“雙減\"背景下初中數學深度學習的研究

“雙減\"背景下，數學教學應重視從“量\"向“質\"轉型，在減輕學生學業負擔的同時，提高課堂教學效率[1].在傳統數學教學中，尤其在概念、公式、法則等知識的教學中，教師往往采用直接講授的方式進行教學，忽視知識的形成過程與知識之間的聯系，使學生對知識的理解不夠深刻、全面、系統，進而影響學生知識體系的建構、遷移能力的提升以及“減負增效”教學目標的落實.基于此，在實踐教學中，教師應以深度學習理論為支撐，創造機會讓學生主動參與知識的建構過程，從而使教學從“教知識\"轉向“教思維”，讓學生學會學習.筆者在教學“完全平方公式\"時，以學生已有知識經驗為出發點，著重引導學生經歷公式的生成、推導、應用等過程，讓學生將舊知與新知建立聯系，進而幫助學生更好地理解知識，完善知識結構，提高學習效益

教學背景

本課知識內容既是多項式乘多項式的運用，又是后續因式分解中公式法的基礎，同時也為分式化簡和研究一元二次方程、二次函數等內容奠定基礎，具有承上啟下的作用.教學中，部分教師忽視公式形成過程，直接引導學生將抽象的代數公式轉化為另一個抽象的代數公式，這樣不僅不利于學生理解和記憶，而且會影響學生學習的積極性和課堂教學效果.在實踐教學中，教師應引導學生從代數和幾何兩個視角去發現和推理公式，以此感悟數形結合、代數推理等數學思想方法的應用價值，揭露公式間的內在聯系和本質，有效規避張冠李戴情況的發生，讓學生真正地掌握完全平方公式，進一步發展學生的推理能力和運算能力.

在學習本課內容前，學生已經學習了整式乘法和平方差公式，具有一定的邏輯推理能力，因此教學中教師應放手讓學生去探究，引導學生經歷完全平方公式發現、推理、應用的全過程，以此發展學生的數學思維，鍛煉學生的綜合能力，為后續因式分解、配方法、一元二次方程、二次函數等內容的學習奠基.

教學過程

1.以舊換新，感知公式

師：你能化簡下列式子嗎？

（1）（a+b）（c+d）;（2）（x+3）（x+3） 3）；（3） （2a+b）（2a+b）

題目給出后，學生結合多項式乘多項式的知識，給出答案： （1）ac+ ad+bc+bd ： （2）x²+6x+9 ： （3）4a²+ 4ab+b².

師：分析以上三個式子，說說它們之間具有怎樣的關系？

生3：可以將其視為特殊與一般的關系，（2）3）是（1）的特殊情況

師：你能具體說說特殊在哪里嗎？生4：若在（1）中設 a=c=x，b=d= 3，則（1）可以轉為（2）的形式;同理，若在（1）中設 a=c=2a，d=b ，則可以將（1）轉化為（3）的形式.

師：很好，其實（2）（3）也就是我們前面所學的多項式乘多項式的特殊情況.

師：對比觀察以上三個式子的化簡結果，說說它們有何不同之處呢？

生5：它們的項數不同，（1）有四項，（2）（3）有三項.

師：很好，請結合（2）（3）式子的特征，寫出兩組同類型的式子并化簡，

學生列舉實例并化簡，如 （p+1） ：（p+1）=p²+2p+1.

師：很好，結合以上探究過程，觀察這些式子具有怎樣的一般規律，你能用符號語言表示這個一般規律嗎？

學生通過觀察、交流、抽象，得到一般性規律，即 （a+b）²=a²+2ab+b²

設計意圖從學生已有整式乘法經驗出發，引導學生主動思考、對比，體會不同式子間的區別與聯系，建立起完全平方公式與整式乘法的橋梁.在復習整式乘法的同時，促進了新知的生成，實現了知識的整體建構，提高了學生的自主探究能力.在此過程中，教師重視滲透特殊與一般的數學思想方法，引導學生用聯系和發展的眼光看待問題，培養學生的創新意識和應用能力.

2.史實引入，推理論證

師：古希臘數學家歐幾里得被稱為“幾何之父”，他的著作《幾何原本》是世界上最早公理化的數學著作，是數學史上的一部經典之作.在這本書中，有這樣一個表述：如果任意兩分一條線段，則在整個線段上的正方形等于各個小線段上的正方形的和加上由兩個小線段構成的矩形二倍.說說你是如何理解這句話的？

題目給出后，部分學生很難理解這句話的意思，教師鼓勵學生動手畫一畫，借助圖形進行理解.學生通過動手操作得到圖1所示的圖形.

圖1

師：結合圖1，你能解釋上面那句話嗎？

生6：將一條線段分為長為 a 和b的兩段，以 （a+b） 為邊長的正方形的面積等于以 ^a，b 為邊長的兩個小正方形的面積加上以 a 為長， b 為寬的兩個長方形的面積.

