踐行生本理念 構建生態課堂

素質教育背景下，教師應以生為本，引導學生主動建構知識，發展數學能力，助力全面發展.在實踐教學中，教師要充分研究教材內容，研究基本學情，合理創設探究活動，充分激發學生潛能，構建新型生態課堂，以此提升學生學力，培養“全面發展的人”筆者在教學“圓周角”時，精心創設問題情境，引導學生經歷觀察、類比、猜想、驗證等活動，讓學生主動參與概念的形成過程，幫助學生深入理解概念的本質，激發學習興趣，全面提升數學能力和數學素養.

教學分析

1.內容分析

本節課是在圓和圓心角的基本概念與性質的基礎上進行深入探索，它既為后續學習圓的知識做了充分的準備，又為說明線段相等和角相等提供依據.圓周角是圓心角、弧、弦之間關系的延續，圓周角的性質在圓的有關說理、作圖、計算中有著廣泛的應用.

2.學情分析

在學習本課內容前，學生已經理解并掌握三角形的外角定理、圓的概念、圓心角概念和性質等相關知識，具有一定的邏輯推理能力，具有較強的自我發現意識，這些知識、經驗、方法、能力為學習本課知識奠定了基礎.

3.教學目標

（1）理解并掌握圓周角的概念，并能辨識和畫出圓周角；（2）掌握圓周角定理，并能應用圓周角定理解決簡單的問題；（3）經歷探索過程，體會分類討論、化歸與轉化、特殊與一般的數學思想方法，提高學生邏輯推理能力，發展學生抽象能力、幾何直觀等核心素養.

4.教學方式

教學中，教師應從學生實際出發，創設一系列具有啟發性、挑戰性的問題情境，鼓勵學生獨立思考和合作交流，引導學生用數學的眼光觀察，用數學的思維思考，提高學生發現、分析和解決問題的能力.

教學過程

1.類比引入，生成概念

師：前面我們已經學習了圓心角，你還記得圓心角是如何定義的嗎？生1：頂點在圓心，兩邊為圓的半徑，且與圓周相交的角.師：你能畫出弧AB所對的圓心角嗎？生眾：能.教師讓學生動手畫，并展示學生的操作結果，如圖1.

圖1

師：若點A、點B的位置不變，改變頂點的位置，頂點可能在什么位置？

教師鼓勵學生在圖1的基礎上繼續畫，教師巡視，并投影展示學生的操作結果，分別為頂點移動到圓內、圓上和圓外，如圖2、圖3、圖4.

圖2

圖3

圖4

師：結合已有知識經驗，你認為哪種情況最具研究價值呢？

生眾：頂點在圓上.

師：很好，你認為這類角應該叫什么角呢？

學生通過合作交流，提出此類角為“圓周角”

師：類比圓心角的概念，你能給出圓周角的概念嗎？

與圓心角的概念相類比，學生很快給出圓周角的概念，即頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫作圓周角.

設計意圖從已有的圓心角的定義出發，引導學生通過移動圓心角的頂點位置得到三種情形，并通過對比這三種情形，自然引入圓周角.在此過程中，教師重視滲透分類討論、特殊到一般的數學思想方法，引導學生經歷觀察、操作等過程，以此調動學生學習的積極性，培養學生的觀察能力，發展學生的推理能力、幾何直觀等核心素養.

2.動手操作，猜想命題

師：在圓O上任取A，B兩點，在同一個圓上畫出劣弧AB所對的圓周角和圓心角.

教師預留時間讓學生動手畫，并讓學生思考能畫幾個圓心角.教師展示學生的操作結果，如圖5

圖5

師：誰來說一說，可以得到幾個符合條件的圓心角？幾個圓周角？

生2：只能畫一個圓心角，可以畫無數個圓周角.

師：這些圓周角之間存在怎樣的數量關系呢？

學生通過觀察、測量，得到如下猜想：（1）同弧所對的圓周角相等；（2）同弧所對的圓周角是圓心角的一半.

師：我們知道，猜想不能作為結論，接下來我們需要做什么？

生眾：推理驗證.

師：觀察以上兩個猜想，你認為可以先證明哪個猜想呢？

學生獨立思考后，主動交流，一致認為，若猜想（2）成立，則猜想（1）也成立，所以只證明第（2）個猜想即可.學生給出的理由是：以圖5為例，劣弧AB所對的圓心角只有一個，若劣弧AB所對的圓周角等于圓心角的一半，則可以說明圓周角也相等，由此確定驗證方向.

