三點共線在初中幾何問題中的應用探究

引言

在初中數學知識體系中，幾何知識占據核心地位，是培養學生邏輯推理能力的重要抓手.但實際教學中，教師傳授給學生的常常是“截長補短”“輔助線構造\"等常規解法，這就導致“輔助線難以構造、思維路徑較為單一\"的教學現象的出現.同時，常規方法一般存在認知負荷較高、知識遷移能力較差等問題.三點共線作為幾何學的基本性質，它能通過幾何變換實現問題的有效轉化，為打破幾何教學的困境提供了新路徑.本文以三道幾何問題為例，深入剖析并闡述了三點共線在初中幾何問題中的實際應用.

理論基礎 一三點共線

在初中數學中，確定三點共線是解決幾何問題的關鍵環節，可通過線段關系、角度關系等方法實現，具體判定方式如下：

（1）線段和差相等判定法：如圖1，若A，"_B，C"三點滿足線段和關系AB+BC=AC ，則可以確定A，"_B，C"三點共線.若A，"^B，C"三點滿足線段差關系AC-AB=BC（B 在A， c 之間），則可以確定A，B，C三點共線

圖1

（2）平角判定法：如圖2，若A，B，c 三點形成的角 ∠ABC=180^° ，則可以確定A， _B，C 三點共線；若相鄰兩角∠ABD 和 ∠CBD 相加等于 180^° ，則可以確定A， _B，C 三點共線.

案例解析

案例1旋轉模型與線段和差的 融合.

如圖4，在等邊三角形ABC中， D 是 BC 下方一點，連接 _AD ，若 AD=BD+ CD ，求證： ∠ADB=∠ADC=60^°.

圖2

（3）角度相等判定法：如圖3，若∠AOB=∠AOC （點 _B，C 在直線A0同側），則可確定O，B，C三點共線

圖4

圖3

三點共線的核心作用是借助直線的連續性和平角的性質，將分散的線段或角的關系轉化為幾何求解所需要的等量關系.它是連接已知條件與待求問題的“橋梁”，通過補充邊角關系，進一步完善了幾何求解的邏輯鏈.簡而言之，三點共線為求解幾何問題提供了新思路

常規思路（1）截長法.在A D 上截取 DK=DB ，并連接 BK （如圖4）.在△BDC和 ΔBKA 中，只能確定 BC=BA （等邊三角形性質）和A 1K=DC （因為AD=BD+CD=AK+KD，DK=DB ，所以AK=DC ，而無法證明 ∠BCD=∠BAK 或 BK=BD ，不滿足SAS或SSS的三角形全等判定條件.（2）補短法.在 DC 的延長線上截取 CP=DB ，連接 _;AP（ 如圖5）.在△ABD和 ΔACP 中，雖然可知BD=CP，AB=AC ，但依然無法證明∠ABD=∠ACP 或 AD=AP ，思路受阻.

圖5

三點共線思路 ① 旋轉構造全等.將 ΔABD 繞點A逆時針旋轉 60^° ，得到 ΔACQ （如圖6）.根據旋轉性質可得 ΔABD?ΔACQ ，則 ∠BAD= ∠CAQ，AD=AQ 因為 ∠DAQ=60^° ，所以 ΔADQ 為等邊三角形，則 AD= DQ=AQ，∠ADQ=60^°. ② 線段和差推導共線.已知 AD=BD+CD ，又 BD= cQ ，所以 1D=CQ+CD=DQ. 根據線段和判定法，可知點 c 必在線段 _DQ 上，即 _D，C，Q 三點共線. ③ 角度等量傳遞.在三點共線條件下，可知∠AQC=∠AQD=60^°=∠ADB. 同理可證 ΔACD 與繞點A順時針旋轉 60^° 后的三角形的關系，得到 ∠ADC=60^°

圖6

對比分析本問題以等邊三角形為載體，將線段和條件與角度證明相結合，常規方法是“截長補短”，但難以直接構建全等關系，因此借助三點共線轉化線段關系和角關系.先通過旋轉構造等邊三角形ADQ，其邊長關系與已知線段和形成等式，得到三點共線；而三點共線又將等邊三角形的角度特性傳遞至目標角，實現“線段和 $$ 三點共線 $$ 角度相等”的邏輯閉環.

案例2三點共線與平角的融合

如圖7，在等邊三角形ABC中，點^D，E 分別在AC，BC上，且A D=CE ，連接 AE，BD 交于點 F. 點 c 關于AB的對稱點為 M ，連接AM，FM，證明：AF平分∠DFM.

