核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的幾何定理教學(xué)實(shí)踐與思考

圍繞核心素養(yǎng)，挖掘教學(xué)價(jià)值

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要包括三個(gè)方面：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界[1]．三角形中位線定理的發(fā)現(xiàn)、證明和應(yīng)用涵蓋了以上三個(gè)方面，教師應(yīng)充分挖掘三角形中位線定理的教學(xué)價(jià)值，以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

1.創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地 觀察、抽象和概括，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究

教師從情境問題中驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考并喚醒舊知，以學(xué)生學(xué)過的與三角形相關(guān)的重要線段作為新知生長點(diǎn)，通過畫圖獲得研究對(duì)象：三角形的中位線.學(xué)生在經(jīng)歷“畫圖一研圖一用圖\"的過程中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題并進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，能夠提升其思維能力和核心素養(yǎng).

2.經(jīng)歷過程，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考、分析和解決，提升推理能力

讓學(xué)生經(jīng)歷幾何性質(zhì)的探究思路，即“觀察一猜想一證明”，先歸納推理，從特殊到一般發(fā)現(xiàn)三角形中位線定理，再演繹、推理、論證.定理的證明方法多樣，本質(zhì)在于把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，利用平行四邊形性質(zhì)解決問題，解題路徑指向統(tǒng)一.通過師生、生生合作并結(jié)合思維導(dǎo)圖的梳理更好地詮釋一題多解、一題多證，讓學(xué)生初步養(yǎng)成有條理的思維品質(zhì)[2].

3.應(yīng)用知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地表達(dá)、解釋和交流，形成模型觀念

教師從情境問題入手建立三角形中位線定理模型，先引導(dǎo)學(xué)生探索不同的證明方法，再通過同一個(gè)三角形的變式探究引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用三角形中位線定理解決實(shí)際問題，能夠很巧妙地將三角形中位線定理的探究思路運(yùn)用到問題解決中，達(dá)到遷移轉(zhuǎn)化的作用.整個(gè)應(yīng)用定理的過程也恰恰是發(fā)展學(xué)生模型觀念和應(yīng)用意識(shí)的過程.

立足核心素養(yǎng)，設(shè)計(jì)教學(xué)過程

幾何定理教學(xué)的基本模式是發(fā)現(xiàn)定理、證明定理、應(yīng)用定理.結(jié)合核心素養(yǎng)導(dǎo)向下定理教學(xué)的特點(diǎn)和教學(xué)設(shè)計(jì)與思考，筆者將課堂教學(xué)細(xì)化為以下五個(gè)主要環(huán)節(jié)：

1.自主探究，獲得對(duì)象

一稿：教師第一次以探究式的方式引入課題，試著把一塊三角形紙片分成面積相等的4份，怎么分？有多少種分法？學(xué)生自己畫了很多種分法（如圖2），教師觀看學(xué)生的作法后，發(fā)現(xiàn)有學(xué)生是取三條邊的中點(diǎn)并依次連接.接著教師用希沃投屏展示并聚焦該圖形一這就是我們今天要研究的對(duì)象，進(jìn)而引出三角形中位線的概念.

教師上完課后發(fā)現(xiàn)本次課堂導(dǎo)入階段花費(fèi)的時(shí)間較多，隨后的探索階段比較倉促，學(xué)生探究意識(shí)不強(qiáng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)沒有得到很好的發(fā)展.

圖2"圖3

二稿：教師第二次以設(shè)置懸念提問的方式引入課題（如圖3），你們知道為什么測(cè)量出DE的長就可以知道湖寬BC的長呢？以情境倒敘的方式設(shè)計(jì)這一節(jié)課，帶著這個(gè)問題來學(xué)習(xí)今天的課程．雖然對(duì)上課的節(jié)奏和學(xué)生的參與度教師都較滿意，但都是基于教師預(yù)設(shè)生成的，這不利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維．教材是直接開門見山地任意畫一個(gè) ΔABC ，然后分別取AB，AC 的中點(diǎn) D，E ，連結(jié) DE ，進(jìn)而研究這條線段．這樣的引課能否激起學(xué)生的探究欲望？為什么要這樣做？研究對(duì)象如何獲得？為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容？能否試著打破“不怕做不到，就怕想不到”的局面？于是教師又進(jìn)行了第三次試講.

三稿：良好的開端是成功的一半，成功的引入應(yīng)具有激勵(lì)、引導(dǎo)、過渡、輔助等功能.教師以問題1和問題2驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考，復(fù)習(xí)三角形的角平分線、中線和高線三種線段的概念與性質(zhì)，讓學(xué)生通過畫圖獲得研究對(duì)象（圖4）．有的學(xué)生畫了兩條高線并連結(jié)兩個(gè)垂足之間的線段，有的學(xué)生畫了邊長的三等分線和四等分線，還有的學(xué)生連接了三角形兩邊的中點(diǎn)（希沃投屏展示）.

