數(shù)列學(xué)習(xí)中需要注意的幾類(lèi)問(wèn)題

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的核心模塊之一，是歷年高考的必考考點(diǎn)，常與其他模塊知識(shí)綜合考查，試題難度中等偏上.考生在解題中常因忽視數(shù)列的特殊性，出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，下面舉例分析處理數(shù)列問(wèn)題需要注意的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).

1注意 為正整數(shù)

從函數(shù)的視角來(lái)看，數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式，均可視為以 n 為自變量的函數(shù)，但需要注意函數(shù)的定義域，即 n 的取值范圍是正整數(shù).解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，如果忽視這一特性，則易出現(xiàn)錯(cuò)解.

例1已知數(shù)列 {a_n} 的通項(xiàng)公式為 a_n=pn²+n （ p∈R） ，若 a_n+1n ，則 Σ_P 的取值范圍是

因?yàn)?a_n+1n ，所以 {a_n} 為單調(diào)遞減數(shù)列.

當(dāng) p=0 時(shí)， a_n=n ，顯然不符合題意.

當(dāng) _p≠0 時(shí)，數(shù)列 {a_n} 的通項(xiàng)公式 （ p∈R 是關(guān)于 n 的二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)為 Σ_P ，結(jié)合{a_n} 為單調(diào)遞減數(shù)列，可知 plt;0 ，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線 解答到這一步，很多考生認(rèn)為只要令 即可，從而解得 （2

這里需要注意 n 是正整數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)的并不是連續(xù)的二次函數(shù)，當(dāng) 時(shí)，只要保證 a₁gt;a₂ ，也是符合條件的，所以 解得

綜上， Σ_P 的取值范圍是

變式數(shù)列 {a_n} 的通項(xiàng)公式為 a_n=∣n-t∣ ，若對(duì)任意正整數(shù) n ，均有 a_n+1gt;a_n ，則 Ψ_tΨ_Ψ 的取值范圍是

答案

2注意公式的應(yīng)用條件

數(shù)列中涉及通項(xiàng)公式、求和公式、遞推公式等眾多公式，有些公式的應(yīng)用要滿足相應(yīng)的條件，例如，應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式S\"=1（1-q\"） 時(shí)，要注意公比 這一條件.在利用 a_n=S_n-S_n-1 求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要注意 n?2 這一條件.注意這些條件，是應(yīng)用這些公式正確解題的保障.

例2 已知在等比數(shù)列 {a_n} 中， S_n 為其前 n 項(xiàng)和，且 1

設(shè)等比數(shù)列 {a_n} 的公比為 q

當(dāng) q=1 時(shí)， . S₃=a₁+a₂+ ，滿足條件.

當(dāng) 時(shí)，由已知條件可得 ，兩式聯(lián)立化簡(jiǎn)得 2q²-q-1=0 ，解得 進(jìn)而可求得 a₁=6

綜上， 或6.

變式設(shè)數(shù)列 {a_n} 的前 n 項(xiàng)和為 S_n ，若 2S_n= 3ⁿ+3 ，則數(shù)列 {a_n} 的通項(xiàng)公式為

答案

3注意特殊數(shù)列的存在

對(duì)于等差數(shù)列，若 m+n=p+q=2t ，則 a_m+ a_n=a_p+a_q=2a_t ，反之不一定成立.若 {a_n} 為常數(shù)列，即公差為0，當(dāng) a_m+a_n=a_p+a_q=2a_t 時(shí)， m+ n=p+q=2t 不一定成立.在處理相關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意這些特殊數(shù)列.

例3設(shè)數(shù)列 {a_n} 是公比為 q 的等比數(shù)列，使“數(shù)列 {a_n} 依次每 n 項(xiàng)之和仍為等比數(shù)列”為假命題的數(shù)列 {a_n} 可以是 （寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)數(shù)列即可）.

對(duì)于等差數(shù)列 {a_n} ，其前 n 項(xiàng)和為 S_n ，則數(shù)列 S_n，S_2n-S_n S_3n-S_2n ，…仍為等差數(shù)列，這一性質(zhì)如果推廣到等比數(shù)列中，即數(shù)列 S_n，S_2n- S_n，S_3n-S_2n ，…仍為等比數(shù)列，對(duì)于一般的等比數(shù)列是成立的，但對(duì)特殊的等比數(shù)列不一定成立.例如，{1，-1，1，-1，…} ，則 S₂，S₄-S₂，S₆-S₄，… 并不是等比數(shù)列，故滿足條件的數(shù)列可以是 a_n=（-1）^n-1 （20（答案不唯一）.

