探究奔馳定理與三角形“四心”問題
2025-09-28 00:00:00褚穎娜
高中數理化 2025年17期
奔馳定理為系統解決三角形“四心”（重心、內心、外心、垂心）問題提供了重要的解題思路，是向量知識拓展的重要模式.本文給出了一些二級結論及其證明過程，并闡述這些結論在解題中的應用.
奔馳定理若 O 是 ΔABC 內一點，記 ΔBOC . ΔAOC，ΔAOB 的面積分別為 SA，SB，SC ，則
奔馳定理與三角形的“四心\"有著緊密的關聯，
1三角形“四心\"相關結論的推導
結論1若點 O 是△ABC的重心，則 
證明 如圖1所示，將AO，BO，CO 分別延長交其對邊于點 F，D，E. 因為點 O 是 ΔABC 的重心，所以 F .D，E 分別是邊 BC，CA，AB 的中點，則 CO=2OE ，故
圖1
，所以 
同理可得 
，所以SΔAOC 4OC：SΔBOC：SΔAOB=1：1：1. 根據奔馳定理可得OA+OB+OC=0.反之結論也成立，感興趣的讀者可自行證明.
結論2若 ΔABC 的內角 A，B，C 所對的邊分 別為 a，b，c ，點 O 是 ΔABC 的內心，則
SΔBOC：SΔAOC：SΔAOB=a：b：c?
證明 設 ΔABC 的內切圓半徑為 r ，則 SΔBOC= 
2 cr ，故 S△Boc ： S△AO ： （20 SΔAOB=a：b：c .由奔馳定理得 
記點 O 到邊 BC，AC，AB 的距離分別為 h1，h2 ， h3 ，則 
由奔馳定理得 
因為
，所以 h1=h2=h3 ，即點 O 是ΔABC 的內心.
結論3若點 O 是 ΔABC 的外心，則 SΔBOC：SΔAOC：SΔAOB= sin 2∠BAC：sin2∠ABC：sin2∠ACB? （2 
（2
證明若點 O 是 ΔABC 的外心，如圖2所示，設 ΔABC 的外接圓半徑為 R ，則 ∠BOC= 2∠BAC ，所以
圖2
同理可得 
，所以 SΔBOC：SΔAOC：SΔAOB= sin 2∠BAC：sin2∠ABC：sin2∠ACB.
由奔馳定理易得sin 
sin 
反之結論也成立，感興趣的讀者可自行證明.
結論4若點 O 是 ΔABC 的垂心，則
SΔBOC：SΔAOC：SΔAOB=
tan∠BAC：tan∠ABC：tan∠ACB?
證明 若點 o 是 ΔABC
的垂心，如圖3所示，延長 AO
與 BC 相交于點 D ，則 AD⊥
BC ，易知 
，
tan 
所以
圖3
1 ：anLABC：tanLACB=DC：BD. 又
所以 SΔAOB：SΔAOC=tan∠ACB：tan∠ABC. （20
同理可得
所以
SΔBOC：SΔAOC：SΔAOB=
tanLBAC：tanLABC：tanLACB.
由奔馳定理可得 
反之結論也成立，感興趣的讀者可自行證明.
2 應用
例1 已知 O 是 ΔABC 內的一點，若 
且 
則 ΔABC 的面積為
. 由于 
（204 故解析
因為 
4 
，根據奔馳定理可得 SΔBOC：SΔAOC：SΔAOB=
2：3：4.由 SΔAOB=1 ，可得 
，所
點奔馳定理體現了三個小三角形面積與三個對應向量的組合關系，知道面積關系就能得到向量關系，同樣，知道向量關系，就能得到三個小三角形的面積關系.
例2已知點 O 是 ΔABC 的垂心，且 
，則 cos∠ACB 的值為
因為點 O 是 ΔABC 的垂心，由結論4得tan∠BAC·
+ tan 
tan∠ACB： 
又 
，所以
不妨設tan ∠BAC=t （ Ωt≠0 ），則t ∠ABC=2t tan∠ACB=3t .由于
tan∠BAC=-tan（∠ABC+∠ACB）=
則 
，解得 t=1 或－1.當 t=-1 時，1tar ∠BAClt;0 ，tan ∠ABClt;0 ，tan ∠ACBlt;0 ，∠BAC，∠ABC，∠ACB 均為鈍角，不符合題意，所以t=1 ，則 tan∠ACB=3gt;0 ，故 ∠ACB 為銳角.根據同角三角函數關系易得 
根據奔馳定理可將所給向量條件轉換為三個內角正切的比值關系，這為求解某個角的角函數值創造了必要條件.
例3在斜三角形 ABC 中，角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，且 
b=4 若 O 是 ΔABC 內一點，且 
，則 ΔABC 的面積為
因為 
，由
余弦定理得 
又△ABC是斜三角形，所以cos c≠0 ，則 
3bsinB .由正弦定理得 
因為 
，所以
（20號 即 
，則 
，故 
（204號 又 
，所以
解得 
（負值舍），故
由 
，結合奔馳定理可得
SΔBOC：SΔAOC：SΔAOB=2：1：1，
所以 
（20 
，則 ΔABC 的面積為 
：
抓住給出的向量條件，根據奔馳定理能得出三個小三角形的面積關系，因此只需求出其中一個小三角形面積，就能順利解題.
（完）
