)最有聯(lián)系的舊知識(shí)，并且加以“固定\"或者“歸屬”的一種動(dòng)態(tài)過(guò)程，這與深度學(xué)習(xí)的本質(zhì)特征高度吻合.本節(jié)課從整體上探尋反比例函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)之處，提煉之前所學(xué)函數(shù)的一般方法和規(guī)律，找到新舊函數(shù)之間的共通點(diǎn)，將已有函數(shù)研究經(jīng)驗(yàn)類比遷移到新的函數(shù)之中，最終將新知?dú)w納到已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，化未知為已知.通過(guò)厘清認(rèn)知結(jié)構(gòu)，最終抽象出函數(shù)研究的一般套路：“明確研究對(duì)象一對(duì)一些具體事例展開(kāi)研究—發(fā)現(xiàn)共同特征、規(guī)律或者不變關(guān)系一建立數(shù)學(xué)模型一歸納概括獲得一般結(jié)論一通過(guò)這些結(jié)論解決同類問(wèn)題或進(jìn)行預(yù)測(cè)”這其中的關(guān)鍵是由具象到抽象，由特殊到一般，由局部到整體，這正是驅(qū)動(dòng)思維進(jìn)階的關(guān)鍵所在.通過(guò)思維進(jìn)階能將原有碎片化、淺層化學(xué)習(xí)逐步過(guò)渡到結(jié)構(gòu)化、深層化學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)既見(jiàn)樹(shù)木又見(jiàn)森林，最終促進(jìn)深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生.

參考文獻(xiàn)：

[1]馬翠英.點(diǎn)評(píng)：提煉“一般觀念”發(fā)展抽象意識(shí)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（11）：37-39.

[2]烏日力格.課例：“一般觀念”下知識(shí)的解構(gòu)與建構(gòu)“以反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)為例”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（11）：34-36.Z