值得重視的考點(diǎn)

將 sin 3α，cos 3α 稱為 α 的三倍角的正余弦，它們都能用單倍角 α 的正余弦來(lái)表示，即 sin3α=3sinα- 4sin³α，cos3α=4cos³α-3cosα ，這組公式稱為三倍角的正余弦公式.它們還可變形為 sin³α= .三倍角公式及其變形式在近年的競(jìng)賽、高考模擬和強(qiáng)基試題中時(shí)有出現(xiàn)，本文舉例說(shuō)明它們的應(yīng)用.

1用于求值

例1求 sin³20^°+sin³40^°-sin³80^° 的值.

方法1 因?yàn)?/p>

sin³20^°+sin³40^°=sin³（30^°-10^°）+

所以

sin³20^°+sin³40^°-sin³80^°=

方法1主要抓住特殊角 30^° ，利用角變換20^°=30^°-10^° ， 40^°=30^°+10^° ，且 sin³20^°+

消去中間項(xiàng)，進(jìn)而巧妙結(jié)合三倍角公式求解.

方法2由三倍角公式 sin 3α=3sinα-4sin³α 得 ，所以

故

注意到 sin³20^°+sin³40^°-sin³80^° 中每一項(xiàng)都是 sin³α 的形式，所以利用三倍角公式變形將原式降為一次式，此時(shí)出現(xiàn)3個(gè)特殊角 60^°，120^° 240^° ，便于化簡(jiǎn)求值.

例2求 sin³6^°-sin³114^°+sin³126^° 的值.

方法1 易得

由sin 36°=cos54° ，可得 2sin18^° cos 18^°= 4cos³18^°-3cos18^° .因?yàn)閏os 18^°≠0 ，所以 2sin 18°= 4cos²18^°-3 ，則 4sin²18°+2sin 18°-1=0 ，解得 （204號(hào)sin 18°= 故

點(diǎn)方法1主要抓住特殊角 120^° ，利用角變換114°=120°-6°， 126^°=120^°+6^° 將題中所有角轉(zhuǎn)化為 6^° ，再利用 （a-b）³-（a+b）³=-6a²b- 2b³ 消去中間項(xiàng)，進(jìn)而巧妙結(jié)合三倍角公式求解.

方法2由三倍角公式 sin 3α=3sinα-4sin³α （204得 ，所以

4（sin³6^°-sin³114^°+sin³126^°）= 3sin6^°-sin18^°-3sin114^°+sin342^°+ 3sin126^°-sin378^°=

3（sin6^°-sin114^°+sin126^°）-3sin18^°=

3[sin6^°-sin（120^°-6^°）+sin（120^°+6^°）]- 18^°=3（sin6^°+2cos120^°sin6^°）-3sin18^°= -3sin18^°.

下同方法1.

注意到 sin³6^°-sin³114^°+sin³126^° 中每一項(xiàng)都是 sin³α 的形式，所以利用三倍角公式變形，將原式降為一次式，將式子統(tǒng)一為一個(gè)特殊角120^° 和另一個(gè)角 6^° ，便于化簡(jiǎn)求值.

方法3注意到 sin（6^°×3）=sin（-114^°×3）= sin（126^°×3）=sin18^° ，且sin 6^° ，sin （-114^°） ，sin 126^° 各不相等，由三倍角公式sin 3α=3sinα- 4sin³α 知 x₁=sin 6°，x₂=sin（-114°） ， x₃=sin126^° 是方程 4x³-3x+sin18^°=0 的三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.由根與系數(shù)的關(guān)系可知 x₁+x₂+x₃=0 ，所以

sin³6^°-sin³114^°+sin³126^°=x₁³+x₂³+x₃³=

下同方法1.

解題過(guò)程中用到了一元三次方程 ax³+ bx²+cx+d=0（a≠0） 根與系數(shù)的關(guān)系：

例3 求 的值.

O 由

解析

cos 3α=4cos³α-3cosα ，得

即 .同理可得 ，即 x₁，x₂，x₃ 是方程 4x³-3x- 的根.由根與系數(shù)的關(guān)系得 x₁+x₂+x₃=0 所以

2 用于證明

例4 求證 （20號(hào)

證明 cos ，由三倍角公式cos 3α= 4cos³α-3cosα ，得

設(shè) f（x）=8x³-6x-1 ，則 f^′（x）=24x²-6= 6（2x-1）（2x+1） .因?yàn)? ，所以f^′（x）gt;0 ，即 f（x） 在 上單調(diào)遞增.又 -3lt;0，f（1）=1gt;0 ，所以存在唯一正數(shù)根 x₀= Cos ，使得 f（x₀）=0. 又 ，所以

這道題看起來(lái)不容易找到解題思路，仔細(xì)觀察后會(huì)發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)在于求解cos 而 不是特殊角，無(wú)法直接計(jì)算，但是該角有一個(gè)可以往特殊角 靠攏的特征，即 聯(lián)系上了.

3與其他知識(shí)綜合應(yīng)用

例5已知 ，則該方程所有實(shí)根個(gè)數(shù)與所有實(shí)根乘積的比值為

由于 -1?x?1 ，可設(shè) x=cosα（α∈[0，π]） ，則方程 可化為sin α= ，即 ，所以 3α= 或 Z） ，即 或 ：

由 α∈[0，π] ，得 A 或 又 所以該方程所有實(shí)根個(gè)數(shù)與所有實(shí)根乘積的比值為12.

