解三角形中“正切倒數和”模型的性質探究及拓展

解三角形通常會涉及三角函數、向量、函數等知識，一般以邊或角的正弦、余弦關系式作為條件，然而與正切相關的題目讓學生感到比較棘手，如“ 為常數）（‘正切倒數和‘模型）”4 =λ（λ為常數）（‘正切比’模型）”“ 為常數）”

那么，怎樣將陌生問題轉化為熟悉的問題？筆者分析了近三年來有關“正切倒數和”模型及其拓展模型——“正切比\"模型的考題，探究了它們的性質及其所蘊含的幾何背景.

1原題呈現

題目在△ABC中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，且sin Csin（A-B）=sinBsin（C-A）

（1）證明： 2a²=b²+c² ：

（2）設 ，求 λ 的值.

分析本題是一道以“正切倒數和\"模型為背景的考題，第（1）問利用正弦定理、余弦定理、平方差公式、積化和差公式即可證明，難點是第（2）問，通常處理方法是切化弦，得

面對該等式，很多學生束手無策，不會角化邊或轉化不徹底，無法與第（1）問的結論產生聯系，導致解題失敗.如何將 （角）與 2a²=b²+c² （邊）關聯起來是本題的突破口，也是解答本題的關鍵所在.下面給出第（2）問的解法探究.

2 解法探究

解法1 （切化弦 + 角化邊）由 得 兩邊同時乘sin AsinBsinC ，得cos BsinAsinC+cosCsinA sin B=λcosAsinBsinC. 由正弦定理得

由余弦定理得

整理得 2a²=λ（b²+c²-a²） ，故 （20 由（1） 知 2a²=b²+c² ，代人上式得 λ=2

通過切化弦，結合正弦定理、余弦定理角化 （204號邊，整理得 ，從而使得問題得以解決.該解法思路清晰，學生較容易想到，是求解此類問題的一種好方法.

解法2 記非直角三角形ABC的面積為 s ，則

下面給出其證明.由 a²=b²+c²-2bc cos A ，得 （204，故

所以 同理可證其他兩式.因為 所以

整理得 又 2a²=b²+c² ，所以 λ=2

利用三角形面積公式和正切的關系式，很容易將“正切倒數和”的式子轉化為三角形三條邊之間的關系式，從而使問題獲解.在推導正切與三角形的面積公式時用到了余弦定理和弦化切.

以上兩種解法盡管呈現出不同的解答過程，但是指導思想卻是相同的，都用到等價轉化的數學思想，將學生感到陌生的“正切倒數和”模型轉化為熟悉的關系式.通過比較各種解法的特點，厘清各種解法之間的關系，提煉問題的通性通法，可以提升學生解決問題的綜合能力.

3“正切倒數和\"模型的一般化及其拓展

3.1“正切倒數和\"模型的一般化

在非直角三角形 ABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 _a，b，c ，記△ABC的面積為 S ，則

λ sin Asin

證明 （1）同引例的證明過程.

幾何背景分析 如圖 1所示，過點 C 作 CD⊥ AB 交 AB 于點 D ，則

圖1

由引例的解法2得 又 ：

CD ，所以 由 可得

整理得 （2號 （2）（i）由 ，得

λ .兩邊同時乘s inAsinB 得 cos AsinB+cosBsinA=λsinAsinB

即 sinC=λsinAsinB ，則

其中 R 為ABC的外接圓半徑.

幾何背景分析 如圖1所示 L 則 所以 所以

（ii）由（i）的證明過程可知 sin C=λsinAsinB ，則

3.2“正切倒數和\"模型的拓展 “正切比\"模型

在非直角三角形 ABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 _a，b，c ，則

tanA=λtanB?

sinC=（λ+1）cosAsinB?

證明 因為tan A=λ tan B ，所以 sinAcosB+cosAsinB=（λ+1）cosAsinB 即 sin（A+B）=（λ+1）cosAsinB ，也即

由正弦定理可得 c=（λ+1）?b?cosA .由sin A cos B=λcosAsinB ，結合正弦定理得

代人 c=（λ+1）?b?cosA ，得 .將

c=（λ+1）?b?cosA 進一步角化邊得 c=（λ+1）?b ：

（204號 （204號，整理得

由正弦平方差公式得

（20 聯立式 ① 得

幾何背景分析 如圖

2所示，過點 C 作 CD⊥

AB 交AB于點 D ，則

tan ，tan ，

所以 1

圖2

由tan A=λtanB ，得 BD=λ?AD .因為 AD= AC ·cos A=b?cosA ，所以

c=AB=AD+BD=AD+λ?AD=

（λ+1）AD=（λ+1）?b?cosA，

a²-b²=（CD²+BD²）-（CD²+AD²）=

BD²-AD²=（λ?AD）²-AD²=（λ²-1）AD²，

而 c²=（λ+1）²AD² ，兩式相除得

當 λ=1 時， D 是 AB 的中點，又 CD⊥AB ，所以AC=BC，A=B，ΔABC 為等腰三角形.此時 c= （λ+1）?b?cosA=2b?cosA ，即得結論：“在 ΔABC 中， c=2b?cos （20號 A?A=B^′ ，

當 λ=0 時，由式 ② 得

所以 ΔABC 是以 B 為直角頂點的直角三角形.由于直角無正切值， tanB 不存在，故 λ≠0

4應用

例1已知△ABC中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，且滿足5sin C=6sin（A-B） ，則

3c2

a2-62

0 由 5sinC=6sin（A-B） ，得 解析

.由\"正切比\"模型的性質得 （204號 即（1

，解得 λ=11. 由 得

（204號

例2在△ABC中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 _a，b，c ，tan A=3tanB ，且 c=2b ，求角 A

由\"正切比\"模型的性質得tan A=λtanB? c=（λ+1）?b?cosA ，結合tan A=3tanB 得 c=4b?cosA .又 c=2b ，所以 業

例3 已知 ΔABC 是銳角三角形，內角 A，B，C 所對的邊分別為 tan CtanB

金 ，則

由“正切倒數和\"模型的性質得

由 ，得 a²+b²=6ab?cosC ，則

c²=a²+b²-2abcosC=4ab?cosC，

所以 ，故 解得 λ= 4，即

本文所述問題都是針對解三角形中的“正切倒數和\"模型和“正切比”模型，其指導思想是將陌生的問題等價轉化為熟悉的問題，本質都需要靈活運用正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等進行邊角互化.在處理有關正切問題時，構造直角三角形能很好地實現邊角互化，體現了數形結合、等價轉化的數學思想，學生在解題時應充分運用不同的數學思想，探究題目背后所蘊含的一般規律.

（完）