基于HPM視角的數學課堂教學實踐研究

HPM（Historyand Pedagogy ofMathematics）指數學史與數學教育的深度融合，此為核心素養導向下的數學教學的一項重要理念，常見形式有：直接應用或借鑒史料信息進行教學；揭露知識背后的文化內涵，增強學生對知識的領悟等.基于HPM視角培育學生數學核心素養，可從知識形成以及學生思維發展的合理性等方面展開探索.研究發現，還原知識的歷史真相或借助歷史資料揭秘知識本質，可為促進核心素養的發展提供新路徑.筆者以“認識二元一次方程（組）\"的教學為例，談談基于HPM視角的數學課堂教學如何開展.

教學分析

備課階段，筆者不僅借助課前測了解學生的實際認知水平，還翻閱了各個版本的初中數學教材，發現編者在方程相關章節的編寫上均遵循了循序漸進的原則，每個版本的教材都很注重學法指導，關于方程章節的內容基本為“認識方程、解方程、應用方程\"三個環節.而且各類教材均涉及數學史，例如應用“雞兔同籠”“牛羊問題”等作為章前圖，如此設計充滿了數學味，又讓教學內容變得更有趣.

二元一次方程（組）屬于一元一次方程的后續與發展內容，具有“承上\"的作用，同時它也是一次函數、不等式、多元高次方程（組）的基礎，具有“啟下\"之功效.考慮到本節課之前，學生已經掌握了一元一次方程相關知識，具備方程常規的學習方法與建模意識，從建構主義理論出發，本節課可在學生已有的認知經驗基礎上設計教學活動

教學實踐路徑

1.情境創設，揭露探索主題

良好的問題情境可給課堂營造一個舒適的學習氛圍，讓學生產生主動參與教學活動的意愿.本節課的情境主要圍繞如下目的來創設：回顧方程相關知識與研究方法，借助情境引發學生的認知沖突，激發學生探索的內驅力.考慮到方程的發展歷史悠久，因此選擇一些與本節課教學相關的數學史料作為情境素材，為知識創造生長的營養基，讓學生進一步感知方程具有很強的應用價值，是刻畫現實世界中數量關系的重要工具.

課堂伊始，教師用口述的方式，向學生簡要地介紹《孫子算經》，并借助PPT展示如下問題.

問題1雞兔同籠，有8只頭，26只足，籠內雞、兔各幾何？

學生從已有的認知經驗出發，借助一元一次方程解決此問，教師適時引導學生回顧與一元一次方程相關的知識，以復習鞏固舊知.

師：此問存在的未知量有幾個？

生1：2個，分別為雞、兔的數量，

師：很好，如果我們將雞的數量設定為 x ，兔的數量設定為y，該如何列方程進行求解呢？

在學生交流時，教師再次利用PPT展示如下經典史料問題，為學生的思維指明方向.

問題2驢和騾馱著酒囊艱難前行，驟說：“你比我年紀大，還比我多馱兩袋酒囊，太辛苦了.如果我拿一個酒囊給你，那么你所馱物品的重量則是我的兩倍.”聰明的你，可知驢和騾分別馱了幾個酒囊？（此為歐幾里得問題）

設計意圖雞兔同籠與歐幾里得經典問題均為歷史上有名的數學問題，以這兩個情境啟發學生的思維，引發學生的思考，鼓勵學生自主列式，不僅能讓學生充分感知數學學科的文化之魅，還能讓學生體會到數學知識的實際應用價值，領悟數學知識是解決生活實際問題的重要工具.如此設計，一方面意在引出新的方程，另一方面為培養學生的推理能力與創新意識等核心素養打下基礎.

2.抽象本質，暴露核心概念

知識的形成一般需歷經觀察、分析、類比、概括、抽象與辨析等過程，如圖1，“二元一次方程組\"的形成，從本質上而言，屬于概念同化的范疇.對二元一次方程及其解的探索，可從如下幾個問題著手.

問題3通過對以上兩個問題的探索，我們分別獲得了四個方程： ①x+ y=8;②2x+4y=26 ③x-y=2 ④1+ x=2（y-1） .分析這幾個方程與一元一次方程的區別，并給新的方程下定義.

生2：二元一次方程師：說說你的理由.

生2：因為這些式子都含有兩個未知數.

生3：這么說不完整，應該還要加上“未知數的項次數為1”.

師：不錯，關于方程的定義要關 注\"次”與\"元\"兩點.

問題4式子 x+y+z=8，2a+b=4 xy=8 分別是什么方程？

生 4：x+y+z=8 為三元一次方程，2a+b=4 為二元一次方程， xy=8 為二元二次方程.

問題5現在請大家思考，既滿足 x-y=2 ，又能與實際意義相符的x ，y值分別有哪些？將你的想法填人表1.

表1

師：通過表格的填寫，大家發現有幾組 x ，y能滿足以上條件？

在此問的引導下，學生的思維逐漸由一元一次方程的解延伸到二元一次方程解中.在表格填寫的經驗分享時，有學生提出可以根據一個未知量確定另外一個未知量的值.顯然，表格的應用強化了學生的對應思想，學生自主將一元一次方程與對應思想建立了聯系.

設計意圖此環節應用的方程由上一個環節對歷史經典問題的探索而來，學生通過與一元一次方程的類比，對二元一次方程由感性認識上升到理性層面，通過對正例與反例的辨析，進一步深化了學生對“元”“次”的理解，達到讓學生深度學習的目的.問題5促使學生獨立思考并嘗試解決問題，切身感知二元一次方程的解具有不確定性，讓學生體悟數學對應思想在二元一次方程中的應用，為后續教學奠定基礎.