師：很好，結合以上描述，你能用符號語言表述嗎？

生7： （a+b）²=a²+2ab+b².

師：很好，借助圖形的面積得到這一結論，進一步驗證了上面的一般規律.

設計意圖教師鼓勵學生動手操作，讓學生從幾何視角出發，借助圖形面積得到完全平方公式，體會“數形結合”思想方法的應用價值，幫助學生更好地理解和記憶完全平方公式.同時，在此過程中，教師引導學生用圖形語言、文字語言和符號語言進行描述，有利于鍛煉學生的歸納概括能力和表達能力，發展學生抽象能力、幾何直觀、推理能力等核心素養.另外，教師重視滲透數學文化，讓學生體驗數學發展歷程，有效吸引學生的注意力，激發學生的探究興趣

3.公式論證，深入探究

師：結合以上知識經驗，你能化簡 （a-b）² 嗎？

生8 ：（a-b）²=[a+（-b）]² ，將（ ^a+ b）²=a²+2ab+b² 中的b用 -b 代換即可，所以有 （a-b）²=a²-2ab+b².

師：你能分別用代數和幾何的方法進行推理嗎？

生9：將 （a-b）² 看作 （a-b）（a-b） 0運用多項式乘法法則進行推導，所以 （a-b）²=（a-b）（a-b）=a²-2ab+b².

生10：類比以上推導過程，我們可以借助圖形的面積來解釋.如圖2，邊長為 （a-b） 的正方形的面積可以表示為 （a-b）² ，也可以表示為邊長為a的大正方形的面積減去2個長和寬分別為 ^a，b 的長方形面積，再加上邊長為b的正方形面積，即 a²-2ab+b² 所以有 （a-b）²=a²-2ab+b².

圖2

師：非常好，我們將前面探究所得到的公式 （a±b）²=a²±2ab+b² 稱為完全平方公式.

設計意圖引導學生從代數和幾何兩方面驗證公式，以此加深對公式的理解和記憶，提高學生的邏輯推理能力.在此過程中，教師將課堂交給學生，鼓勵學生去思考、驗證，讓學生充分體驗成功的喜悅，提高參與學習的積極性和主動性，實現深度學習.

4.公式辨析，把握本質

問題1判斷表1各式能否用完全平方公式計算得到？如果可以，請指出其中的a和b，并給出計算結果.

學生獨立思考后，教師展示學生的思考過程

生11：第1個可以用完全平方公式，其中 2a 是公式中的 ?_a，3b 是公式中的 ?_b ，所以計算結果是 4a²+12ab+9b² 師：很好，下一題呢？

表1

生12：可以用完全平方公式計算，將其看成 （4b-3a）（4b-3a） ，其中4b是公式中的 a，3a 是公式中的b，所以計算結果是 16b²-24ab+9a².

師：下一題呢？

生13：也可以用完全平方公式計算，其中- ?a 是公式中的 a，-2b 是公式中的 b ，所以有 a²+4ab+4b².

師：下一個.

生14：也可以用完全平方公式計算，原式可以變形為-（3a-5b）·（3a-5b），3a 是公式中的 ^a，5b 是公式中的b，所以計算結果為- （9a²-30ab+ 25b² ，即 -9a²+30ab-25b²

師：下一個.

生15：原式可以變形為 [a+（c+ d）][a+（c+d）] ，可以用完全平方公式計算，此時 是公式中的 Δ_b ，所以有 a²+2a ι（c+d）+（c+d）²=a²+2ac+

生16：也可以將 （a+c） 看成公式中的 是公式中的b，化簡結果相同.

師：很好，雖然計算過程有所不同，但其本質是相同的.最后一題誰來說一說？

生17：原式可以變形為-（ 2c²+ 5d）（2c²+5d） ，可以用完全平方公式計算，其中 2c² 是公式中的 a，5d 是公式中的b，所以有- ?（2c²+5d）（2c²+5d） =-4c⁴-20c²d-25d². （204號

師：很好，通過以上問題的解決，你有怎樣的收獲？

生18：完全平方公式中的 a 和b可以表示單項式或多項式.

生19：變化的是字母，不變的是結構.

設計意圖通過對完全平方公式進行變形，讓學生從本質上把握完全平方公式，理解公式中a和b的真正含義，以此提升學生的思辨能力，培養學生的運算素養.

5.課內鞏固，夯實基礎

例1請完成下列計算：

（1）1012； （2）99² ；（3 ）0.888²× 0.224+0.888³+0.112²×0.888. （204

題目給出后，教師鼓勵學生用簡便方法計算.學生靈活應用完全平方公式解決了問題，如（1）題變形為（ ；（2）題變形為（100-1）2；（3）題變形為 0.888（0.888+0.112）²

例2如圖3，小明做作業時不小心將墨水滴到試卷上，已知該式子是一個完全平方式，你知道原題是什么嗎？

圖3

學生獨立思考，教師展示學生的思考過程.過程如下：若其是完全平方式，可能是 （x-3）² 或 （x+3）² ，所以被遮擋的部分可能是 ±6.

