函數與方程思想在解題中的融合應用

一元二次函數是初中數學中非常重要的一類函數，圖象是一條拋物線.與之對應的是一元二次方程一元二次方程的解可以看成方程左右兩邊對應函數圖象交點的橫坐標.解答相關習題時，通過二者的相互轉化，融合應用，可以少走彎路，迅速找到解題思路.

1探尋方程根的大小關系

探尋一元二次方程根的大小，一般可以通過解出方程的根進行比較.然而對于部分習題，并不能直接求出方程的根，需要從函數視角進行分析.解答相關問題時，需要正確判斷一元二次函數圖象的開口方向，理解 a 的大小與拋物線開口大小之間的關系，以正確畫出函數圖象.對于一元二次函數 y=ax²+bx+c （a≠0），a 為正數時對應的圖象開口向上， a 為負數時對應的圖象開口向下，并且無論 a 是正是負， ∣a∣ 越大，對應圖象的開口越小.

例1已知三個關于 x 的方程 a₁（x+1）（x-2）= 1，a₂（x+1）（x-2）=1，a₃（x+1）（x-2）=1 ，其中常數 a₁gt;a₂gt;a₃gt;0，x₁，x₂，x₃ 分別按照上述順序對應三個方程的正根，則 x₁…x₂…x₃ 的大小關系為

解析：三個一元二次方程均含有參數，如將其展開通過求根公式求出對應的根，計算較為煩瑣，難度較大.觀察可知三個方程的形式相近，因此，可以考慮從函數視角進行分析.通過畫圖觀察對應一元二次函數圖象與直線 交點橫坐標的大小關系.

題干中的三個方程左側部分形式相似，左側均為1，將其轉化為函數圖象問題進行分析.左側可以轉化為二次函數 y₁=a₁（x+1）（x-2） ， y₂=a₂（x+1） ·（x-2） 業 y₃=a₃（x+1）（x-2） ，三個二次函數的圖象和 Ψ_x 軸的交點相同，均為 （-1，0） ，（2，0）.

聯系二次函數圖象可知， a₁ a₂?a₃ 的大小決定著圖象的開口大小， ?a₁gt;a₂gt;a₃gt;0 ，由此可以畫出對應的函數圖象，如圖1所示.

由 x₁，x₂，x₃ 分別對應三個方程的正根，觀察圖象可以得到x₁23 ：

點評：該題看似較為抽象，通過聯系函數圖象便不難突破.解題時需要將方程根的問題轉化為函數圖象的交點問題，并根據 a₁gt;a₂gt; a₃gt;0 正確畫出相應的拋物線的圖象.

2求二次函數最值

求一元二次函數的最值一般需要應用二次函數的性質，通過分析 x 的取值范圍和函數圖象對稱軸的關系進行計算求解.但是部分習題結合一元二次方程進行設問，通過給出方程根的取值范圍來限制一元二次函數圖象的大致位置.解答時應注意畫出草圖進行輔助，求出對應參數的取值范圍.

例2若關于 x 的方程 x²-（m+3）x+m+6=0 的兩根 x₁，x₂ 滿足 11?22 ，則二次函數 y= x²-（m+3）x+m+6 的頂點縱坐標的最大值為

圖1

解析：根據所給一元二次方程兩根的取值范圍構造對應的不等式，求出 Ψ_m 的取值范圍.將二次函數 y= x²-（m+3）x+m+6 改寫成頂點式，求出對應縱坐標的表達式，結合 ?_m 的取值范圍，運用一元二次函數的性質求出最值.

由題意可知關于 x 的方程 x²-（m+3）x+m+ 6=0 有兩個不同的實根 x₁，x₂ ，則 Δ=[-（m+3）]²- 4（m+6）=m²+2m-15=（m+5）（m-3）gt;0 ，解得mgt;3 或 mlt;-5

由于 11?22 ，則當 x=1 時， y=1-m- 3+m+6=4gt;0 恒成立；當 x=2 時，應有 y=2²- 2（m+3）+m+6≤0 ，解得 m?4 結合 mgt;3 或 mlt; -5 ，可知 Σ_m 的取值范圍為 m?4

根據二次函數 y=x²-（m+3）x+m+6= ，可知其圖象的頂點坐標為

令 ，該二次函數圖象開口向下，對稱軸為直線 m=-1. 由二次函數的性質可得，當 m=4 時， y₂ 有最大值，此時的最大值為 y₂=

4，即y=x2-（m+3）x+m+6

的頂點縱坐標最大值為 ：

點評：該題難度中等，通過將要求的一元二次函數改寫成頂點式，明確頂點的縱坐標表達式中含有Ψ_m ，因此，解答時應從已知條件入手，根據所給一元二次方程根的分布情況，聯系對應函數圖象，構造對應的不等式，求出 m 的取值范圍后，問題便可迎刃而解.

