基于波利亞解題法的動點問題教學(xué)實踐與探究

[摘要]借助波利亞四步解題法探究動點問題時，先以問題串的形式分析理解題意，為問題的解決提供基礎(chǔ)，再根據(jù)已有的解題經(jīng)驗提出代數(shù)法和幾何法兩種求解思路，分組實踐兩種方案，最后反思解決問題的過程，為今后的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo).通過教學(xué)動點問題，研究者提出以下教學(xué)啟示：精心設(shè)計“好”問題，潛移默化提素養(yǎng)；解決問題“多”角度，靈活處理應(yīng)萬變；瞻前顧后“統(tǒng)”思想，舉一反三觸旁通.

引言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》中提出“以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進一步強調(diào)四基四能的獲得與發(fā)展”[數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)不僅體現(xiàn)在新課的教學(xué)中，在習(xí)題的講解中也尤為重要.數(shù)學(xué)習(xí)題課中，教師可通過典型例題的方法研究、變式訓(xùn)練和反思總結(jié)的示范啟發(fā)，鞏固和深化學(xué)生的基礎(chǔ)知識與基本技能，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生掌握解決數(shù)學(xué)問題的策略方法，形成一定的解題能力2.將一道題的求解策略推廣到一類問題上，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法解決問題的意識.

動點問題是初中階段的一大難點，是學(xué)生第一次從運動的角度去認識數(shù)軸，其綜合性較高，涵蓋了有理數(shù)的絕對值、用代數(shù)式表示點的位置、一元一次方程等知識，滲透了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想等重要數(shù)學(xué)思想，對于后續(xù)討論等腰三角形存在性、學(xué)習(xí)分段函數(shù)等知識具有重要指導(dǎo)作用.此類問題與生活實際緊密相連，在行程問題、電話計費問題中有廣泛的應(yīng)用價值.但在實際教學(xué)中，學(xué)生常因動點數(shù)量太多，難以用代數(shù)式準確刻畫點的運動規(guī)律，在理解運動過程時存在困難

波利亞的“怎樣解題表\"給出了解決問題的四個步驟“理解題意”\"擬定方案”\"執(zhí)行方案”“回顧”[3]，為習(xí)題教學(xué)提供了基本的范式.筆者在波利亞的解題方法的指導(dǎo)下設(shè)計本課教學(xué)，以期提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

問題呈現(xiàn)

例：已知在數(shù)軸上點A表示數(shù) 點 B 表示數(shù)b，點 C 表示數(shù) ，且 |a+40|+ |b-10|+（c-30）²=0，A，B 兩點之間的距離為 AB=∣a-b∣ ，若點A以每秒8個單位長度的速度向右運動，同時點 B 和點 C 分別以每秒2個單位與4個單位長度的速度向左運動，設(shè)運動時間為t秒，求t為何值時，其中一點到另外兩點的距離相等.

教學(xué)過程

1.理解題意

教師通過以下幾個問題，引導(dǎo)學(xué)生仔細閱讀題目，分析題目中的已知條件和未知信息，將題干中的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將問題逐步進行拆解，降低思維的難度，為后續(xù)的解題做好準備.

師：題目中有哪些已知條件？

生 _：A，B，C 點的運動方向和運動速度.

師：需要求解的是什么？

生：求t為何值時，其中一點到另外兩點的距離相等.

師：題目中存在幾個動點？

生：三個動點，A，B，C點

師：哪些條件決定了動點所在的位置？

生：起始位置、方向、速度、時間

師：這些因素中哪些是確定的？哪些是不確定的？

生：起始位置可以根據(jù)絕對值和平方的非負性得到，運動速度和方向都是已知的，只有時間是不確定的

師：題目中已經(jīng)用字母t來表示運動的時間了，那么你可以用代數(shù)式分別表示出動點A，B，C經(jīng)過t秒后所在的位置嗎？

生：可以，例如A點經(jīng)過t秒后運動到 -40? 8t，B 點在t秒后運動到10-^2t，C 點在t秒后運動到 30-4t.

師：如何理解“其中一點到另兩點的距離相等\"這句話？

生1：需要進行分類討論，有可能一點是另兩點的中點，也有可能兩點重合.

生2：還需要討論到底是哪一點到其他兩點距離相等

師：（追問）那么兩點之間的距離又如何用數(shù)學(xué)語言表示出來呢？

生3：兩點之間的距離可以用數(shù)軸上位于右邊點對應(yīng)的數(shù)減去左邊點對應(yīng)的數(shù)，當(dāng)兩點位置不確定時可以用絕對值來表示.

2.擬定方案

解題思路來源于已有經(jīng)驗.因此教師需要引導(dǎo)學(xué)生回顧之前做過的類似的題目，以及當(dāng)時是如何解決的，促使學(xué)生產(chǎn)生求解這道題的思路.師生互動，共同商議解決問題的具體方案.

