探究構造法求數列通項公式模型

2025-09-28 00:00:00梁國盛

高中數理化 2025年17期

已知數列的遞推關系求此數列的通項公式是高考數學中常見的題型之一，此類問題的解法靈活多變，其中抓住題自特點構造常見數列是常用方法.本文介紹了八種求解數列通項公式的構造法.

1 a_n+1=pa_n+q 型

求解這類問題先將遞推公式 a_n+1=pa_n+q 轉化為 a_n+1+r=p（a_n+r），再用待定系數法求出 r 的值，進而轉化為求解新的等比數列的通項問題.

例1已知數列 {a_n} 中， a₁=1 ， a_n+1=3a_n+4 （n∈N^* ），求數列 {a_n} 的通項公式.

設 a_n+1+r=3（a_n+r），則 a_n+1=3a_n+2r 又 a_n+1=3a_n+4 ，比較得 2r=4 ，即 r=2 ，），則數列 {a_n+2} 是以3為首項、3為公比的等比數列，所以 a_n+2=3ⁿ ，即 3ⁿ-2

2 δ_an+1=pδ_an+q_n+r 型

與前面講述的構造方法類似，即將 a_n+1=pa_n+ qn+r 轉化為 a_n+1+A（n+1）+B=p（a_n+An+ B ），然后通過待定系數法求出 A，B 的值，進而得到關于 a_n+An+B 的等比數列.

比數列，所以 H 3n-2. （2

3 a_n+1=pa_n+qⁿ 型

此類問題有兩種構造思路，其一是將原遞推式轉化為 a_n+1+Aqⁿ⁺¹=p（a_n+Aqⁿ），通過待定系數法求出 A ，再根據等比數列相關知識求解；其二是將原遞推式兩邊同時除以q\"+1得a\"+1 再運用前面的方法解決.

例3已知數列 {a_n} 中，），求數列 {a_n} 的通項公式.

0 在兩邊同時乘 2ⁿ⁺¹ 解析

得令 b_n=2ⁿa_n ，則 b_n+1= ，故），所以數列{b_n-3} 是首項為公比為的等比數列，則 b_n- ，即）\"+3，所以an=

例2 已知數列 {a_n} 中， a₁=2 ），求數列 {a_n} 的通項公式.

0 設（204號解析則又，比較得，聯立解得A=-3，B=2，所以an+1-3（n+1）+2 因此，數列 {a_n-3n+2} 是以1為首項為公比的等

將遞推式轉化 na_n+1=（n+2）a_n+np ，在此式兩邊同時除以三個連續整數之積 n（n+1）（n+2）得

若 p=0 ，運用累乘法求解；若，運用累加法求解.

例4若數列 {a_n} 滿足 a₁=1，a₂=6，（n-1）? a_n+1=（n+1）a_n-（n+1）（ λ_n?2 ），求 {a_n} 的通項公式.

對已知遞推式兩邊同時除以（n+1）n ：（n-1），得設，則業（（n?2），所以累加可得 .又，所以 2 （n?2），故 2）.當 n=1 時，也滿足此式，所以 a_n=2n²-n

5 型

由原遞推式得若 p=s ，則數列是一個等差數列；若 ?≠s ，令，此時數列{b_n} 與第一種類型相似，可采用同樣的方法求解.

例5 若數列 {a_n} 滿足，（），求數列 {a_n} 的通項公式.

0 因為所以解析

則，即數列是首項為公比為的等比數列，故則

6 （20 a_n+1=pa_n^k 型

因為遞推式中有指數運算，直接求解不太方便，于是可采用兩邊取對數的方法，即 kloga_n ，令，則，進而采用第一種類型的方法求解.

例6已知數列 {a_n} 中， a₁=1，a_n+1=2a_n²（n∈ N^* ），求數列 {a_n} 的通項公式.

由 a_n+1=2a_n² ，得 log₂a_n+1=1+2log₂a_n ，則log₂a_n+1+1=2（log₂a_n+1）（n∈N^*），所以數列 {log₂a_n+1} 是以1為首項、2為公比的等比數列，則 log₂a_n+1=2^n-1 ，故 a_n=2^2n-1-1

7 （20 a_n+1=pa_n+qa_n-1 型

此類問題可通過構造二階等比數列求解，即轉化為 a_n+1-Aa_n=B（a_n-Aa_n-1），利用 {a_n-Aa_n-1} 是等比數列及累加法或其他方法求出 {a_n} 的通項公式.

例7已知數列 {a_n} 滿足 a₁=1，a₂=4，a_n+2= 4a_n+1-4a_n（n∈N^* ），求數列 {a_n} 的通項公式.

0 設 a_n+2-Aa_n+1=B（a_n+1-Aa_n），則 a_n+2= 解析（2 （B+A）a_n+1-ABa_n .又 a_n+2=4a_n+1-4a_n ，中比較得解得則數列 {a_n+1-2a_n} 是公比為2的等比數列，其首項為 a₂-2a₁=2 ，故a\"+1—2a=2\".對此式兩邊同時除以 2\"+1，得a ），則數列是以為首項為公差的等差數列，所以，故 a_n= n?2^n-1