基于關鍵能力培養的高考微專題復習

與三角函數中參數 ω 取值相關的問題在近幾年的高考試題中出現的頻率比較高，它常以選擇題、填空題的形式出現，考查整體代換、化歸與轉化、數形結合等數學思想，屬于基礎題或中檔題.本文歸類解析與三角函數中參數 ω 的取值相關的問題.

1與三角函數單調性有關的 ω

解答與三角函數單調性有關的 ω 取值范圍問題的常規思路如下.

已知函數 f（x）=Asin（ωx+φ）（Agt;0，ωgt;0） 在某個區間 I 上單調，可以通過以下思路對條件進行轉化

思路1先將 f（x）=Asin（ωx+φ）（Agt;0，ωgt;0） 在 上的單調區間 D 求出來，則條件轉化為 I?D ，根據 I?D 列不等式組求解.

思路2令 ωx+φ=t ，結合 x 的取值范圍求出 Ψ_t的取值范圍 M ，則條件轉化為

或

進而根據上述區間之間的關系列出不等式組求解.

思路3先求 f（x）=Asin（ωx+φ）（Agt;0，ωgt;0） 的導函數 f^′（x）=Aωcos（ωx+φ） ，則條件轉化為cos（ωx+φ）≥0 （或 cos（ωx+φ）?0） 在 I 上恒成立.設 ωx+φ=t ，結合 x 的取值范圍求出 χ_t 的取值范圍M ，則條件轉化為 或 ，進而根據上述區間之間的關系列出不等式組求解.

例1 已知 ，ωgt;0，函數f（x）

為偶函數，且 g（x）=sin（ωx+φ） 在 上單調遞增，則 ω 的取值范圍為

方法1 因為 f（x） 為偶函數，所以 2φ+ ，即 因為 ，所以 ，故 g（x）=sin（ωx+ ）.由

解得

所以 g（x） 在 上單調遞

增.因為 g（x） 在 上單調遞增，所以 5π

2kπ8 元 56 8k 2'8 4

則 （k∈Z），即 （k∈Z）.3π 32k 6

7π 2kπ 8 9 7 7

[16 8

又 ωgt;0 ，所以 ，故 ω 的取值范圍為

方法2 令 當 時， 由題意可知 Φ_y=sinΦ_t 在 上單調遞增.因為 在 上單調遞增，所以 π π π 51 2kπ 8k4 8 2 2則 （k∈Z），故 （k∈7πω 元 2kπ π 32k 616 8 2 7 7

Z） .由 ωgt;0 ，得 ，故 ω 的取值范圍為

方法3易知 .因為 g（x） （20在 上單調遞增，所以 g^′（x）≥0 在 1恒成立，即 在 上恒成立.令 ，由于 ωgt;0 ，則

由題意知cos t≥0 在 上恒成立.因為cos t?0 在 上恒成立，所以 貝 z .由 ωgt;0 ，得 故 ω 的取值范圍為

2與三角函數零點有關的 ω

與三角函數零點有關的 ω 取值范圍問題，其解題思路是：先用換元法將函數轉化為 或y=Acost+B 的形式，進而將問題轉化為函數 y= sin Ψ_t 或 與函數 的圖像交點個數問題（或方程根的問題），結合圖像與性質列出等式（或不等式）求解.

例2 若函數 在 [0，π] 上恰有兩個零點，則 ω 的取值范圍為（ ）.

A.

O 解析 由題意知 設 ，結合 ωgt;0，x∈ [0，π] ，則 .令 f（x）=0 ，則 sint=1 因為 sint=1 在 上恰有兩個根，所以 解得 故選C.

3與三角函數值域有關的 ω

與三角函數值域有關的 ω 取值范圍問題，其解題思路是：先用換元法將函數轉化為 或 ，再畫出 y=sint 或 的圖像，結合圖像與性質列出關于 ω 的不等式，解不等式即可.

例3 已知函數 在[0，π] 上的值域為 ，則 ω 的取值范圍是（ ）.

，因為 x∈[0，π]，ωgt;0 ，所以解析 .因為 f（x） 的值域為 所以 由圖像得 即 ，故選D.