（1）方案一：幾何法

第一步：分類討論三個動點之間的位置關(guān)系.即需確定何時兩點相遇或追及，此時三點具有怎樣的位置關(guān)系？（此環(huán)節(jié)可借助幾何畫板動態(tài)演示點的運動過程）

第二步：根據(jù)題意，分析出當(dāng)有兩點重合或有一個點恰好為另外兩點中點時，滿足“其中一點到另外兩點的距離相等\"的條件.

第三步：對于重合的情況，可以依據(jù)行程問題的公式找到點重合所對應(yīng)的t值.對于中點的情況，可以依據(jù)中點公式求解.

（2）方案二：代數(shù)法

第一步：“其中一點到另外兩點的距離相等”共有三種情況： AB= AC，BA=BC，CA=CB.

第二步：將 _{?AB，AC，BC} 分別用含有t的代數(shù)式表示出來.

第三步：建立方程確定t的值.

3.執(zhí)行方案

將學(xué)生分為兩個大組，分別按照擬定的方案實踐，以小組合作的方式展開討論，在討論的過程中，教師巡視各小組的討論情況，及時予以指導(dǎo)，在討論結(jié)束后由小組派代表展示本組成員討論的成果

（1）方案一：幾何法

根據(jù)（1）可大致作出 _A，B，C 三點的位置關(guān)系，如圖1：

圖1

經(jīng)過分析，影響三點位置關(guān)系主要有以下三個重要時間點：

①AB 兩點相遇，需要經(jīng)過 ：10- （-40）]÷（8+2）=5s ②AC 兩點相遇，需要經(jīng)過[30- ③BC 兩點追擊，需要經(jīng)過（30-10）÷（4-2）=10： 6

這三個時間點都恰好能夠滿足題意，故均為原題目的解.除此之外，借助數(shù)軸可以發(fā)現(xiàn)，這三個時間點恰好將時間分為了四段.

圖2

分別對四段時間A，B，C三點的位置關(guān)系進行討論.

① 當(dāng) 0 在A， C 中間，要使得距離相等，即需 B 為A， c 中點，根據(jù)中點公式， 解得

② 當(dāng) 時，此時A，B兩點已經(jīng)完成相遇，兩點交換位置，故點A在B，C中間，要使得距離相等，即需A為 _B，C 中點，根據(jù)中點公式， -40+8t= 解得

③當(dāng)35 時，此時A，C兩點已經(jīng)完成相遇，兩點交換位置，故點c 在 中間，要使得距離相等即需c 為 ^B，A 中點，根據(jù)中點公式， 30-4t= ，解得t=45.

④ 當(dāng) tgt;10 時，此時 _B，C 兩點已經(jīng)完成追擊，兩點交換位置，故點 B 在^C，A 中間，要使得距離相等，即需B為^C，A 中點，列式同 ① ，需舍去.

綜上所述， t=10 或 或 或35 或5或

（2）方案二：代數(shù)法

根據(jù)題目意思可以分析得出三種情況，依據(jù)距離相等建立方程，列表可得：

綜上所述， t=10 或 或 或35 或5或

4.回顧

教師引導(dǎo)學(xué)生對本題的解題過程進行反思和總結(jié)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

師：在這兩種解決方案中你覺得哪種更簡單？

生4：我覺得方案二更簡單，因為我無法厘清三點之間的位置關(guān)系，只需要借助兩點距離公式就可以進行列式，不會存在遺漏

生5：我反而認為方案一更簡單，因為行程問題小學(xué)就學(xué)過，先利用行程問題有關(guān)知識討論出幾個關(guān)鍵點，依據(jù)關(guān)鍵點進行分段，再進一步討論中點的情況，只是這道題動點有三個，稍顯復(fù)雜，需要一些耐心，但是對于其他情形用這種方法解決可能更快一些

師：代數(shù)法和幾何法是數(shù)學(xué)中的兩駕馬車，希望同學(xué)們可以養(yǎng)成用這兩種思路去思考問題的習(xí)慣，但這兩種思路并不總是一種優(yōu)于另一種.大家可以運用這兩種思路去解決類似的動點問題，繼續(xù)加以體會

師：大家可以思考一下，這道題還有沒有更好的解決方案？

生（眾）：在分析題目的環(huán)節(jié)中，我們已經(jīng)用代數(shù)式表示出了三個動點在秒后的位置，可以分別看作關(guān)于時間t的函數(shù)，也許我們可以試著作出函數(shù)的圖象，再來發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律.