設計意圖教師引導學生動手畫圓心角和圓周角，并讓學生思考劣弧AB所對的圓心角和圓周角的個數，通過經歷觀察、操作、類比、猜想、驗證等活動，不僅可以加深學生對圓周角和圓心角概念的理解，而且能讓學生感受圓周角位置的任意性，從而激發學生探究同孤所對圓周角的數量關系的積極性，促進知識的自然生成.此環節，教師讓學生思考兩個猜想之間的聯系，滲透轉化思想，有利于學生高階思維的發展.

3.分類證明，推理驗證

師：你想如何證明以上猜想呢？（生不語）

師：請大家在圖5的基礎上繼續畫劣弧AB所對的圓周角，并將這些圓周角進行分類，說說你能得到幾種情形呢？

教師鼓勵學生動手畫，并引導學生進行分類，師生合作將圓周角分為3類：（1）圓心在角的一邊上（圖6）；（2）圓心在角的內部（圖7）；（3）圓心在角的外部（圖8）.

圖6

圖7

圖8

師：若想要探究同弧所對的圓心角和圓周角的大小關系，你認為我們可以從哪一類圖形入手呢？

生眾：第一類圖形.

師：說說你的理由.

生3：第一類圖形最特殊，可以利用特殊到一般的思想方法驗證結論

師：很好，結合圖6，你能說說它們之間的大小關系嗎？

生4：因為 OB=OC ，所以 ΔOBC 是等腰三角形，所以 ∠ACB=∠OBC 又因 ∠AOB=∠ACB+∠OBC ，所以∠AOB=2∠ACB

師：很好，靈活運用三角形的外角定理證明了猜想，

師：如圖7，若圓心在角的內部，以上結論是否成立呢？

生5：如圖9，連接 CO 并延長至點 D ，根據已知結論可知， ∠AOD= 2∠ACD， ∠BOD=2∠BCD ，故 ∠AOD+ ∠BOD=2∠ACD+2∠BCD ，即 ∠AOB= 2∠ACB.

圖9

師：很好，若圓心在角的外部，以上結論是否依然成立呢？

學生獨立思考，教師適時給予啟發和指導.

生6：如圖10，連接C0并延長至點 D （點 D 在圓上），根據已知結論可知， ∠AOD=2∠ACD ， ∠BOD= 2∠BCD ，故 ∠AOD-∠BOD=2∠ACD- 2∠BCD ，即 ∠AOB=2∠ACB.

圖10

師：很好，可見無論圓心在圓周角的內部、外部，還是在角的一邊上，以上結論均成立，這就是我們本節課重點研究的內容——圓周角定理，它在證明角相等、邊相等中有著重要的作用.（板書：圓周角定理）

設計意圖教師鼓勵學生動手操作，并引導學生根據圓心位置進行分類，讓學生體會一種情況并不具有說服力，在任何情況下結論均成立，才能證明結論成立，充分體現了數學的嚴謹性，培養了學生的理性思維.在此過程中，教師放手讓學生利用已有知識經驗進行推理驗證，這樣不僅可以加深學生對圓周角定理的理解，而且可以發展學生的邏輯推理能力，讓學生學會用數學思維去思考問題，學會用數學知識去解決問題，發展學生的數學核心素養.

4.鞏固應用，深化理解

例1如圖11，已知四邊形ABCD是正方形，請找出圓心角及其同弧所對的圓周角.

圖11

師生活動：學生獨立思考后，教師點名讓學生呈現其觀察結果，其他學生進行點評.

設計意圖引導學生從復雜圖形中抽象出圓周角和圓心角，幫助學生理解圓周角的概念，直觀感受兩者之間的關系.

例2如圖12，點A， _{，B，C，D} 在圓 o 上，若 ∠1=80^° ，求 ∠C 和 ∠D 的度數.

圖12

學生獨立思考后，教師呈現學生的思考過程

師： ∠D 是多少度？

生眾： 40^°

師：你的依據是什么？

生7： ∠1 是劣弧AB所對的圓心角， ∠D 是劣弧 AB 所對的圓周角，根據圓周角定理可知，∠D=1 ∠1，所以 ∠D=40^°

師： ∠C 又是多少度呢？生 8：140^° 師：你是如何計算的呢？

生9： ∠C 是優弧 ADB 所對的圓 周角，又因優弧 ADB 所對的圓心角 為 280^° ，所以 ∠C=140^°

師：很好，所以 ∠C+∠D=？∠DAC+ ∠DBC=？

生10 ∠C+∠D=180^° ， ∠DAC+ ∠DBC=180^°

師：課下請感興趣的同學試一試，對于任意內接四邊形，它們的對角是否也存在同樣的結論呢？

設計意圖引導學生應用圓周角定理解決問題，加深其對圓周角定理的理解.在此過程中，教師引導學生關注圓的內接四邊形對角之間的關系，并鼓勵學生課下繼續推理，以此為證明“圓的內接四邊形對角互補\"埋下伏筆.