師：這條線段很特殊，請(qǐng)你給它命名.（投影上指著一位學(xué)生所畫的圖一兩邊中點(diǎn)的連線段）

生：這是三角形的中位線，

師：三角形的中位線的概念是怎么樣的？

生：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段

問題3三角形的中位線有幾條？可以全部畫出來嗎？它與我們之前學(xué)過的三角形中線有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

設(shè)計(jì)意圖在幾何圖形的研究中不怕做不到，只怕想不到，通過上述3個(gè)問題驅(qū)動(dòng)學(xué)生思考并喚醒舊知，以學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的與三角形相關(guān)的重要線段作為新知生長點(diǎn)，然后通過畫圖得到研究對(duì)象，讓學(xué)生順理成章地開始研究這個(gè)圖形．學(xué)生在“畫圖—研圖—用圖”的過程中感受幾何性質(zhì)探究的一般過程.投影呈現(xiàn)出學(xué)生的畫法，得到三角形中位線是一條特殊的線段，給出概念，并區(qū)分中線的概念，即中位線這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)是兩邊的中點(diǎn)，而中線是頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)所連的線段，它的兩個(gè)端點(diǎn)是中點(diǎn)與頂點(diǎn)，從中培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

2.合作探究，發(fā)現(xiàn)定理

探究三角形中位線概念后，教師引導(dǎo)學(xué)生研究.

問題4研究一個(gè)幾何對(duì)象，其研究路徑是怎么樣的？

生：概念一性質(zhì)一應(yīng)用

師：很棒！那接下來將要研究什么？生：三角形中位線性質(zhì)（聚焦）.師：從研究哪些三角形入手呢？生：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形。

問題5請(qǐng)嘗試任意畫一個(gè)等邊三角形和等腰直角三角形的中位線，你發(fā)現(xiàn)中位線與第三邊有怎樣的關(guān)系？（取AB中點(diǎn) _D，AC 中點(diǎn) E ，連接DE，中位線DE與第三邊BC有什么關(guān)系？如圖5所示.）

教師啟發(fā)學(xué)生：根據(jù)上面的探究活動(dòng)，你猜測(cè)的結(jié)論是什么？你是怎樣猜想出這一結(jié)論的？對(duì)于任意的△ABC，你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？

圖5

設(shè)計(jì)意圖通過研究幾何圖形的一般路徑：概念一性質(zhì)一應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生沿著研究方向去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．研究中位線的性質(zhì)時(shí)，學(xué)生通過畫等邊三角形和等腰直角三角形這些特殊三角形的中位線，自然地將研究對(duì)象轉(zhuǎn)移到一般的三角形中.學(xué)生先通過畫圖、平移、觀察、度量、歸納對(duì)幾何對(duì)象開展定性與定量研究并提出猜想，然后用幾何畫板驗(yàn)證結(jié)論，最后把發(fā)現(xiàn)的結(jié)論用符號(hào)語言歸納.

3.小組討論，證明定理

問題6你能用命題的形式把你的猜想表述出來嗎？

……

結(jié)合幾位同學(xué)的補(bǔ)充最終確定：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

問題7猜想需要嚴(yán)密的推理論證說明其正確性，你能證明你的猜想嗎？

通過教師引導(dǎo)，學(xué)生以小組合作交流的方式，探究證明方法.

教師引導(dǎo)學(xué)生：結(jié)合已知的條 件和要求的結(jié)論，要證明一條線段 是另一條線段的一半或2倍，你有什 么思路？學(xué)生積極思考說截長補(bǔ)短， 于是得到證法1：延長DE至點(diǎn)F，使DE越EF，連接CF（圖7）"（教師對(duì)補(bǔ) 短法表示肯定）

圖8

學(xué)生合作討論后用思維導(dǎo)圖的方式將證明過程展示出來.（圖8）

在證法1的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)：還可以從其他角度嘗試證明嗎？過點(diǎn)C作CF//BD交DE的延長線于點(diǎn) F 得到證法2，與證法1類似.

證法3：觀察△ADE與△CFE的位置，它們倆有著怎樣的關(guān)系？學(xué)生根據(jù)證法1和證法2的經(jīng)驗(yàn)會(huì)自然聯(lián)想到△ADE與△CFE關(guān)于點(diǎn)E成中心對(duì)稱，所以這個(gè)問題可以用旋轉(zhuǎn)法解決，以點(diǎn)E為旋轉(zhuǎn)中心，把 ΔADE 繞點(diǎn)E按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 180^° 得到△CFE，從而利用三角形全等解決問題.教材是直接利用旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造平行四邊形，但學(xué)生不容易想到，我們沿著這樣的研究路徑會(huì)不會(huì)更接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)呢？

證法4：構(gòu)造平行四邊形，如圖9，連接 _CD，AF ，四邊形ADCF即為平行四邊形，再證明四邊形BDFC是平行四邊形即得結(jié)論.

