探秘解三角形“三線”問題

解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其中涉及中線、角平分線、高線（以下簡稱“三線\"的問題因綜合性強(qiáng)、靈活性高，成為學(xué)生學(xué)習(xí)的重難點(diǎn).“三線”在三角形中各自具有獨(dú)特的幾何性質(zhì)，與三角形的邊、角緊密相連.本文深入剖析“三線”問題，通過對典型題型的分類闡述，詳細(xì)總結(jié)各類問題的求解策略，旨在幫助學(xué)生掌握解三角形“三線\"問題的核心方法，提升數(shù)學(xué)解題能力.

1中線問題

常見題型有已知三角形的三條邊，求某條邊上中線的長度，或者已知中線長度及部分邊、角條件，求解三角形的其他元素，如邊長、角度、面積等，解題時(shí)常用到中線長公式和向量法，

中線長公式：在 ΔABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，若邊 BC 上的中線 AD=m_a ，則 （同理可求得其他兩邊中線長公式）.

向量法：若 AD 是 ΔABC 中邊 BC 上的中線，則 ，兩邊平方可得

例1已知 ΔABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，且 sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC a=4 ，邊 BC 上的中線長為 ，則 ΔABC 的面積為（ ）.

A. （20 B.23 C.3 D.4

因?yàn)?sin²B+sin²C-sin²A=sinBsinC ，由解析 正弦定理可得 b²+c²-a²=bc .由余弦定理可得 b²+c²-a²=2bccosA ，則cos ，結(jié)合 A∈ （0，π） ，可得 .由余弦定理可得

a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc，

即

16=b²+c²-bc.

因?yàn)檫匓C上的中線長為 ，設(shè)中線為 AD ，如圖1所示，則 ，兩邊平方可得

圖1

即

24=b²+c²+bc.

由 ②-① ，可得 2bc=8 ，即 bc=4 ，所以

故選A.

2角平分線問題

常見題型為已知三角形的兩邊及夾角平分線的相關(guān)條件，求角平分線的長度，或者已知角平分線長度及其他邊、角信息，求解三角形的其他元素，解題時(shí)常用到角平分線定理和等面積法.

角平分線定理：在 ΔABC 中， AD 平分 ∠BAC ，則

等面積法：在 ΔABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，AD 平分 ∠BAC ，則S_ΔABC=S_ΔABD+S_ΔACD， 即 ，整理可得

例2在△ABC中， AB=4，E 是邊 BC 的中點(diǎn)，線段 AE 的長為 是 BC 邊上一點(diǎn)， AD 是 ∠BAC 的平分線，則 AD 的長為（ ）.

A.B.B.C.2D.B

0 由于 E 是邊 BC 的中點(diǎn)，則 解析

，故

（204號

即 ，解得

.因?yàn)?/p>

AD 是 ∠BAC 的平分線，所以 ，則

，故cos C

在 ΔCAD 中，有

故選B.

3 高線問題

常見題型為已知三角形的某些邊和角，求解高線的長度，或者已知高線長度及其他部分條件，求三角形的面積、其他邊長或角度等.比如，已知三角形的兩邊及其夾角，求該夾角所對邊上的高線長度.解題時(shí)常用到三角形的面積公式和直角三角形的性質(zhì).

三角形的面積公式：在 ΔABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，則 ΔABC 的面積為 S= 分別為邊 a，b，c 上的高線）.已知三角形的兩邊（ 和 b ）及其夾角時(shí)，可先由公式 求出面積，再根據(jù) 求出邊上的高線 h_c

直角三角形的性質(zhì)：若高線將原三角形分割成兩個(gè)直角三角形，可在直角三角形中利用三角函數(shù)關(guān)系求解高線長度.如在 ΔABC 中， AD 是邊BC上的高線；在 RtΔABD 中，若角 B 和 AB 已知，則 AD= ABsinB ：

例3在 ΔABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，且2bcos A=a cos C+ccosA ·

（1）求角 A ：

（2）若 ，求邊 BC 上的高線 AD 的最大值.

（1）因?yàn)?bcos A=a cos C+c cos A ，由正弦定理得

2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，

即2sin B cos A=sin（A+C）=sinB 因?yàn)閟in Bgt;0

所以cos 因?yàn)?A∈（0，π） ，所以 0

（2）由（1）可知 因?yàn)? ，由余弦定理得 a²=b²+c²-2bc cos ∠BAC ，則 3=b²+c²- bc≥2bc-bc=bc ，即 bc?3 ，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號成立，故 （204號 所以 故邊BC 上的高線 AD 的最大值為

例4如圖2所示，已知山體 AB 與山體 CD 的底部在同一水平面上，且兩個(gè)山體的高線 AB 與 CD 均與水平面垂直， ，在山體 CD 的最高點(diǎn) D 處測得山頂 B 的仰角為 45^° ，測得山底 A 的俯角為 30^° ，則 $B D = ＼mathrm { ～ ＼small ～ ＼mathscr ～ { ～ m ～ } ～ }$

圖2

在 RtΔACD 中， ∠DAC=30^° ， CD= ，則 sin 30°= 6003.在△ABD中， ∠BAD=60^° ∠ABD=180^°-60^°-75^°=45^° 由正弦定理可得

所以

本文通過對中線、角平分線、高線問題的分類講解與典型例題分析，總結(jié)出了基于面積公式、幾何定理、向量法的多種解題方法.在解決綜合問題時(shí)，需要將“三線\"的性質(zhì)和解題策略有機(jī)結(jié)合，靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)方法和技巧.解三角形“三線\"問題雖然較為困難，但只要學(xué)生掌握了正確的方法，就能攻克難題.

（完）