例3如圖13，點 _{A，B，C} 在圓 o 上， ∠AOB=100^° ，則 ∠C=

圖13

題目給出后，學生很快給出答案，即根據圓周角定理得 ∠C=50^° 在此基礎上，教師將該題進行變式，讓學生思考當 ∠AOB=180^° 時， ∠C 等于多少度.學生口算給出答案，即當 ∠AOB=180^° 時， ∠C=90^° 在此基礎上，教師讓學生動手畫（圖14），并讓學生結合圖形思考當圓心角是平角時，角的兩邊具有怎樣的特征.由此在教師的啟發和指導下，學生得到新結論： 90^°"的圓周角所對的弦為直徑.得到這一結論后，教師讓學生繼續探究：如圖15，圓 o 的直徑 AB 長為10，弦A C=6 2 ∠ACB 的平分線交圓o 于點 D ，連接"_AD，BD"，求 BC，AD，BD 的長.學生獨立思考后，教師展示學生的思考過程

圖14

圖15

師：誰來說一說，你是如何解決這個問題的？請簡述你的解題過程

生11：因為"_?AB"是圓 o 的直徑，所以 ∠ACB=∠ADB=90^°"在Rt△ABC中， AC=6，AB=10 ，根據勾股定理得BC=8. 又 CD 平分 ∠ACB ，所以弧 AD= 弧 BD ，所以A 1D/=BD 又 ∠ADB=90^°"所以根據勾股定理得A""：

設計意圖例題和變式題的解決，一方面加強了學生對圓周角定理的理解，另一方面通過一般到特殊的轉化，讓學生自主發現規律，抽象出結論，培養了學生的抽象能力核心素養.學生得到新結論后，教師設計專題進行訓練，讓學生體會圓周角定理在解題中的應用，提高學生綜合運用知識解決問題的能力，發展學生的邏輯推理能力.

5.歸納總結，完善結構

師：本節課我們重點學習了哪些知識內容？是如何研究的？研究過程中運用了哪些數學思想方法？

教師預留時間和空間讓學生思考、交流、表達，隨后進行點評、完善.

設計意圖教師鼓勵學生對本課重難點知識進行歸納梳理，以此進一步加深對所學知識的理解，為知識的靈活運用打下堅實的基礎.在此過程中，教師重視引導學生提煉數學思想方法，如分類討論、化歸與轉化、特殊與一般等，以此發展學生的高階思維.

教學思考

1.合理整合，“教材\"變\"學材”

教材是教師教學的重要依據，其在教學中的地位和價值是不言而喻的.不同的學生，其學習能力、思維習慣等有所不同，為了滿足不同學生的學習需求，促進學生全面發展，教師應重視對教材進行二次開發，變\"教材\"為“學材\".數學知識具有系統性，知識點之間存在邏輯聯系，所以在教學中應遵循系統性、連貫性和可持續性的原則，合理地將相互聯系的知識進行整合，以此加深對知識的理解，促進知識的整體建構，發展學生的結構化思維，提高學生的綜合能力.在本課教學中，教師不是照本宣科地介紹圓周角的定義，而是從已學的圓心角作為切入點，引導學生利用已有知識經驗主動建構新知，這樣通過親歷知識“再創造”的過程，有利于學生理性思維的生長.

2.尊重學生，“學會\"變\"會學”

在數學教學中，不僅要讓學生學會知識，更重要的是要讓學生掌握學習方法，讓學生學會學習．“學會”與“會學”雖然只有一字之差，但卻體現了從被動接受到主動探索的躍進.在初中數學教學中，教師要以學生為中心，重視學法指導，提供時間和空間讓學生主動建構新知，使其真正成為課堂的主動參與者，而非被動接受者.課堂教學中，教師應重視自主學習和合作學習的有效結合，形成“個體深度思考一全體知識碰撞\"的協同學習模式，以此培養學生獨立思考的習慣和合作交流的精神.在本課教學中，教師尊重學生，為學生精心創設問題情境，合理地引入自主學習、合作學習的學習方式，引導學生去思考、發現、抽象，培養學生的數學思維能力.

總之，數學教學除了接受學習，還可應用自主探究、合作交流等重要學習方式.教學中，教師要認真研讀教材，結合教學實際對教材內容進行整合，引導學生經歷概念的形成過程，以此培養學生的關鍵能力和核心素養，讓數學學習真正發生.

參考文獻：

[1]卓奇.從教材到學材：初中數學教學再出發一以“圖形的軸對稱\"的教學為例［J].數學教學通訊，2024（23）：75-76.