聚焦核心素養 剖析熱點題型

解三角形是高中數學的基礎知識，也是高考常考考點.其核心在于運用正弦定理、余弦定理、三角函數公式及基本不等式等知識，判斷或求解有關三角形的形狀、周長等綜合問題.這類問題所涵蓋的知識點廣泛，題自設計巧妙，學生只有在日常學習中加強對此類問題的針對性練習，并有效梳理與總結解題方法，才能夠精準把握解題要領.本文借助一些典型例題，深入剖析這類問題的解題策略.

1判斷三角形的形狀問題

在判斷三角形形狀時，應靈活運用正弦定理、余弦定理對題設條件進行恒等變形，這包括“邊化角”或“角化邊”的轉換，再根據三角恒等變換求出角之間的關系，或將幾何問題轉化為代數問題.

例1在 ΔABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，若 試判斷△ABC的形狀.

由題意可知 結合正弦定理得

在 ΔABC 中，因為sin Agt;0 ，sin Bgt;0 ，所以 即 sin Acos A=sin B cos B ，故sin 2A=sin 2B 又角 A，B 是 ΔABC 內角，所以 2A= 2B 或 2A+2B=180^° ，即 A=B 或 A+B=90^° ，所以ΔABC 是等腰三角形或直角三角形.

例2在 ΔABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 _a，b，c ，且 b=4acosC ，試判斷當 tan（C-A 取得最大值時， ΔABC 的形狀.

由題意可知 b=4acosC ，結合正弦定理得（20 sinB=4sinAcosC ，所以 sin（A+C）=

4sin A cos C ，即sin A cos c+ cos AsinC=

4sin A cos C ，故cos AsinC=3sinAcosC. 因為

cos Acos C≠0 ，所以tan C=3tanA ，故 tan（C-A）= 因為tan Agt;0 ，所以

當且僅當tan 時，等號成立，故 tan（C-A 取得最大值 ，此時tan ，所以 A ·由三角形內角和定理可知 B= ，所以當tan（C-A 取得最大值時， ΔABC 為直角三角形.

對于三角形形狀判斷的問題，一般需要依據題設條件，運用正弦定理、余弦定理將“邊化角”或“角化邊”，然后運用三角恒等變換、基本不等式等知識分析判斷.

2 三角形的周長問題

求解三角形的周長問題需要明確三角形中有關的邊長、角度之間的關系，進而根據正弦定理、余弦定理將三角形中的角與邊長進行靈活轉化

例3在△ABC中，內角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，已知B≠π， ，且 a=bcosC+2ccos²B

（1）求角 B ：

（2）若 b=2 ，且邊 AC 上的高為3，求 ΔABC 的周長

（1） （求解過程略）.

（2）由題意可知 結合余弦定理得

所以 a²+c²-ac=4 ，即 （a+c）²-3ac=4. 又邊 AC （204號上的高為 ，所以 ，解得 ac=

4，所以 （a+c）²=16 ，故 a+c=4 ，則 a+b+c=4+ 2=6 ，即 ΔABC 的周長為6.

解題的關鍵是運用余弦定理得出 （a+c）²- 3ac=4 ，然后運用等面積法求出 ac ，進而求 出△ABC的周長.

3 三角形的相關線段問題

與中線或角平分線有關的解三角形問題，常涉及由多個三角形交織而成的復雜圖形.解決這類問題的關鍵在于巧妙地將三角形中的角度與邊長建立關聯，進而依據題意靈活運用三角形的中線與角平分線的定義和性質進行分析，

例4在 ΔABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c. 設 C=120^° ΔABC 的面積為 ，周長為15.

（1）求 ΔABC 的外接圓面積.（2）若 D 是線段 AB 上一點，在下面兩個條件中任選一個，求線段 CD 的長.條件 ① CD 是線段 AB 上的中線；條件 ② CD 是 ∠ACB 的平分線.

（求解過程略）.

（2）若選擇條件 ① ，由題意可知

a+b=15-c=8，ab=15. 因為CD= ，兩邊平方可得 所以CD=√19

若選擇條件 ② ，依據題意不妨設 bgt;a .由題意可知 a+b=15-c=8，ab=15 ，所以 a=3，b=5. 因為（204號 S_ΔABC=S_ΔACD+S_ΔBCD ，所以 （20號sin ，解得三角形中有關中線、角平分線的問題，需要 依據圖形及已知條件挖掘三角形邊長和角 度之間的內在聯系，進而列方程求解.

4 三角形面積問題

三角形面積問題是一類熱點題型.求解這類問題時需要根據題自要求，靈活運用正弦定理、余弦定理、三角形面積的計算公式、三角函數的性質等知識分析出目標問題與已知條件之間的關聯.

例5已知△ABC的內角 A，B，C 所對的邊分別為

（1）判斷 ΔABC 的形狀；

（2）若 a=2，P 是 ΔABC 內一點，且 ∠BPC= ，求 ΔBCP 面積的最大值.

（1）ΔABC 為直角三角形（求解過程略）.

（2）設 ∠PCB=θ .因為 所以 .在 ΔBCP 中， BC=2 ，由正弦定理得

故 .設 ΔBCP 的 面積為 S ，則

當且僅當 即 時， s 取得最大值 綜上， ΔBCP 面積的最大值為

點求三角形面積的最大值問題，首先需要根據已知條件表示出三角形面積的函數，再結合正弦定理、余弦定理進行邊角之間的互化，進而利用三角函數的有界性求其最值.

解三角形問題的關鍵是在充分理解題意的基礎上，找到三角形內角與邊長之間那些隱而不顯的關聯，進而靈活運用三角形的有關性質、三角函數及不等式等基礎知識逐步進行推導.

（完）