例4已知函數 （ ωgt;0 在 [0，π] 上的值域為 1]，則 ω 的取值范圍是

. 易知 .令 ，因解析

為 x∈[0，π]，ωgt;0 ，所以 .因為

f（x） 的值域為 ，所以 結合

函數的圖像得 即 故 ω

的取值范圍是

4與三角函數極值（或最值）有關的 ω

解答此類問題的思路是：先用換元法將函數轉化為 或 ，找到 t 的取值范圍，再結合 ω_y=sinω_t 或 y=cost 的圖像（注意新變量 χ_t 的取值范圍）與性質列出關于 ω 的不等式，解不等式即可.

例5若函數 （20在[0，1]上恰好有兩個最值，則 ω 的取值范圍是（ ）.

易知 .由 0?x?1，ωgt; 0，得 因為函數 f（x） 在[0，1]上恰好有兩個最值，由正弦函數的圖像可得 （20 即 （204號 故選C.

5 與三角函數圖像對稱性有關的 ω

解答與三角函數圖像對稱性有關的 ω 取值范圍問題，常把對稱軸、對稱中心之間的距離轉化為周期的倍數（對于正弦、余弦函數，相鄰的對稱軸之間相隔半個周期；相鄰的對稱中心相隔半個周期；一條對稱軸與它相鄰的對稱中心相隔四分之一個周期），再結合周期 2π與函數的圖像列出關于ω的等式（或不等式組），進而求解即可.

例6（2024年北京卷6）設函數 f（x）=sinωx 0 （ωgt;0） ，已知 f（x₁）=-1，f（x₂）=1 ，且 的最小值為 ，則 ：

A. 1 B. 2 C.3 D. 4

O 由題意得直線 x=x₁ 和直線 x=x₂ 是函數 解析 y=f（x） 圖像的兩條對稱軸.因為 ∣x₁-x₂∣ （20 的最小值為 ，則 ，即 ，2π=π，所以ω= 2，故選B.

例7 （2022年全國甲卷文5）將函數 f（x）= （204 的圖像向左平移 個單位長度后得到曲線 C ，若 C 關于 軸對稱，則 ω 的最小值是（ ）.

O 由于曲線 C 為 解析

），且曲線C關于y軸對稱，則

，故 .又 ωgt;0 ，

所以 ω 的最小值是 ，故選C.

6與三角函數周期性有關的 ω

與三角函數周期性有關的 ω 取值范圍問題，常結合 和函數圖像找到與參數 ω 有關的式子.

例8（2022年全國乙卷理15）記函數 f（x）= cos（ωx+φ）（ωgt;0，0lt;φlt;π） 的最小正周期為 T ，若 為 f（x） 的零點，則 ω 的最小值為

0 因為 f（x） 的最小正周期為 T ，所以 （20解析又 ，所以 故 Cos 因為 0lt;φlt;π ，所以 因為 為 f（x） 的零點，所以 ，則 Z） ，故 ω=9k+3（ωgt;0，k∈Z） ，所以 ω 的最小值為3.

例9 將函數 （2號的圖像向右平移 個單位長度后與原圖像重合，則 ω 的值為（ ）.

A. 3 B.6 C. 8 D.9

易知 的最小正周期為 T=π 因為f（x） 的圖像向右平移 個單位長度后得到 的圖像，它與原圖像重合，所以 ，故 ω=-6k （ k∈Z） .又 2lt;ωlt;10 ，所以 ω=6 ，故選B.

7與三角函數多種性質有關的 ω

三角函數的性質會影響 ω 的取值范圍，在解答此類問題時，應綜合考慮每一個條件對 ω 的限制，根據圖像與性質列出等式（或不等式組）求解.

例10 （多選題）已知 （ωgt;0） 在 上單調遞減，且在 [0，π] 上有且僅有一個零點，則 ω 的可能取值為（ ）.

由 ，得

因為 _y=f（x） 在 上單調遞減，所以

因為 ωgt;0，k∈Z ，所以 k=0，0lt;ω?1 當 x∈[0 ，π] 時， .令 f（x）=0 ，則 ）=-1.因為f（）在[0，π]上有且僅有一個零點，所以 與 y=-1 的圖像在[0，π] 上有且僅有一個交點，則 ，即 又 0lt;ω?1 ，所以 ，故選BC.

與三角函數中參數 ω 取值相關的問題，其本質是考查三角函數的圖像與性質.因此，學生應熟練掌握三角函數的圖像與性質，理解三角函數中參數 ω 與三角函數性質（單調性、奇偶性、周期性、對稱性、極值或最值、零點等）之間的密切聯系.

（完）