三角恒等變換究竟變什么

三角問題的求解往往離不開三角恒等變換.無論是三角函數的化簡與求解，還是三角恒等式的證明，三角恒等變換是主導.對于三角恒等變換，有些同學常因其公式眾多、方法靈活、技巧性強而難以掌握.究其原因主要是沒有抓住三角恒等變換的本質，即“化異為同”，突出一個變字.那么究竟變什么？簡單地說就是變“角”變“名”變“數”下文舉例說明，供大家參考.

1變\"角”

變\"角”，即角的差異變換，解題時應分析角與角之間的特殊關系，主要包括倍角關系、互余關系、互補關系、和差關系等，通過角的變換，溝通已知角與目標角之間的聯系，實現角的統一.變“角”的主要技巧有異角化同角、拆角、配角等.

例1若 sin（α+β）=cos 2αsin（α-β）， 則tan（α+β） 的最大值為

由 sin（α+β）=cos2αsin（α-β） ，得

sin[2α-（α-β）]=cos2αsin（α-β），

所以sin 2αcos（α-β）-cos 2αsin（α-β）=cos 2α? sin（α-β） ，故 sin2αcos（α-β）=2cos2αsin（α-β） ，即

要使 tan（α+β） 取得最大值，不妨設 tan（α-β）gt;0 ，則

當 ，即 時，等號成立，故 tan（α+β） 的最大值為

本題由 α+β=2α-（α-β） 知sin [2α-（α- β）]=cos2αsin（α-β） ，由兩角和的正弦公

式展開并整理得到tan 2α=2tan（α-β） ，再利用 α+ β=2α-（α-β） ，得到

進而利用基本不等式求解.三角函數中的湊角技巧有 （α+β）-β 等.

例2若cos（a-β）=√5， 5，cos 2a ，且 α 為銳角， β 為鈍角，則

由題意可知 ，則 -πlt; α-βlt;0 因為 所以 sin（α-β）= 由 0lt;2αlt;π ，且cos 得 ，故 又

cos（α+β）=cos[2α-（α-β）]= cos 2αcos（α-β）+sin2αsin（α-β）= ，所以 1點本題先利用同角三角函數基本關系式求得sin（α-β） 和 sin2α 的值，再運用兩角差的余弦公式和變“角”思維將其轉化為cos （α+β）= cos [2α-（α-β）] ，最后結合角的取值范圍求解.

2變\"名”

變“名\"就是變函數名.當已知條件與所求目標中的函數名不相同時，或已知條件本身、所求目標本身函數名不相同時，一般遵循“化異為同”的原則，將不同的函數名轉化為相同的函數名，如“切化弦”“弦化切”“正弦化余弦”“余弦化正弦\"等.

例3 已知正數 a，b 滿足

（204號

tan 則

將原式變形為

tan ，則

由此可知 ，所以

故

即

點 本題給出的條件等式的兩側函數名不一致，評 于是利用“弦化切”對其進行變形轉化，再設tan ，根據正切和角公式得到 Z） ，從而求得答案.

例4

化簡可得原式等價于

本題屬于非特殊角三角函數的求值問題，只需利用倍角公式和“切化弦”對原式進行化簡，再利用輔助角公式整理即可.

3變\"數”

變“數\"就是在三角恒等變換中將某個數看成某個三角函數式，如把1看成 sin²α+cos²α ，tan 開或sin 等，這就是所謂的\"1\"的代換.

例5

因為 sin56^°=sin（2×28^°）=2sin28^°cos28^°， sin²28^°+cos²28^°=1 ，所以

，28^°+sin28^°|-|cos28^°-sin28^°|=2sin28^°.

本題借助同角三角函數關系式的平方關系進行“1”的代換，為配方開方創造條件.

化簡可得

2cos 20°-cos 40cos 20°=（cos60^°-cos40^°）cos20^°=

（co s50^°cos10^°-sin50^°sin10^°-cos50^°cos10^°- sin50^°sin10^°）cos20^°= -2sin 50°sin 10°cos 20°= -2cos20^°cos40^°cos80^°=

本題將數字 代換成cos 60^° ，進而利用兩角和與差的余弦公式、正弦二倍角公式及誘導公式變形求得結果，變“數”起到關鍵性的作用.

三角恒等變換雖然具有種類多和方法靈活的特點，但萬變不離其宗，一般來說主要通過觀察、分析條件與結論之間的角、名、形、冪的差異實現“化異為同”，從而成功解題.在解題中同一道三角題往往會涉及多種變換技巧，這充分體現了三角中變的重要性.

（完）