對2025年數學新高考Ⅰ卷第8題的分析、變式與推廣

比大小是不等式中的一類經典問題，也是近幾年來高考中的熱點.這類問題大致可分為兩類：第一類是給出幾個確定的數進行比大小，第二類是當幾個數滿足某一方程或不等式時，進行比大小.對于第一類問題，常用的處理方式就是放縮法或直接構造函數，利用函數的性質解題.對于第二類問題，由于這些數不一定是確定的，所以在處理這類問題時，要比第一類問題復雜.2025年數學新高考1卷第8題就是屬于第二類問題，筆者通過探究，發現此問題最終可以化歸成第一類問題處理.本文對該題進行了解析，并對該題推廣得到了一般結論，進而給出了此問題的幾個變式，供讀者參考.

1真題再現

題目（2025年新高考 I 卷8）若實數 x，y，z 滿足 2+log₂x=3+log₃y=5+log₅z ，則 x，y，z 的大小關系不可能是（ ）.

A. xgt;ygt;z B. xgt;zgt;y

C. _ygt;_xgt;z D. ygt;zgt;x

. 方法1顯然滿足題設的實數組 （x，y，z） 有解析 無窮多組，不妨先嘗試構造出幾組特殊解，分析其大小關系.

設 2+log₂x=3+log₃y=5+log₅z=t ，則 Ψ_t∈R 令t=2，則=1，y= 所以 令 t=5 ，則 _{x=8，y=9，z=1} ，所以 _ygt;_xgt;z ： 令 t=8 ，則 ，所以 ygt;zgt;x

方法2另外值得一提的是，此類問題的本質就是函數增速的快慢，可通過作圖得出答案，筆者認為這是不嚴謹的，但可用于求解選擇題.

設 2+log₂x=3+log₃y=5+log₅z=k ，則 x= 2^k-2，y=3^k-3，z=5^k-5 ，兩邊同時取對數得 lnx= 在同一平面直角坐標系中，作出直線 的圖像，如圖1所示.

圖1

設 與 的交點為 與 的交點為 與 的交點為 C（x₃，y₃） ：

由圖像知當 k1 時， ，即 ygt;z .當 x₁2 時， ，即 z .當 x₂3 時， ，即 ygt;zgt;x .當kgt;x₃ 時， ，即 zgt;ygt;x ：

綜上， xgt;zgt;y 不可能成立，故選B.

三條直線的交點情況是需要嚴格證明的，因為交點情況的不同會影響 x，y，z 的大小關系.上述圖像是利用幾何畫板作出的，此圖像與理論上的圖像擬合度很高，因此點 A，B，C 的位置情況差別較明顯，這當然可以準確得出交點的情況.但如果在考試中用純手工作圖的話，能夠準確得出交點的情況嗎？例如，后文中的變式1，用上述方法作出圖像（如圖2）.此時即便使用幾何畫板作圖，交點 A，B，C 的位置情況也是非常密集的，那么純手工作圖更不可能得出正確結論了.

圖2

這表明，在歐式幾何中，嚴格的作圖確實可以反映一些性質，但是深刻的性質是作圖無法得到的，它只能為獲取正確結論提供一些可能的猜想，深刻的性質還是需要用幾何法或代數法通過嚴格的邏輯推理得到.

對于此題而言，已經能夠選出正確答案，但是對于選項B，為什么不可能成立？下面用兩種方法給出嚴格證明.

方法1考慮函數 f（x）=log₂x-log₃x g（x）=log₃x-log₅x

因為

所以 f（x） 和 g（x） 都是增函數.

假設 xgt;zgt;y ，則

log₂x-log₃x2x-log₃y=1，

注意到 f（8）gt;1 ，故 xlt;8 ，從而 ylt;8. 又

log₃y-log₅ygt;log₃y-log₅z=2，

注意到 g（9）lt;2 ，所以 ，矛盾，故選項B不成立.

