抓住性質巧解向量中的三角形問題

向量是高考的必考內容，其中向量與解三角形的綜合題比較常見，解決此類問題的核心是綜合利用向量知識和三角形的性質，因此對正弦定理、余弦定理及面積公式的運用必須熟練自如.本文以幾道典型例題為例，介紹問題的求解思路，供學生參考.

1探究向量線性運算的應用

例1已知 P 是 ΔABC 內一點，且滿足 ，若 ΔABP，ΔBCP，ΔACP 的面積 依次為 S₁，S₂，S₃ ，則 S₁：S₂：S₃=

如圖1所示，取 BC AC 的中點分別為 E ，

F ，連接 PE ， PF .由

（ ，得

即2 ，則

圖1

.由此可以判斷 E，P，F 三點共線，且 PF= 2PE ，所以 由 E，F 分別是 BC，AC 的中點，可得

S_ΔBPE=S_ΔCPE，S_ΔCPF=S_ΔAPF.

又 EF 是 ΔABC 的中位線，所以 設S_ΔCPE=t ，則 S₂=2t，S₃=4t ，故 S_ΔABC=4S_ΔCEF= 12t，所以

S₁=S_ΔABC-（S₂+S₃）=6t，

則 S₁：S₂：S₃=3：1：2.

通過畫圖作輔助線將已知條件變形轉化，挖出隱含的線段比，從而成功解題，這里作出三角形的中位線是解題的關鍵.

例2如圖2所示，在 ΔABC 中，已知 AB= 2，AC=3 ，點 P 在線段BC上， 是

圖2

AB（含端點）上的動點.

（1）若 ，求證：直線 CQ 經過線段 AP 的中點 O ：

（2）若存在點 Q 使得 ，求 cos∠BAC 的取值范圍.

（1）因為

所以

.因為 c 是公共點，所以直線 CQ 經過線段 AP 的中點 O

（2）設 （ .因為 ，所以 ，即

則 ，即

故 中

設 ，容易判斷函數 f（t） 在[0，1]上單調遞增，則 cos∠BAC 的取值范圍是

本題的解答涉及向量線性運算，體現向量線性運算在解三角形問題中的工具性作用.

2挖掘向量基本定理的含義

例3已知△ABC的面積為 ^14，D，E 分別為邊AB，BC 上的點， P 為 AE 與 CD 的交點，且 AD：DB= BE：EC=2：1 ，求 ΔAPC 的面積.

0 如圖3所示，以解析 作為一組基底，則AE= 于 A，P，E 三點共線， D ，

圖3

P，C 三點共線，所以存在 λ 和 μ ，使得

所以 ，解得 則 ，故S_ΔAPC=14-8-2=4.

本解法抓住三點共線，運用基底表示有關向量，再運用向量的基本定理求出參數的值，挖掘有關線段關系的重要手段.

例4如圖4所示，在ΔABC 中， AC=2，AB=3 .∠BAC=60^° ，點 D 在邊 AB 上，且 AD=2BD ，點 P 在線段 DC 上，且滿足 m ，求 AP 的長.

圖4

設 ，則

因為 ，比較系數得 m=1-λ ， 解得 由于 AB=3 ，則 AD= 又 AC=2，∠BAC=60^° ，所以 ΔADC 是等邊三角形，則 ∠ACD=60^° ， 在ΔAPC 中，由余弦定理得

故 1

條件中的向量形式是由參數給出的，所以需要求出參數的具體值.此解法借助向量共線

的性質，巧妙運用向量基本定理成功求出參數的具體值，為后續解題掃除了障礙.

3 延展向量數量積公式的功能

例5在△ABC中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 _a，b，c ，且滿足 cos ，已知點 P 是邊AB 上靠近 A 的三等分點，且 CP=1

（1）求角 C ：（2）求 a+2b 的最大值

（1） 60^° （求解過程略）.

（2）在△ABC中，由于 P 是邊 AB 上靠近 A 的三等分點，則AP= AB，故

又 ∠ACB=60^°，CP=1 ，所以

即 a²+4b²+2ab=9 由

解得 （a+2b）²?12 ，則 ，當且僅當 a= 時，等號成立，故 a+2b 的最大值為

點將一個向量式兩邊平方是運用向量法解決相關邊長問題常用的技巧，本解法通過分析已知條件，運用此技巧獲得了與待求結論相關的重要關系式.

（完）