此時(shí)學(xué)生已經(jīng)積累了一定的探究經(jīng)驗(yàn)，他們善于表達(dá)，緊接著有位學(xué)生提出：為什么補(bǔ)短法可以證明，我們用截長法就不行呢？對(duì)此，教師引導(dǎo)：在BC上截取BG 越CG，我們是 否也可以通過構(gòu)造全等三角形來解 決問題呢？不妨試一試。

證法5：如圖10，在BC上截取BG=CG ，連結(jié) _GE 并延長至點(diǎn) H ，使GE=EH ，連接AH.

圖10

教師將證明過程用思維導(dǎo)圖的方式展示出來（圖11）.

圖11

設(shè)計(jì)意圖由證法1自然聯(lián)想到證法5的合情推理，旨在引導(dǎo)學(xué)生把三角形問題轉(zhuǎn)化成本章的平行四邊形問題.學(xué)生在探究過程中，思維導(dǎo)圖的介入實(shí)現(xiàn)了知識(shí)的系統(tǒng)化與思維的可視化．學(xué)生在充分感知了中位線定理的多種證明方法的過程中發(fā)展了數(shù)學(xué)思維.

4.師生互動(dòng)，應(yīng)用定理

應(yīng)用1測(cè)量湖寬，我們學(xué)過的方法有哪些？

生：構(gòu)造全等三角形.

師：學(xué)了今天的內(nèi)容，有何啟發(fā)？

生：…

師追問：若中位線DE兩點(diǎn)之間有障礙物，你有什么解決辦法？（圖13）

應(yīng)用2如圖 ^{14，D，E，F(xiàn)} 分別為ΔABC 三邊的中點(diǎn)，DE和AF交于點(diǎn)O求證： DE 與AF互相平分。

教師引導(dǎo)學(xué)生：本題帶給我們?cè)鯓拥慕忸}經(jīng)驗(yàn)？遇中點(diǎn)作中位線。

教師繼續(xù)追問：三角形的一條中位線與第三條邊上的中線有什么關(guān)系？

應(yīng)用3如圖15，在四邊形BCDE中， P，Q，M，N 分別是 BE，BC，CD，DE 的中點(diǎn)，求證：四邊形PQMN是平行四邊形.

圖15

拓展如圖16，已知四邊形BCDE，請(qǐng)你經(jīng)過剪拼使它成為一個(gè)平行四邊形.

本節(jié)課安排在浙教版八年級(jí)下冊(cè)第四章\"平行四邊形\"中，“特殊平行四邊形\"在第五章，在這里引發(fā)學(xué)生對(duì)該平行四邊形與原四邊形的聯(lián)系性元素產(chǎn)生思考，旨在為下一章的學(xué)習(xí)提供思路。

圖16

設(shè)計(jì)意圖通過對(duì)同一個(gè)三角形的變式探究引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用三角形中位線定理解決問題，獲得作輔助線的方法與解題經(jīng)驗(yàn)：遇中點(diǎn)作中位線，培養(yǎng)對(duì)基本圖形的構(gòu)造與識(shí)別能力.

5.小結(jié)展望，總結(jié)提升

本節(jié)課我們研究了什么？如何研究的？你有何體會(huì)和感悟？還存在哪些疑惑？

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生反思研究方法，建立知識(shí)體系.

聚焦核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)育人功能

核心素養(yǎng)側(cè)重學(xué)生自身在實(shí)踐中的摸索、積累和感悟，其目的是培養(yǎng)學(xué)生伴隨終身可持續(xù)發(fā)展的能力和品格3．本節(jié)課中，既有學(xué)生獨(dú)立探究思考的環(huán)節(jié)，又有師生協(xié)作、生生討論的動(dòng)態(tài)形式.教師設(shè)計(jì)了多個(gè)聯(lián)系性問題引發(fā)學(xué)生積極思考，讓學(xué)生在在經(jīng)歷新知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和探索過程中，掌握研究一個(gè)幾何對(duì)象的一般路徑—“觀察實(shí)驗(yàn)一猜想歸納一演繹證明”，利用合情推理提出三角形中位線定理，運(yùn)用演繹推理證明三角形中位線定理.

八年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)初步具備了理論型的邏輯思維與直覺發(fā)現(xiàn)思維，如何引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已知條件和結(jié)論尋找突破口、厘清證明思路尤為重要.在此，讓學(xué)生采用綜合法和分析法去建構(gòu)思維導(dǎo)圖（如證明三角形中位線定理的證法1和證法5），梳理證明思路，這樣便于學(xué)生形成完善的知識(shí)體系，為后繼學(xué)習(xí)提供了多種有效的方法，

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種過程，不是結(jié)果，幾何定理教學(xué)需要人人參與，在探究和應(yīng)用環(huán)節(jié)中，中點(diǎn)四邊形的獲得、將一般四邊形剪拼成平行四邊形的設(shè)計(jì)、學(xué)生在活動(dòng)中大膽的猜想和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C，都有數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透，充分體現(xiàn)了幾何定理教學(xué)育人的價(jià)值和功能.

參考文獻(xiàn)：

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