立足整體 關注聯系 提升素養

數學學科是一門邏輯性較強的學科，數學知識間有著千絲萬縷的聯系.在初中數學教學中，教師要引導學生站在聯系的視角下去分析和解決問題，幫助學生建構完善的知識體系，提高綜合分析和解決問題的能力，讓深度學習自然發生.數學知識在教材中是以“點”的形狀呈現的，若教學中忽視知識間的前后聯系，學生不僅難以理解知識本質，而且不利于個體知識體系的建構，影響其數學遷移能力的提升.教師作為學生學習路上的領路人，要認真研究教學內容，把握知識之間的內在聯系，處理好局部和整體的關系，從而實現“連點成線”“連線成面\"\"勾面成體\"的效果[1].同時，在單元整體教學中，教師應為學生營造一個輕松的、愉悅的學習環境，充分發揮學生在學習過程中的主體作用，以此促進知識的生長、能力的提升、素養的發展.筆者在教學“平方根與立方根\"時，將本節課知識內容置于整體知識的體系中，著重引導學生進行新舊知識類比，有效激發學生的潛能，助力學生數學學科素養的形成和發展

課堂實錄

（一）探究平方根

1.創設情境，導入新課

師：課前讓大家準備若干面積為1 dm² 的卡紙，你們準備好了嗎？

生眾：準備好了.

師：量一量、算一算，卡紙的邊長是多少？

生眾： 1dm.

師：請每人拿出2張面積為 1dm² 的卡紙，“剪一剪”\"拼一拼”，你能得到一個大的正方形嗎？（教師預留時間讓學生動手剪拼）

師：說一說你是如何剪拼的

生1：將2張卡紙分別沿對角線對折，然后剪開，這樣可以得到4個等大的三角形，將這4個三角形拼在一起，剛好拼成一個大正方形（圖1）.

設計意圖從學生熟悉的知識內容出發，通過剪拼得到面積為 2dm² 的正方形，從而為平方根概念的引入做好鋪墊.

2.數學建模，形成概念

師：剪拼后，這個大正方形的面

積是多少？生眾： 2dm². 師：它的邊長是多少？應該如何

解決這個問題？生2：設正方形的邊長為 xdm ，則

x²=2. 我就做到這一步，沒有得到最

后的結果.師：能用已學的有理數表示 ?_x 嗎？生眾：不能.

師：這說明了什么？接下來我們該怎么辦呢？生3：說明現有的數已經不夠用了，需要對數進行擴充.師：非常好，今天我們來共同完成這次數的擴充.師：從形式上來看， x²=a，a 是 x 的平方，而x是a的平方根.（教師板書平方根的概念，并讓學生理解、識記）

設計意圖通過創設生活情境讓學生體會現有的數已經不能滿足實際生活的需要，感悟將數進一步擴充的必要性.同時，在此過程中，以生活為背景，彰顯數學與生活的緊密聯系，讓學生體會數學“源于生活”并“服務于生活”

3.應用概念，歸納性質師：如果 a=4 ，它的平方根是什么？生4： ±2 師：如果 a=9 呢？生5：它的平方根是 ±3. （20師：你能列舉一些實例，并說一說它的平方根是多少嗎？（教師讓學生兩人一組，一人說數，一人找它的平方根.學生給出了許多數，如16，25等.）師：通過以上操作，你有什么發現？生6：每個正數都有兩個平方根，且它們互為相反數.師：2的平方根是什么？你能用符號表示出來嗎？（生不語）師：正數的平方根表示為 ，其中“ ?^-，， 為根號， |a| 叫做被開方數.現在你能用符號表示出2的平方根了嗎？生7： ，讀作正負根號2.師：你能寫出3，5，7的平方根嗎？（學生很快給出了答案）師：以上所研究的數有什么特征？是不是所有的數都具有平方根呢？生8：以上我們所研究的數都是正數，不是所有的數都具有平方根的，負數沒有平方根.

