關注解三角形中三個二級結論及其應用

所謂二級結論，就是運用教材中的定義、定理、公式和性質進行推理所得出的結論，如果確認結論是正確的，可以直接用于求解非解答題，而在解答題中一般不能直接運用（除非有特殊說明或基本推理），但可以利用其引導解題方向.在解三角形問題中，有三個典型的二級結論用途廣泛，本文介紹其證明過程及相關應用，供讀者參考.

1三角形的射影定理及其應用

在△ABC中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 Ψ_a ，b，c ，過點 A 作 AD⊥BC 于點 D ，在 RtΔABD 與RtΔACD 中， BD=_ccosB，DC=_bcosC ，所以

a=BD+DC=bcosC+ccosB.

同理可得

ccosA+acosC=b;acosB+bcosA=c. （20上述等式稱為三角形的射影定理.

一例1在 ΔABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，且 b cos A=（2c-a） cos B .已知 ΔABC 的面積為 ，則 ΔABC 的周長為

由 b cos A=（2c-a）cos B ，可得2ccosB=bcosA+acosB.

由射影定理可知 α_a cos B+b cos A=c ，則cos 故 B=60^° 又 2acsin B=√3，所以 ac=4.由于 ，根據余弦定理得

13=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac.

由 ，得 a²+c²=17 ，則 （a+c）²=25 ，所以a+c=5 ，故△ABC的周長為 ：

在化簡已知條件時，發現其中一部分滿足三角形的射影定理，因而找到了解題的突破口，為后續利用其他條件求出 a+c=5 創造了條件.

例2若 ΔABC 是銳角三角形，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，且 ，則

tan tan

由三角形的射影定理知 a=bcosC+ ccosB，則 cos B+cosC .同理可得

則

因為 6cosC，所以- cosB B= 4cos C .由正弦定理可得 4cos C ，對此式兩邊同時除以cos C 可得

本題的待求結論是關于三個角的正切，所以運用三角形的射影定理建立等式，再運用正弦定理進行邊角互換求解.

2 正余弦平方差公式及其應用

正余弦平方差公式：

sin（A+B）sin（A-B）= sin²A-sin²B=cos²B-cos²A. （2

證明 sin（A+B）sin（A-B）=（sinAcosB+

cos .AsinB）（sinAcosB-cosAsinB）= sin²Acos²B-cos²Asin²B= sin²A（1-sin²B）-（1-sin²A）sin²B= sin²A-sin²B sin（A+B）sin（A-B）= sin²Acos²B-cos²Asin²B= （1-cos²A）cos²B-cos²A（1-cos²B）= cos²B-cos²A. （2

例3已知△ABC是銳角三角形，內角 A，B，C 所對的邊分別為 _a，b，c ，若 a²=b²+bc ，則

的最小值為

由題意可得 a²-b²=bc .由正弦定理可得 斤 sin²A-sin²B=sinBsinC. 由正余弦平方差

公式可知

sin²A-sin²B=sin（A+B）sin（A-B）= 5 inCsin（A-B）=sinBsinC， 因為sin c≠0 ，所以 sin（A-B）=sinB ，則 A=2B 根據銳角三角形的內角關系易得 ，所以 貝

當且僅當 cos2 時 取得最小值

在了解到題設中有符合正余弦平方差公式的表達式時，及時根據公式進行化簡推理，就能夠得到快速判斷，并使問題獲得圓滿解決.

3 正切和積公式及其應用

在 ΔABC 中，有

tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC，

則 ，所以

（tan A tan B-1 tan C=tanA+tanB 即tan A+tanB+tanC=tanAtanBtanC ，此等式常被稱作正切和積公式.

例4 已知 ΔABC 是銳角三角形，且 2sin²A+ sin²B=2sin²C ，則 的最小值為

. 設 ΔABC 的內角 A，B，C 所對的邊分別為解析 a，b，c .根據正弦定理及題設條件可得 2a²+ b²=2c² ，結合余弦定理 a²=b²+c²-2bccosA ，可得4bc cos A=3b² ，即 4c cos A=3b .根據正弦定理得

4sinCcosA=3sinB=3sin（A+C） 變形化簡可得3tan A=tanC .在 ΔABC 中，容易證明正切和積公式

tan A+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 所以 則 當且僅當tan 時，等號成立，故 的最小值為

本題給出的條件和待求結論中都含有三角形三個角的三角函數關系，如何溝通二者之間的聯系是解題的關鍵，而消元化簡就是解題的常用方法.

例5已知△ABC是銳角三角形，內角 A，B，C 所對的邊分別是 a，b，c .若 b²+c²=4bcsin（A+30^°） ， 則tan A+tanB+tanC 的最小值為

由 b²+c²=4bcsin（A+30^°） ，可得 b²+c²- 2bccos .由余弦定理可得 .由正弦定理可得

因為 0^°° ，所以sin A≠0 ，則

故 兩邊同時除以cos BcosC ，得tan B+tan （20 tan B ：tan C ，所以tan tan B tan C?

當且僅當tan BtanC=2 時，等號成立.

由正切和積公式可得tan A tan Btan c? tan AtanBtanC ，則tan AtanBtanC? ，故tan A+tanB+tanC 的最小值為 ：

正切和積公式是正切和角公式在三角形中的特例，在解三角形問題中要關注這個公式的應用，這個結論也不需要特別記憶，使用時可根據正切公式簡單推導即可得到.

解三角形問題是比較復雜的一類問題，對基礎知識、基本技能以及變換思維能力要求比較高，學生在平時的學習中只有多了解基本題型，理解常規解題思路，掌握典型問題的解題技巧，才能輕松解題.

（完）