二元一次方程組的教學與二元一次方程有著高度相似性（過程略）.

3.類比分析，凸顯新知優勢

問題6《九章算術》中記錄了這樣一個問題：“若有牛二、羊四，直金八兩；牛五、羊二直金十二兩，牛羊各直金幾何？”

教師邀請學生翻譯這段話，分組合作交流，要求1組-4組的學生用一元一次方程解決問題，5組-8組的學生應用二元一次方程組解決問題5組-8組的學生在很短的時間內就順利獲得結論，而1組-4組的學生依然在苦苦思索.為了讓學生感知二元一次方程組的優勢，師生進行互動.

師：如果將一頭牛的價格定為 兩，羊的價格可以如何表示？

生5：從問題所提供的第一個等量關系來看，一頭羊的價格為8-2x；第二個等量關系中羊的單價可列式為 ，這兩個式子均表示羊的單價，因此相等，即8-2x

師：該設元過程帶給你們什么體驗？

生6：顯然是二元一次方程組解題更便捷.

生7：列二元一次方程組簡單，但求解的過程需要列表分析，有點麻煩.

師：這個問題提得很好，那么關于二元一次方程組是否存在更便捷的解法呢？這是下節課我們將要探索的問題.

設計意圖《九章算術》是我國古代數學的一部巨著，以其記載的問題作為課堂教學的例題，凸顯了基于HPM理念的數學教學給課堂帶來的文化價值，為發展學生的數學理性精神與民族自豪感奠定基礎.學生通過對比兩種設元法，進一步體會二元一次方程組對解決復雜問題的優勢.如此設計，讓學生不僅有效發展了數學思維，還充分感知到新知學習的重要意義.方程解法的提出，為接下來的教學留下懸念激發學生好奇心.

4.歸納總結，完善知識體系

課堂尾聲，要求學生站在單元整體的視角下，以導圖的方式對本節所學知識、方法與思想等進行歸納總結，構建完整的知識網絡.有學生基于知識的維度設計出圖2，也有學生基于思想方法、研究路徑等維度進行了梳理與總結（略）.

為了進一步凸顯數學的文化魅力，教師特別針對本節課的教學過程設計了這樣一首小詩：雞兔同籠、牛羊攜手，二元方程博古今，核心素養促提升.

設計意圖對一節課而言，小結環節具有梳理、鞏固與提升的作用.教師要求學生根據自己在課堂中的收獲進行總結，促使學生從不同的維度對本節課的教學過程進行回顧與反思.如此設計不僅能夯實學生的知識基礎，還能增強數學文化價值的拓展與延伸.自創詩歌雖然缺乏一點意境，但也能激起學生對數學學科的興趣，培育學生的數學文化精神，發展學生的數學核心素養.

教學思考

1.精選情境素材，提升學習動力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱\"新課標\"）關于二元一次方程（組）的教學，明確提出要從真實的問題情境出發，引發學生的數學抽象與建模意識，讓情境成為教學的起點與落腳點.實踐告訴我們，基于HPM視角準備情境素材，不僅能激發學生探索的內驅力，還能啟發學生的思維.

本節課雖然教學內容為“二元一次方程（組）”，看起來是一個充滿現代化氣息的內容，但這部分知識對解決史料中記載的一些經典問題具有得天獨厚的優勢.為此，將經典的“雞兔同籠”“歐幾里得問題\"等引入課堂中作為教學情境，成功驅動了學生的探索欲，順利抽象出二元一次方程（組），提升了學生的學力.由此可見，基于數學史的維度精選情境素材，是催生學生探索動力的基礎，也是建構新知的主要途徑之一.

2.落實學生地位，打造和諧課堂

新課標明確提出，學生才是課堂真正的主人，教師需要做好組織者與引導者的工作.想要讓學生在課堂中發揮主體作用，首先需營造良好的課堂文化，增強學生的思考、表達、交流與合作，讓學生對探索充滿動力.

本節課，在教師的帶領下，學生從充滿文化氣息的情境出發，立足于目標明確的教學任務，通過自主觀察、分析、思考、交流與辨析等，發現二元一次方程（組）的優勢所在，有效增加了學習效益.教師始終將學生置于課堂的主體地位，讓學生在課堂上翻譯古文，理解并解決相應的問題，感知課堂是一個輕松、愉快、民主的學習場所，從而激發其學習動機.教師則放低姿態，感知學生所觀所想，并適時引導，由此收獲了和諧的師生關系.

3.基于整體視域，發展核心素養

數學是一門系統的學科，沒有一個知識是獨立存在的個體．因此，核心素養導向下的課堂教學應基于整體視域觀察教學內容，讓學生通過學習達到“見木又見林”的效果.本節課從表層來看為探索二元一次方程（組）相關知識，而基于整體視域來看，則需引導學生對方程研究的模式展開分析，學會將研究一元一次方程的方法遷移到研究二元一次方程中來，凸顯出數學的結構化特征，避免因教學內容的單一性，導致新舊知識出現斷層的現象.

基于單元整體視域下的課堂教學，不僅豐富了學生的認知體系，還幫助學生搭建了知識框架，讓學生學會從宏觀的視角觀察與思考問題如課堂尾聲的總結，學生以導圖的方式梳理知識點，就凸顯了整體思想的優勢，此為發展核心素養的必經之路.

總之，基于HPM視角培育數學核心素養的研究方興未艾，將數學史與數學教學深度融合是倡導“立德樹人\"的理念，是發展數學文化的基礎.教師應將這種理念根植于大腦，落實到課堂的每一個環節，讓每個學生都能認同數學文化，形成真善美的思想品質.