圖7

常規思路如圖7，先證明 ΔABD? ΔCAE（SAS） ，得 ∠ABD=∠CAE ，進而推導出 ∠BFE=60^° ；在 FD 的延長線上截取 FK=AF ，證明 ΔMAF? ΔBAK（SAS） ，得到 ∠AFM=∠AKB= 60^° ， ΔAFK 是等邊三角形.再證明ΔFAM?ΔKAB（SAS） ，則有 ∠AFM= ∠AKB=60^° ，至此問題得證.整個過程需要多步推理，思路比較復雜，容易出錯.

三點共線思路 ① 利用對稱性構造共頂點旋轉模型.作等邊三角形APF（如圖8），連接PM，可得 ∠PAF= 60^°=∠BAM ，故 ∠PAM=∠FAB. 由于AB=AM，AP=AF ，因此 ΔAPM? ΔAFB （SAS）. ② 平角判定共線：因為 ΔAPM?ΔAFB ，所以 ∠APM= ∠AFB=180^°-∠BFE=120^°. 又 ∠APF= 60^° ，所以 ∠APF+∠APM=180^°. 根據平角定義，可知 M，P，F 三點共線. ③ 角度平分證明.因為 M，P，F 三點共線，所以 ∠AFM=∠AFP=60^° 又 ∠AFB= 120^° ，所以 即AF平分 ∠DFM

圖8

對比分析本問題的常規思路需多次全等推導，思路比較復雜，而三點共線不僅可以簡化思路，還能為學生提供求解幾何問題的新路徑.三點共線將分散的∠APM與 ∠APF 整合為平角，直接利用等邊三角形的角度特性完成角平分線的證明，避免了常規思路中構造復雜輔助線的認知負擔，體現了“對稱 $$ 旋轉 $$ 共線 $$ 角度轉化”的高效思維路徑.

案例3三點共線與等腰直角三 角形的融合.

如圖9，在Rt ：ΔACB 中， ∠ACB= 90^°，AC=BC，O 為 AB 的中點， D 為 BC 邊上一點， CE⊥AD ，垂足為 E. 過點 B 作BM// CE ，交 OE 的延長線于點M.

（1）求證： ∠AEO=45^° （2）求證： BM=AE

圖9

常規思路在證得 ∠AEO=45^° 后，用如下方法求證 BM=AE 在MO的延長線上截取0P=0M（如圖10），連接 AP ，可證 ΔBOM?ΔAOP（SAS） ，得BM=AP ，此時需進一步證明 AP=AE ，增加了推理步驟.部分學生嘗試連接CM，結合已知條件，想用“一線三直角模型\"證明 ΔACE?ΔBCM. 但分析后發現，只能確定A C=BC 和 ∠CAE= ∠CBM 這兩個條件，缺乏第三個相等條件，因此無法證明這兩個三角形全等.原因在于，連接CM后，無法證明 CM⊥BM ，導致思路受阻.

圖10

三點共線思路 ① 構造共頂點旋轉模型：作 CN⊥BM 于 N ，連接 CN ，EN（如圖11）.由“共頂點旋轉模型”易證 ΔACE?ΔBCN（AAS） ，所以 CE= CN ，∠ACE=∠BCN ，進而可得 ΔCEN 為等腰直角三角形，則 ∠CEN=45^° ② 角度等量推導共線.因為 ∠AEO= 45^° （第一問已證）， ∠CED=90^° ，所以∠CEM=∠CED-∠MED=∠CED- ∠AEO=45^°. 所以 ∠CEN=∠CEM. 根據兩角相等判定法，可知 Δ_[E，M，N 三點共線. ③ 邊相等關系傳遞.由于 _?E，M N 三點共線，故 M，N 重合， BN=BM. 又ΔACE?ΔBCN ，所以A E=BN=BM. （204號

圖11

對比分析常規思路需5步推理、3次輔助線構造，而三點共線思路僅需3步推理、1次對稱構造，減輕了學生的認知負荷，有助于培養學生綜合運用幾何性質的能力.

三點共線的應用場景與教學建議

1.三點共線的三大應用場景（如表1）

表1

2.教學建議

（1）在課堂教學中，建議以動態幾何工具作輔助.如用GeoGebra制作“三點共線發現器”，演示旋轉過程中三點從分散到共線的動態變化，直觀展示線段和差、平角、角度相等與三點共線的關系.

（2）變式訓練設計.

正向訓練：給出共線條件，推導幾何問題求解所需的邊角關系.

逆向訓練：從結論反向推導必要的共線條件.

綜合訓練：在復雜圖形中隱匿 共線條件.

三點共線作為已知條件與待求的幾何問題的“隱性橋梁”，其本質在于借助直線的連續性以及平角的性質整合分散的幾何元素，讓看似毫無關聯的邊角關系在共線狀態下形成邏輯閉環.在教學過程中，應引導學生構建“變換一共線一求解\"的思維鏈，突破傳統的構造輔助線的固定思維模式，提升幾何推理的靈活性與創造性.