師：0呢？它有平方根嗎？生9：0的平方還是0，所以0的平方根是它本身.師：很好，結合以上探究過程，你能歸納總結平方根的性質嗎？教師讓學生歸納總結，并板書：① 正數：有兩個平方根，且互為相反數；② 負數：沒有平方根；③0 ：有一個平方根，是0本身.師：正數的正平方根和0的平方根又稱為算術平方根，記作 （204號 .（教師板書算術平方根的概念）

設計意圖此環節先是從學生已有知識經驗出發，通過具體實例讓學生感知每個正數有兩個平方根，且這兩個平方根互為相反數.在此基礎上，教師引導學生回歸情境問題，讓學生思考2的平方根，由此自然引入平方根的概念及符號表達.平方根的概念給出后，教師讓學生思考是不是所有的數都具有平方根，引導學生對數進行分類討論，從而得到平方根的性質.在此過程中，教師以學生為中心，通過創設有效問題引導學生去發現、去歸納、去表達，培養學生邏輯推理和歸納概括等能力和素養.

4.應用練習，深化理解

例寫出下列各數的平方根和算術平方根.

學生獨立完成，教師點名讓學生在黑板上解答，并讓其他學生對解答過程進行點評.

設計意圖通過練習幫助學生鞏固所學知識，并通過生生互評完善學生解題過程，充分發揮學生的主體作用，實現教、學、評的一致性.

（二）探究立方根

師：觀察這個魔方，它屬于什么幾何體？生10：正方體

師：假設這個正方體的體積是64cm³ ，你能說說這個正方體的棱長是多少嗎？

生 11：4cm 師：你是怎么想的呢？

生11：設正方體的棱長為 ?_x ，則x³=64. 又 4³=64 ，所以這個正方體的棱長是 4cm 業

師：類比平方根的經驗，你認為這里的x表示64的什么呢？

生12：立方根.

師：結合平方根的概念，你能給出立方根的概念嗎？

教師先讓學生回顧平方根的概念，然后嘗試給立方根下定義.教師讓學生自己歸納和表達，并在此基礎上進行完善，從而得到立方根的概念.（教師板書立方根的概念）

師：如何用符號表示呢？生13：數的立方根記作 ，讀

作三次根號a師：說說下列各數的立方根：（1）8；（2）-27;（3）0；（4）9.生14：因為 2³=8 ，所以8的立方根

是2，即 生15：因為 （-3）³=-27 ，所以-27

的立方根是-3，即 生16：因為 0³=0 ，所以0的立方根

是0，即 生17：因為 ，所以9的

立方根是 ·師：很好，結合以上探究過程，

與平方根的性質相類比，你能得到

立方根怎樣的性質？教師啟發學生回憶平方根的性

質，并歸納總結：① 一個正數有一個正立方根;② 一個負數有一個負立方根；③0 的立方根是0；④ 每一個數都只有一個立方根.設計意圖從學生熟悉的實例

出發，讓學生體會探索一個數的立方根的重要性，激發學生學習積極性.在此過程中，引導學生將平方根的概念、性質相類比，自主構建立方根的概念及性質；引導學生深刻領會數學知識間的內在聯系，培養學生知識遷移的能力.

（三）探究n次方根

師：學習了平方根和立方根后，你想繼續研究什么內容？

生18：n次方根

師：通過以上知識內容的學習，說說你的發現.

生19：求一個數的平方根的運算叫做開平方，求一個數的立方根的運算叫做開立方，那么求一個數的 n 次方根的運算叫做開 ?_n 次方.數 a 的 n 次方根記作 ：

師：說得非常好，認真分析生19的表述，你認為準確嗎？

生20：一個正數的平方根有兩個，但是一個數的立方根只有一個，所以將數 a 的 n 次方根記作 是不正確的，需要分類討論.

師：非常棒，你認為應該如何分類呢？

生21：可以將 ?n 分為奇數和偶數兩類.

師：你的依據是什么呢？

生21：當 n 為偶數時，與平方根類似，每個數都有兩個 ?_n 次方根，且它們互為相反數，記作 .當 n 是奇數時，其與立方根類似，每個數都有一個立方根，記作

師：很好，這樣我們就將開平方、開立方推廣到了開 ?_n 次方

設計意圖將相關知識內容進一步拓展延伸，讓學生自主歸納總結 n 次方根的概念及性質，促進知識的自然生長.在此過程中，滲透特殊與一般的數學思想方法，讓學生充分體會數學知識間的內在聯系，有利于培養學生整體意識，提高學生的自主探究能力.