師：非常好！這位同學(xué)提前預(yù)習(xí)了八年級的函數(shù)知識，感興趣的同學(xué)可以課后繼續(xù)探討這道題的其他解法，

師：這道題中蘊含了哪些數(shù)學(xué)知識？在解題的過程中運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

生6：用字母表示數(shù)、數(shù)軸、絕對值、方程等數(shù)學(xué)知識

生7：分類討論法、數(shù)形結(jié)合法、數(shù)學(xué)建模法等數(shù)學(xué)思想方法.

師：在分類討論時我們需要注意什么？

生8：需要確定分類的依據(jù)，例如方案一是依據(jù)時間點來進行分類的，方案二是依據(jù)點的相對位置來進行分類的.

生9：還要注意分類討論的時候做到不重不漏，

生10：需要檢查答案與前提條件是否矛盾，如果矛盾就需要舍去.

師：如何能夠做到分類討論時不重不漏？

生11：可以借助數(shù)軸，將關(guān)鍵點標在圖中，分成幾段一目了然.

師：對于連續(xù)的量我們可以這樣來討論，那對于不連續(xù)的量呢？

生12：可以借助樹狀圖，按照字母順序或者數(shù)字順序依次來列舉.

師：還有哪些問題可以用分類討論法來解決？

生13：在用一元一次方程解決電話計費問題中，也需要用到分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法

師：這對于我們今后的學(xué)習(xí)有什么啟發(fā)？

生14：波利亞解題法為我們提供了一種解決復(fù)雜問題的基本思路，讓我們在解決此類問題時不再盲目恐懼，而是有跡可循

生15：在分類討論時需要注意分類準確，這是解決問題的關(guān)鍵

生16：當(dāng)運用幾何法直接討論點之間關(guān)系較復(fù)雜時，可以換代數(shù)法進行求解，哪種方法解決問題更快就用哪種方法

師：看來同學(xué)們在這節(jié)課中都 收益良多，請同學(xué)們將本節(jié)課所學(xué) 內(nèi)容繼續(xù)推廣到今后的學(xué)習(xí)中.

教學(xué)啟示

1.精心設(shè)計“好\"問題，潛移默化提素養(yǎng)

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，一個好的問題能夠引發(fā)學(xué)生更深入的思考，開拓學(xué)生的思維.教師需要精心設(shè)計課堂中的每一個問題，在有限的課堂時間內(nèi)讓每一個問題真正發(fā)揮它的啟發(fā)價值

通過理解題意環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生對問題進行數(shù)學(xué)表征，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)；通過擬定方案環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想、化歸思想、模型思想等，提升學(xué)生分析問題的能力；通過執(zhí)行方案環(huán)節(jié)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)推理素養(yǎng).在教學(xué)過程中，教師充分關(guān)注學(xué)生的思想活動，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，真正做到以生為本，讓每一個學(xué)生都能在數(shù)學(xué)課堂上學(xué)有所獲，學(xué)有所得，切實提升分析、解決問題的能力.

2.解決問題“多\"角度，靈活處理應(yīng)萬變

“一題多解\"教學(xué)能拓寬學(xué)生問題解決思路，能促成思維的發(fā)散和創(chuàng)新，同時能幫助學(xué)生把所學(xué)知識融會貫通，整合并完善知識框架[4]

一方面，每個學(xué)生擅長的數(shù)學(xué)領(lǐng)域不同，部分學(xué)生擅長幾何想象，能清楚地考慮三個點之間的位置關(guān)系，部分學(xué)生想象能力不足，但擅長計算，能夠?qū)⑽淖终Z言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的等量關(guān)系，因此用多種不同的方法展開教學(xué)，可以幫助學(xué)生在自己擅長的領(lǐng)域有所發(fā)展；另一方面，一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，在解決問題的過程中能夠從多種不同的角度進行思考，從而更加靈活地去解決不同類型的問題，以不變應(yīng)萬變

3.瞻前顧后“統(tǒng)\"思想，舉一反三觸旁通

數(shù)學(xué)之美，美在前后數(shù)學(xué)思想的一致性.一節(jié)課或者一道題的教學(xué)不能夠僅僅局限于學(xué)習(xí)一個知識點或者解決一個問題，而要著眼于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維.

波利亞解題四步法，可將問題進行適當(dāng)?shù)牟鸾饣蜣D(zhuǎn)化，對于較難的題目的解決是行之有效的.作為初一階段的難點問題，本題的教學(xué)可以為學(xué)生后續(xù)的幾何和代數(shù)學(xué)習(xí)提供一種基本的解題范式，規(guī)范學(xué)生的解題思路，幫助學(xué)生養(yǎng)成有條理的分析問題的習(xí)慣

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]王富英.論中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)[J]數(shù)學(xué)通報，2020，59（7）：35-39.

[3]G.波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[4]郭俊楠，韋柳伶.通過“一題多解\"教學(xué)助推初中生數(shù)學(xué)思維能力進階[J].教師教育論壇，2023，36（8）：54-56.