例3請在括號中填寫合適的數或式子，使其成為完全平方公式：

（1）a²++9=²; （2）4x²+8x+=²; （20（3）a²++9=² （4）5p²+（?）+（?）=（?）².

學生獨立求解，教師呈現學生的解題過程.最后一題為開放題，其答案不唯一，教師展示學生答案，并讓學生闡明理由.

例4公元9世紀，阿拉伯數學家阿爾·花拉子米在解方程 x²+2x=35 時巧妙地借助了完全平方公式及正方形圖形得到了方程的一個正根.他構造出如圖4所示的圖形，你能借助這個圖形及完全平方公式求方程 x²+ 2x-35=0 的正根嗎？

圖4

學生獨立思考后，教師與學生互動交流.

師：結合已知條件，你想到了什么？

生20：結合圖形可知，正方形的面積為 （x+1）² ，即 x²+2x+1 ，而原方程可以變形為 x²+2x+1=35+1 ，即邊長為（x+1） 的正方形的面積為36，所以正方形的邊長為6，故 _?x=5 業

師：很好，類比以上構造方法，請構造出符合方程 x²+6x-7=0 的一個正根的正方形

（學生積極操作、交流）

生21：如圖5，將邊長為 x 和邊長為3的正方形外加兩個長為3，寬為 的長方形拼在一起，組成的大正方形的面積為 x²+2×3×x+3² ，即 x²+6x+9 業將原方程變形得到 x²+6x+9=16 ，即邊長為 （x+3） 的正方形的面積為16，所以 x+3=4 ，故

圖5

師：將其轉化為完全平方公式的形式，然后直接開平方的計算方法，我們稱為“配方法”，在后面學習解一元二次方程時，我們會重點研究這種方法.

設計意圖此環節教師將完全平方公式進行變形，引導學生多角度、多層次地分析和解決問題，以此加深學生對知識的理解，規避機械的記憶和套用，有效拓寬學生的視野，提高學生的知識遷移能力，培養學生的數學運算能力，促進學生全面發展.在研究例4時，教師引導學生從數和形兩個角度進行推理，不僅能讓學生充分體會數形結合思想方法的應用價值和數學知識之間的內在邏輯聯系，還能讓學生學會用聯系和發展的眼光看待問題，促進知識的遷移應用以及學生分析和解決問題能力的提升.

6.歸納反思，升華認知

師：通過本課內容的學習，請大家思考這樣幾個問題：（1）本節課我們學到了哪些知識？你有哪些收獲？（2）本節課知識與我們之前所學的哪些知識內容有著密切的聯系？（3）在研究本課知識內容時，我們運用了怎樣的數學思想方法？

學生獨立歸納后，組織學生進行組內交流，教師進行點評和完善

設計意圖通過創設問題，引導學生從知識、思想、方法、經驗等方面進行歸納總結，以此加深對知識的理解，感悟知識之間的內在聯系，逐漸完善個體知識結構，提升學生的綜合能力與素養.

教學感悟

數學公式不僅僅是解題的重要工具，它的背后還承載著重要的數學思想.數學公式教學應超越“工具主義”，轉向理解、應用、創造.“雙減”背景下，教師需要減少機械訓練，增加思維活動，讓公式成為構建數學認知網絡的“樞紐點”，而非記憶負擔.

在初中數學教學中，教師應從教師的“教\"轉向學生的“學”，創造機會讓學生主動參與公式發現、推導、應用的過程，既要讓學生知道它“從哪里來”，又要讓學生知道它“要去向哪里”，讓學生認識公式的本質，以此達成深度學習.在本課教學中，教師從學生已學的多項式乘多項式出發，引導學生發現蘊含其中的規律，并讓學生從“代數\"和“幾何\"兩個角度進行推理驗證，這樣不僅加深了學生對于公式的理解和記憶，而且促進了學生推理能力、幾何直觀、運算能力等核心素養的提升.另外，應用環節，教師將完全平方公式進行變形，有效增加了思維含量，讓學生多角度理解公式，以此促進深度學習，切實提高課堂教學的效率.

總之，深度學習不是記憶性學習，而是理解性學習、過程性學習.教學中，教師要將知識進行整合，合理地創設問題情境，引導學生將新舊知識進行聯系，讓學生借助已有知識經驗主動探究新知，實現知識遷移，提高學生發現、分析和解決問題的能力，落實學生數學核心素養的培養.

參考文獻：

[1]盧林巧.新時代“雙減\"背景下如何提高初中數學課堂效率[J].亞太教育，2022（18）：126-128.