解決二次根式問題的技巧與策略

初中數學中，形如 （ a?0 ）的式子為二次根式，性質包括非負性、平方與開方的互逆性，運算法則有加減法則、乘法法則及除法法則等.這些性質與運算法則是解決二次根式問題的重要依據[1].當然，對于部分習題，運用二次根式基礎知識難以找到突破口，需要認真觀察，注意挖掘習題中的隱含信息，對要求的問題進行巧妙轉化，注重探尋其中的規律，以化陌生為熟悉，減少煩瑣的運算，提高解題效率.

1分母有理化

分母有理化指通過分子、分母同乘相同的式子，將分母變為有理數的過程.分母有理化是將無理數轉化為有理數的重要方法，是解決二次根式問題的常用策略.在進行分母有理化時，常運用平方差或二次根式的性質，確保分母有理化前后式子的值保持不變.

例1已知實數 x，y 滿足 ，求 x+y+2 023 的值.

解析：分母有理化是針對分式而言的，題干中并未給出分式，因此，需要對題干所給的已知條件進行變形，得出對應的分式，借助分母有理化，重新構造新的關系式.

由 ） （20 2023，得 ，則 x+

同理

于是得到 ，則 x+y=0 故 x+y+2 023=2 023.

點評：該題題干簡單，給出的已知條件較少，技巧性較強.解題的關鍵在于靈活運用所給的等式重新構建新的等式，具體需要先進行變形，而后運用平方差公式進行分母有理化得出兩個等式，通過將這兩個式子相加，不難得出 x+y=0 ，便可求出 x+y+2 023 的值.

2巧用隱含條件

對于初中數學部分二次根式問題，設問巧妙，已知條件或要求解的問題中帶有二次根式，但是無法直接運用相關的運算法則.對于該種類型的問題，解題時應注重觀察，合理聯系二次根式相關知識，尋找蛛絲馬跡，通過挖掘隱含條件另辟蹊徑，迅速找到解題切人點[2].

例2若 a²+b²=4? 則 ∣b²+2b+9∣ 的值為（ ）.

A.6 B.7 C.8 D.9

解析：要求的式子中帶有二次根式，且被開方的式子含有 a_λ，b 兩個參數，可以先通過分組進行因式分解，運用二次根式的性質確定其取值范圍，而后運用已知條件 a²+b²=4 再次確定其范圍，通過對比求出a_λ，b 的值.

由已知條件可得 ab²-2ab+2b²-8a-4b-16= b²（a+2）-2a（b+4）-4（b+4）=b²（a+2）-2（b+4）× （a+2）=（a+2）（b²-2b-8）=（a+2）（b+2）（b-4）?0|

由 a²+b²=4 ，得 ∣a∣?2，∣b∣?2 ，則 a+2?0 ，b-4lt;0，b+2?0 ，易得 （a+2）（b-4）（b+2）?0 業

所以 ，則 a=-2，b=0 .或 b=-2，a=0

易得 |b²+2b+9|=|（b+1）²+8|=（b+1）²+8.

當 b=0 時， （b+1）²+8=9 ：

當 b=-2 時， （b+1）²+8=9 綜上可知，所求式的值為9，選擇：D.

點評：該題僅有一個已知條件，要求解的式子含有二次根式，較為復雜，而且已知條件較為特殊，并不能直接求出 a_λ，b 的值.看似無從下手，實則只要把握三個關鍵點，運用隱含條件，便可迅速突破.其一，將被開方的式子單獨進行分析，通過因式分解，利用二次根式的性質，得出 （a+2）（b-4）（b+2）?0 ；其二，運用a²+b²=4 分析出 a 和 b 的取值范圍及 （a+2）× （b-4）（b+2） 的取值范圍，推出 （b+2）=0 ；其三，求出 的值，通過分類討論計算出結果.

3構造圖形

在解決初中數學二次根式問題時，應根據需要構造圖形，將抽象的問題轉化為直觀的圖形，通過觀察

圖形特點，尋找切入點.

例3已知 a，b，c 為正實數，且滿足 a+b+c= 6，則 的最小值為

解析：要求解的問題含有三個二次根式且帶有三個參數，較為抽象和復雜.觀察已知條件以及要求解的問題，可以將三個根式與直角三角形的三邊對應起來，將問題轉化為求三個直角三角形三條斜邊之和的最小值，構造圖形便可一目了然.

這里要求 的最小值，可以將 ， ， 分別看成直角三角形的斜邊，構造如圖1所示的圖形，

則 由圖1可知，當點 A，C，E，G 共線時，其值最小.

設 AB 的延長線和 GF 的延長線相交于點 O ，則ΔAOG 為直角三角形，顯然， AO=a+b+c=6，OG= .根據勾股定理可得 AG= ，所以 的最小值為18.

點評：該題已知條件較為簡單，采用常規思路無法求出最終結果.事實上，解答該題時需要擺脫思維定式，轉換解題的思路，將代數問題轉化為幾何問題，將涉及的三個二次根式看作三個直角三角形的直角邊，畫出圖形便可清晰地看到要求的問題是三個直角三角形的斜邊之和.

4巧用規律

初中數學二次根式問題情境多變，尤其涉及二次根式的運算問題，一般需要應用二次根式的運算法則[3].部分習題還要通過觀察、總結對應的運算規律，探尋運算技巧，把握運算的本質，通過運算規律的巧用，求得結果.

例4 已知 為正整數），若 S_n=T₁+T₂+…+T_n ，則 S₂₀₂₄ 的值為（ ）.

解析：該題是與二次根式相關的新題型問題，難度較大.解題時可以從已知條件入手，通過觀察所給的等式，對等式進行縱向和橫向對比，總結出對應的運算規律，表示出 S_n ，觀察式子特點，計算出結果.

由 所以 S₂₀₂₄=T₁+T₂+……+T_{2 024}=2 024+ 故選擇：A.

點評：該題看似無從下手，實則有規律可循，因此，尋找其中的規律成為解題的關鍵.解題時應注重以下兩點.其一，認真觀察所給等式左右兩邊的特點，對等式的右邊進行適當變形，嘗試探尋其規律，如不易找到其中的規律，可以模仿已知條件多寫出幾個等式；其二，歸納出 ，根據這一等式，分別表示出 T₁，T₂，T₃，…，T_n ，觀察式子特點，進行求和運算.

綜上所述，初中數學二次根式問題的類型較多.為更好地解決二次根式問題，應注意兩個方面.一方面，夯實基礎.理解及牢記二次根式的性質及運算法則，把握其底層邏輯及與其他知識點之間的區別與聯系.另一方面，總結解題技巧及策略.對二次根式習題進行歸類，分析及總結常用的解題技巧與策略，把握相關的解題細節及容易出錯的環節，將解題技巧及策略內化為自身的能力，提高應對各種二次根式問題的能力.

參考文獻：

[1]黃永源.二次根式常見問題分類探析[J].初中數學教與學，2025（5）：43-44.

[2]曲海燕.挖掘二次根式的隱含條件解題[J].數理天地（初中版），2025（7）：35-36.

[3]張燕.解答二次根式問題需注意的幾個要點[J].語數外學習（初中版），2024（4）：27-28.Z