（四）擴充數系

師：觀察 ， ， ，這

些數是什么樣的數呢？（教師讓學生自主閱讀教材相

關內容）

生22：無理數.

師：很好，之前我們已經學習了無理數的概念，你還記得什么是無理數嗎？你能列舉一些無理數嗎？

教師預留時間讓學生回顧、交流

師：下列各數，哪些是有理數？哪些是無理數？

3.14; √10;π；√27 ； V-125;0.0100100010001;

學生獨立思考后，小組共同探究，教師讓學生給出判斷的理由，并及時點評.在此基礎上，教師給出實數的概念，這樣增加了無理數后，形成實數集，實現了數的又一次擴充.

（五）課堂小結

師：今天我們重點研究了哪些知識內容？是如何研究的？這些知識內容與我們之前所學的哪些知識有關？你有哪些收獲？

教師引導學生從知識、思想、方法等層面進行歸納總結，并鼓勵學生主動表達自己的所想、所思、所惑，教師進行補充和完善

設計意圖課堂小結是課堂教學的重要一環，是完善個體知識體系，提煉數學思想方法，培養學生反思習慣的重要路徑.課堂小結環節，教師要放手讓學生自主去歸納，更好地了解自己對知識的掌握情況，建構知識體系，培養整體建構意識.

教學思考

單元整體教學是從整體出發，將相關知識進行整合，讓學生從整體上把握某一章節或某一單元的內容，讓學生更好地理解知識間的內在聯系，從而實現知識的系統化建構，培養學生全面分析、系統學習的能力.同時，單元整體教學改變了傳統教學中被動記憶知識點的方式，而是將所學知識點串聯起來，形成一個龐大的知識網，為知識的遷移應用打下堅實的基礎.

（一）理解數學，構建知識整體框架

在單元整體教學中，教師不僅要研究本節知識內容，還要研究本章，乃至本學段的知識內容，了解教材的呈現方式、呈現順序、知識間的內在聯系，以便通過合理的整合打通各知識點之間的連接點，形成更為清晰的、完整的知識框架，實現知識內容的整體建構.在傳統教學中，教師重視單個知識點的教學，忽視知識間的內在聯系，影響個體知識體系的建構，使得學生在綜合應用時力不從心.而通過對知識內容的整體建構，徹底擺脫知識零散、瑣碎、機械記憶的弊端，有利于提高學生知識綜合運用能力，促進學生數學核心素養的發展.

（二）理解學生，實現知識自然生長

理解學生是實現課堂有效教學的基礎.教師作為課堂教學的組織者，要充分地了解學生，從學生的已有知識經驗出發，精心設計、組織有效的教學活動，有效地調動學生參與學習的積極性，發揮學生的主體作用，促進知識的理解、能力的提升.在本節課教學中，教師重視滲透類比、特殊與一般等數學思想方法，讓學生在平方根的基礎上，探究立方根 ?ⁿ 次方根的概念和性質，實現知識的自然生長，促進學生自主學習能力的提升.

（三）理解教學，提升課堂教學質量

教學是溝通數學與學生的橋梁，是培養學生數學核心素養的重要媒介.教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發展的過程.在單元整體教學中，教師應貫徹“以學生為主體，以教師為主導”的教學理念，合理地設計探究活動，調動學生學習積極性，引發學生的數學思考，讓學生在掌握數學知識的同時，掌握數學學習方法，提高課堂教學質量.

總之，在初中數學教學中，教師要擺脫課時教學的束縛，關注知識間的內在聯系，引導學生運用聯系觀點探究相關知識內容，不僅讓學生知曉“學什么”，還要讓學生知曉“為什么學”\"怎樣學”，幫助學生厘清問題的來龍去脈，凸顯數學的本質，切實提高學生自主學習能力，落實學生數學核心素養的培養

參考文獻：

[1邢成云，陳元云.課程整合視域下培養學生數學核心素養的大單元教學—以方程大單元為例[J]中小學課堂教學研究，2021（12）： 19-23+27