此題看似是代數(shù)問(wèn)題，實(shí)則為三倍角問(wèn)題，由 的左邊知 -1?x?1 右邊式子有三倍倍角公式的特征，從而將此題轉(zhuǎn)化為三倍角問(wèn)題.

例6 已知si ，則 n 的值為（ ）.

A.5 B.4 C. 3 D. 2

由三倍角公式sin 3α=3sinα-4sin³α ，得 則sin 10^° 是方程 的一個(gè)實(shí)數(shù)根.

令

f^′（x）=12x²-3=3（2x-1）（2x+1）.

當(dāng) 時(shí)， f^′（x）lt;0 ，即 f（x） 在 上單調(diào)遞減.又 sin ，且 ，則sin ，所以 n=5 ，故選A.

本題要研究 sin10^° 的“小范圍”，需要盡量準(zhǔn)確逼近sin 10^° 的值，注意到 30^° 是 10^° 的三倍角且sin 30^° 是特殊值，所以利用三倍角公式及函數(shù)零點(diǎn)的知識(shí)可鎖定sin 10^° 的“小范圍”.

例7在 ΔABC 中， AC=2 ∠ABC=2∠BAC 則 ΔABC 面積的最大值為

此題表面看只包含二倍角關(guān)系，但 ∠ACB= π-3∠BAC ，因此涉及三倍角，故運(yùn)用三倍公式化簡(jiǎn)，即可求出 ΔABC 面積的最大值.

設(shè) ∠BAC=α ，則 ∠ACB=π-3α .由正弦定理知 則

由題意可知 0lt;3αlt;π ，則 設(shè) x= tan α ，則 .令 ），則

由 f^′（x）=0 ，得 當(dāng) 時(shí)，f（x） 取得最大值 ，故 ΔABC 面積的最大值為 ：

為表示 ΔABC 的面積，需抓住 AC=2 這個(gè)定值條件，結(jié)合題目中涉及的“簡(jiǎn)單角”

∠BAC （即其他角都可用該角表示），令其為 α ，則 AC·ABsinα，故只需求出AB即可.此時(shí)式子中包含三倍角，因此只需將3tan α- 轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù)，再構(gòu)造函cos

數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性求解.

例8請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)（系數(shù)均為整數(shù)的函數(shù)） f（x）=. ，使得 f（sin10^°）=0 由三倍角公式得sin30^°=3sin10^°-4sin³10^°.

則 故 6sin10^°-8sin³10^°- 1=0 ，所以 f（x）=8x³-6x+1

10^° 不是特殊角，但它與 30^° 存在三倍角關(guān)系，這是解題的切入點(diǎn).

一例9若 sin18^° 是函數(shù) f（x）=ax³-bx+1 （a，b∈N^* ）的一個(gè)零點(diǎn)，則

A.2 B.3 C.4 D. 5由sin 72^°=cos18^° ，可得

2sin36^°cos36^°=cos18^°，

4sin18^°cos18^°（1-2sin²18^°）=cos18^°. （20號(hào)結(jié)合cos 18^°≠0 ，得 4sin18^°（1-2sin²18^°）=1 ，整理得

8sin³18^°-4sin18^°+1=0，

所以 f（x）=8x³-4x+1 ，則 f（1）=8-4+1=5 ，故選D.

18^°"雖然不是特殊角，但也算是比較常見(jiàn)的角.

雖然平時(shí)經(jīng)常會(huì)用到 sin 18°=√5-1， ，但是此題顯然不能將這個(gè)值代入.注意到 f（x）=ax³-bx+1（a，b∈N^*"）是三次函數(shù)，所以應(yīng)往三倍角方面考慮.

例10 已知數(shù)列 {a_n} 滿足"""，求數(shù)列 {a_n} 的通項(xiàng)公式.

."""解析 設(shè) .由4a_n+1²=3 ，可得 sinθ_n=3sinθ_n+1-4sin³θ_n+1= sin 3θ_n+1".因?yàn)?"在""上單調(diào)遞增，所以"".又 a₁= sin""，所以""，則 {θ_n} 是首項(xiàng)為""、公比為"的等比數(shù)列，所以""2×3\"，故an= sin θn=

sin"

由""，得 3a_n+1-4a_n+1³=a_n"，該式子隱含三倍角公式的特征，且"""符合正弦函數(shù)的值域，所以考慮與三倍角的正弦公式建立聯(lián)系.

三倍角公式及其變形式的應(yīng)用關(guān)鍵在于抓住角的特征或所涉及式子的結(jié)構(gòu)特征．因?yàn)?"分別是"的三倍角，所以涉及""的三角函數(shù)問(wèn)題，應(yīng)2考慮運(yùn)用三倍角公式求解.對(duì)于""，即 18^°"，應(yīng)綜合運(yùn)用cos 18^°=sin72^°"，cos 36^°=sin54^°"這兩個(gè)公式，同時(shí)要學(xué)會(huì)推導(dǎo)得出sin 18°√5-1.