變式 在數(shù)列 {a_n} 中，“對(duì)任意大于1的正整數(shù)n ，均有 a_n²=a_n-1a_n+1 ”是“ {a_n} 為等比數(shù)列”的.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B.

4注意數(shù)列中的特殊項(xiàng)

對(duì)于一個(gè)數(shù)列，若其中的某一項(xiàng) a_k=0 ，則在前 n 項(xiàng)和數(shù)列 {S_n} 中有 S_k=S_k-1 .若其中的某一項(xiàng) a_k= 1，則前 n 項(xiàng)積 {T_n} 中有 T_k=T_k-1 ，解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，如果沒(méi)有注意這些特殊的項(xiàng)，則易得出對(duì)而不全的結(jié)論.

例4已知等差數(shù)列 {a_n} 的公差為 d ，首項(xiàng) a₁= 4，且從第5項(xiàng)開(kāi)始 a_nlt;0 ，則其前 n 項(xiàng)和取得最大值時(shí) n 的值為

從第5項(xiàng)開(kāi)始 a_nlt;0 ，則 a₄?0 ，故 a₄=4+ 3d≥0 ，且 a₅=4+4dlt;0 ，解得 -1. 當(dāng) 時(shí)， {a_n} 前 n 項(xiàng)和取得最大值時(shí) n 的值為3或4.當(dāng) 時(shí)， {a_n} 前 n 項(xiàng)和取得最大值時(shí) n 的值為3.

變式已知 {a_n} 為等差數(shù)列， S_n 是其前 n 項(xiàng)和，則“ a₄gt;a₃ ”是“對(duì)任意正整數(shù) n 且 ”的（ ）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B.

5注意一般與特殊的關(guān)系

在高中階段，數(shù)列的核心是等差數(shù)列與等比數(shù)列，要重點(diǎn)掌握通項(xiàng)公式、求和公式及求和方法.對(duì)于某些數(shù)列問(wèn)題，其所涉及的數(shù)列并不是等差或等比數(shù)列，但其與等差或等比數(shù)列存在某一關(guān)系，因此可將其化歸為等差或等比數(shù)列來(lái)處理，

例5已知數(shù)列 {a_n} 為遞增數(shù)列，若對(duì)任意正整數(shù) m ，數(shù)列 {a_n} 中不大于 2m 的項(xiàng)的個(gè)數(shù)恰為 m ，且a₁+a₂+a₃+…+a_n=100 ，則 n 的最小值為（ ）.

A.7 B.8 C.9 D.10

因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù) Ψ_m ，數(shù)列 {a_n} 中不大于解析 2m 的項(xiàng)的個(gè)數(shù)恰為 Ψ_m ，且 {a_n} 為遞增數(shù)列，所以 ，即 a_n?2n ，即 a₁?2，a₂?4，a₃?6，…， 等號(hào)成立時(shí)每一項(xiàng)取得最大值.由于數(shù)列 {a_n} 的前 n 項(xiàng)和為100，要求 n 的最小值，則應(yīng)使其中的每一項(xiàng)為滿足條件的最大值.此時(shí)

a₁+a₂+a₃+…+a_n=2+4+6+…+2n= （20

則 n（n+1）?100

下面結(jié)合選項(xiàng)逐一判斷.當(dāng) n=7 時(shí)， a₁+a₂+ a₃+…+a₇=56lt;100 ，不符合條件；當(dāng) n=8 時(shí)， a₁+ a₂+a₃+…+a₈=72lt;100 ，不符合條件；當(dāng) n=9 時(shí)，a₁+a₂+a₃+…+a₉=90lt;100 ，不符合條件；當(dāng) n= 10時(shí)， a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=110gt;100 ，此時(shí)令 a₁= ^-8 ，即可滿足條件，則 n 的最小值為10，故選D.

變式已知數(shù)列 {a_n} 是遞增的整數(shù)數(shù)列，且 a₁? 3，a₁+a₂+a₃+…+a_n=100 ，則 n 的最大值為

答案11.

由于數(shù)列具有較強(qiáng)的規(guī)律性，處理相關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意歸納猜想的應(yīng)用.在不同的關(guān)系式中要注意 n 的取值范圍，如在 a_n+1 中， n?0 ，在 a_n-1 中， n?2 ；在等比數(shù)列中，若公比 qlt;0 ，要注意分 n 為奇數(shù)和 n 為偶數(shù)兩種情況討論.若數(shù)列與其他知識(shí)交會(huì)考查，如函數(shù)、向量、不等式等，要兼顧不同的知識(shí)類(lèi)型.

（完）