例說平面向量在解三角形中的妙用

平面向量具有數與形的雙重特征，是數學解題的“銳利武器”.正弦定理、余弦定理有多種證法，而教材采用了平面向量法，這足以說明平面向量應用的廣泛性.對于某些解三角形問題來說，平面向量法也不失為一種好方法.那么平面向量在解三角形中有哪些妙用呢？本文舉例說明.

1利用平面向量巧求邊的長度

例1 已知 ΔABC 的內角 A，B，C 的對邊分別 為 a，b，c ，滿足 2

（1）求角 C ：

（2）若 CD 是 ∠ACB 的平分線， ΔABC 的面積為 ，求 Ψ_c 的值.

（1） （求解過程略）.

（2）由面積公式可得 ，解得 ab=8 如圖1所示，由于CD 是 ∠ACB 的平分線，則

圖1

即 因為 A，D，B 三點共線，所以

故

即

結合 ab=8 ，解得 a+b=6 ，則 a²+b²= 1

（a+b）²-2ab=20. 由余弦定理得 c²=a²+b²-ab=

20-8=12 ，則 ·

這類問題的一般解法是先將所求線段當成向量用一組基底表示，再通過兩邊平方，根據向量數量積運算求出它的模，即該線段的長度.

2 利用平面向量巧求角的余弦值

例2 在 ΔABC 中，已知 AB=2 ， AC=3 ∠BAC=60^° ，點 D 和點 E 分別在邊 BC 和 AC 上，AD 平分 ∠BAC，AE=CE，AD，BE 相交于點 P ，則co

如圖2所示，由 AE= CE ，得

圖2

在ABE中，由余弦定理得

由 AD 平分 ∠BAC ，得

則 AB.由于 S△ABD +S△ACD = S_ΔABC ，即

解得 ，則

所以

分別運用余弦定理及等面積法求出 BE .AD ，進而結合向量的數量積運算及夾角公式計算得出答案.

3利用平面向量巧求三角形的面積

例3 在四邊形 ABCD 中， AC 與 BD 交于點P ，若 AB=2AD=6 ，且 P 是 AC 的中點， BP=2PD ，sin 則四邊形ABCD的面積是

如圖3所示，設 解析 （204號 ，則 b-a .因為 P 是 AC 的中點，所以 .因為 ，所以 ，故 ，

圖3

因為 AB=2AD=6 ，所以

∣b-2a∣=3，∣2b-a∣=6，

故

由 ①×4-② 可得 5a²-4a?b=0 ，代人 ① 可得 b²- a²=9 因為 4a?b=5a²gt;0 ，所以 又sin ，所以

因為 5∣a∣²-4∣a∣∣b∣cos?a，b?=0，∣a∣≠0 ，所以 ，則 故 |CD|= 又 （20 sin∠ACD= 所以

.設 ΔACD 的邊 AC 上的高為 h₁，ΔABC 的邊

AC 上的高為 h₂ .因為 ，所以 h₂=2h₁ ，則 故四邊形ABCD的面積是

點求解本題的關鍵在于引入基底 ，運用該基底表示 ，進而利用向量知識求出 ：

4利用平面向量巧求取值范圍問題

例4 在 ΔPAB 中， ∠APB=60^° ，若 C 為 AB 的中點，則 的取值范圍為

記 PA=a，PB=b .因為 ∠APB=60^°，C 為AB 的中點，所以 ，故

在△PAB中，由余弦定理得

所以

當且僅當 a=b ，即 PA=PB 時，等號成立.

又 ，所以

故 的取值范圍為

解題的關鍵是根據題設條件挖掘 PC，AB 與PA，PB 的關系，進而建立分式函數利用基本不等式求解.

平面向量在解三角形中有著廣泛的應用，它不僅提供了一種解題的思路與方法，而且溝通了知識間的聯系.因此，當遇到解三角形問題時，不妨嘗試用向量解決.

（完）