3求參數取值范圍

求參數取值范圍是初中數學中的常考題型之一，考查的知識靈活多變2.解答該類問題的常規思路是對要求的問題進行等價轉化，尤其注重函數與方程思想的應用，通過函數與方程的等價轉化將抽象的問題變得直觀、簡單.當然，對于部分情境較為新穎的習題，認真審題、深入理解、吃透題意是關鍵.

例3定義 如， 1?5=1. 實數 k 滿足 k?[x²?（x+1）]-1=0 ，若這個關于 x 的方程有兩個不相等的實數根，則 k 的取值范圍為

解析：結合題干中給出的新定義對要求的方程進行變形，轉化成與所給新定義相同的形式，分別得出不同 x 的范圍對應的函數表達式.將方程問題轉化為函數問題，通過畫出、觀察兩個函數圖象的關系，計算出 k 的取值范圍.

由實數 k 滿足 k?[x²（?（x+1）]-1=0 ，且這個關于 x 的方程有兩個不相等的實數根，易得 k≠0

由所給方程變形，得到 令 y₁= 中 基于對題干所給新定義的理解，可得y1={χ2（（x2-x-1≤1），

當 x²-x-1=1 ，即 x²-x-2=0 時，解得 x₁=2

（204號 x₂=-1. 故當 x²-x-1?1 時， -1?x?2 ；當 x²-x-1gt; ，1時， ?xgt;2 或 xlt;-1. 所以xlt;-1）

據此畫出函數圖象，如圖2所示.其中，當 x=-1 時，x²=1 ；當 x=2 時， x²=4 ，x+1=3. 要想滿足題意， y₁，y₂ 有兩個交點，則 或 3lt; ，解得 k?1 或

圖2

點評：該題是新定義問題，成功解題的關鍵在于兩點.其一，吃透題意，將所給的方程進行轉化，以更好地應用所給的新定義；其二，將方程問題轉化為函數問題，正確畫出對應函數的圖象，從圖象中提煉出對應的不等關系.

4求參數的值

求參數的值是初中數學中常考常新的一類問題由于習題創設的情境不同，因此，解題思路存在一定的差別.其中對于一元二次函數及一元二次方程問題，應根據題意及解題需要將函數與方程進行針對性轉化，并基于對所學知識的深入理解，注重挖掘與應用隱含條件，以達到快速解題的目的.

例4已知在關于 x 的方程 ∣x²+2px-3p²+5∣- q=0 中 ρ，q 都是實數，若方程有 x₁，x₂，x₃ 三個不同的實數根，且 ，則 q 的值為

解析：解答該題的關鍵在于從函數視角對所給的方程進行分析，通過移項，去掉絕對值將方程問題轉化為兩個函數的關系問題.其中正確理解所給方程有三個不同的實數根是解題的關鍵.

由 ∣x²+2px-3p²+5∣-q=0 ，可得 qgt;0，x²+ 2px-3p²+5=±q .設函數 y₁=x²+2px-3p²+5 .y₂=±q ，顯然圖象 y₁ 的對稱軸為直線 x=-p

由于函數 y₁ 與 y₂ 的圖象有三個不同的交點，則y=-q 經過函數 y₁ 的頂點，則 5-4p² ，即 q=4p²-5

設 x₁，x₂ 是方程 x²+2px-3p²+5=q 的兩個根， x₃=-p ，則 x²+2px-3p²+5=4p²-5 ，整理得到 x²+2px-7p²+10=0 ，由根與系數之間的關系，可得 x₁+x₂=-2p，x₁x₂=10-7p²

由 0，可得到 ，則 ，易得 p²=2

滿足 Δ=（2p）²-4（10-7p²）=32p²-40gt;0 ，則 q=4p²-5=3.

點評：該題難度較大，去掉絕對值符號后應能分析出 y=-q 過函數 y₁ 圖象的頂點，從而構建 q 和 Σ_P 的等量關系.同時，通過根與系數的關系及—+十 求出 p² 的值，從而計算出 q 的值.

綜上所述，函數與方程思想在初中數學解題中有著廣泛的應用，可以達到迅速找到解題切入點及解題思路的目的.在學習一元二次方程及一元二次函數知識時，應注意建立二者之間的聯系，并在日常的做題訓練中多進行總結與反思，把握函數與方程思想應用的精髓，通過函數與方程的有效融合，靈活應對相應的習題，真正地做到舉一反三.

參考文獻：

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[2]徐玲玲.利用二次函數與一元二次方程關系解題的策略研究[J].數學學習與研究，2023（36）：116-118.Z