方法2設 2+log₂x=3+log₃y=5+log₅z=t 則 x=2^t-2，y=3^t-3，z=5^t-5

假設 xgt;_zgt;_ygt;0 ，由 xgt;zgt;0 ，得 ，即 故

由 zgt;ygt;0 ，得 ，即 ，故 tgt;5+ log₃⁵9gt;8 ，矛盾，選項B不成立.

至此已經對此題作了完整的解答.但是不禁會想：如果把題設中的常數和對數的底換成更一般的數，又會有怎樣的結果呢？

2推廣問題

設 x，y，z 滿足 log_ax=log_by+m=log_cz+n ，其中 1

顯然 x，y，z 有6種大小關系，下面逐個進行分析.

令 log_ax=log_by+m=log_cz+n=t ，則 x=a^′ ，y=b^t-m ， z=c^t-n

1）取 t=m ，即 x=a^m 業 y=1，z=c^m-n ，則 Φ_xgt;ygt;z

2）令 ，解得 令 ，解得 取 ，即有 zgt;ygt;x

3）令 ，解得 令 ，解得

（ 時，取 ，即

有 _ygt;_xgt;z ：

（ii）當 時， ygt;xgt;z 不可能成立.

4）令 ，得 （204號 區 ，解得 （（i）當 時，取 ，即有 zgt;xgt;y （ii）當 時， zgt;xgt;y 不可能成立.

5）令 ，得 （2 令 ，解得 （i）當 時，取 ，即有 ygt;zgt;x （i）當 時， ygt;zgt;x 不可能成立.

6）令 ，得 令 ，解得

C ln6 ln c（i）當 時，取 ，即ln C ln Cb a有 xgt;zgt;y

（ii）當 時， xgt;zgt;y 不可能成立.

為方便書寫，記

其中 P，Q，R 為定值.

綜上，我們只需要對 P，Q，R 的值進行大小比較，即可確定 x，y，z 所有可能的大小關系.

特別地，當 ι=2，b=3，c=5，m=1，n=3 時，即生成原題.

原題中可證明： Pygt;z，zgt;ygt;x，ygt;xgt;z，ygt; zgt;x ，不可能成立的有 zgt;xgt;y，xgt;zgt;y

下面筆者給出幾個變式題，并應用推廣的結論給出解答.

3 變式訓練

變式1若實數 x，y，z 滿足 log₂x=1+log₃y= 1.5+log₄z ，則 x，y，z 的大小關系不可能是（ ）.

A. Φ_xgt;Φ_ygt;Φ_z E C. _ygt;_xgt;z D. ygt;zgt;x

設 log₂x=1+log₃y=1.5+log₄z=t 不妨先令 t=1 ，即

則 xgt;ygt;z

考慮逐次將 χ_t 增加1，即當 t=2 時， x=4，y=3 ，z=2 ，則 Φ_xgt;Φ_ygt;Φ_z ；當 t=3 時， x=8，y=9，z=8 ，則_ygt;_x=z ；當 t=4 時， x=16，y=27，z=32 ，則 （20 ygt;x ：

至此，顯然這種寬松的賦值已經不夠判斷選項BCD了，需要更加緊密的賦值才行，也就是說，此題進行賦值構造已經不太容易了.下面用推廣的結論來解答.

易知

給出 的兩個常用的放縮式：

由此易知

（20號 ，故

2

，即 P

66

x，y，z 的大小關系可能成立的有 Φ_xgt;Φ_ygt;Φ_z

x，ygt;xgt;z，ygt;zgt;x ，不可能成立的有 zgt;xgt;y ，

xgt;zgt;y ，故選B.

變式2若實數 x，y，z 滿足 log₂x=2+log₃y= 2.5+log₄z ，則 x，y，z 的大小關系不可能是（ ）.

A. Φ_xgt;Φ_ygt;Φ_z I C. _ygt;_xgt;z （204號 D. zgt;xgt;y

易知

由變式1知 則 ，即 ，故 Rlt; Q

xgt;ygt; （204號 z，zgt;ygt;x ， xgt;zgt;y，zgt;xgt;y ，不可能成立的有ygt;xgt;z，ygt;zgt;x ，故選C.