從代數(shù)計(jì)算到幾何直觀：米勒定理在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1米勒定理

1471年，德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒向諾德?tīng)柦淌谔岢隽艘粋€(gè)問(wèn)題：在地球表面的什么位置，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長(zhǎng)？即在什么部位，視角最大？此最大視角問(wèn)題被稱(chēng)為米勒問(wèn)題，其結(jié)論被稱(chēng)為米勒定理，

如圖1所示，已知點(diǎn) A，B 是 ∠MON 的邊 ON 上的兩個(gè)定點(diǎn)， P 是邊OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P 在何處時(shí)， ∠APB 最大？

圖1

對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，有如下結(jié)論.

米勒定理在上述條件下，當(dāng)且僅當(dāng)ABP的外接圓與邊 OM 相切于點(diǎn) P 時(shí)， ∠APB 最大.

證明如圖2所示，設(shè)P^′ 是邊OM上不同于點(diǎn) P 的一個(gè)點(diǎn)，連接 AP^′，BP^′ 其中 BP^′ 與 ΔABP 的外接圓相交于點(diǎn) D ，連接 AD .此時(shí) ∠ADB 為圓周角，而∠AP^′B 為圓外角.對(duì)同一個(gè)圓而言，圓周角大于圓外角

圖2

因?yàn)?∠ADB=∠APB ，所以 ∠APBgt;∠AP^′B 即當(dāng) ΔABP 的外接圓與邊OM相切于點(diǎn) P 時(shí)，∠APB 最大.

在利用米勒定理判斷出最大角后，常運(yùn)用結(jié)論OP²=OA?OB （切割線(xiàn)定理）進(jìn)行計(jì)算.

2試題呈現(xiàn)與探究

題目 已知非零平面向量 _a，b，c 滿(mǎn)足 a?b=a² ， 3c=2a+b ，則 的最小值是

思路1對(duì)于題目所求 首先嘗試表示出b?c .由 a?b=a² ，可得 ∣b∣cos?a∣，b?=∣a∣ ，再利用條件 3c=2a+b 對(duì) c 進(jìn)行代換，從而表示出 b?c .根據(jù)模長(zhǎng)公式得到 ，隨后求出表達(dá)式的最小值.

解法1設(shè) 與 的夾角為 θ 由 a?b=a² ，可得∣a∣∣b∣cosθ=∣a∣² ，則 ∣b∣_{cosθ=∣a∣} ，且

所以

當(dāng)且僅當(dāng) 即cos 時(shí)，等號(hào)成立， 的最小值為

思路2上述解法直接進(jìn)行數(shù)量積和模長(zhǎng)運(yùn)算，最后利用基本不等式算出最值，計(jì)算量較大.那么能否利用向量的幾何意義優(yōu)化解法？由a?b=a² ，得 ，則 在 方向的投影向量就是 ，如圖3所示.因此，可以建立平面直角坐標(biāo)系，將 的坐標(biāo)看作（1，0），則 的橫坐標(biāo)也為1，縱坐標(biāo)可以用兩向量的夾角θ 表示.

解法2 設(shè) a=（1，0） ，則 b=（1 ，tan θ ）（ θ∈ ，故 .令 t=tanθ ，則 t∈[0，+∞） ，故

令 m=t² ，則 m?0. 當(dāng) m=0 時(shí) 當(dāng) m≠0 時(shí)，則分母可化為

因?yàn)? 當(dāng)且

僅當(dāng) m=3 時(shí)，等號(hào)成立，所以 則 綜上， 的最小值為

思路3首先將題干中的條件 ?a?b=a² 和 3c= 2a+b 幾何化，如圖4所示. 的最小值可以看作 與 3c 夾角 θ 的余弦值的最小值，即夾角 θ 的最大值.根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，在圖4中找到一個(gè)角 α （角 α 與角 θ 相等），即探究角 α 的最大值.

下面利用刪減思維，刪減無(wú)關(guān)幾何元素，從原圖中抽離出關(guān)鍵的基本圖形，最終得到圖5.由此，問(wèn)題情境轉(zhuǎn)化為已知兩定點(diǎn) A 與 B ，動(dòng)點(diǎn) P 在定直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，求 ∠APB 的最大值.通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最大角問(wèn)題，由此利用米勒定理求解.

解法3由米勒定理可知，在圖6中，當(dāng)△ABP的外接圓與定直線(xiàn)相切于點(diǎn) P 時(shí)，角 α 最大.如圖6所示，根據(jù)外接圓的定義，此時(shí)外接圓的圓心一定在AB的垂直平分線(xiàn)上.因?yàn)橥饨訄A與定直線(xiàn)相切于點(diǎn)P ，所以外接圓的圓心一定在垂直于定直線(xiàn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P 的直線(xiàn)上.該直線(xiàn)與AB的垂直平分線(xiàn)相交于點(diǎn) C .

則點(diǎn) C 為圓心，此時(shí)四邊形ABPC為平行四邊形.又AC，BC，PC 的長(zhǎng)度皆等于半徑，所以平行四邊形ABPC可以看作兩個(gè)等邊三角形組合而成的菱形，易得角 α 的最大值為 30^° ，則夾角 θ 的余弦值的最小值為 故 的最小值為

3 拓展應(yīng)用

例已知 ^a，b 是兩個(gè)互相垂直的平面向量，且|δa|=2|δb|=10. 當(dāng) 0?t?1 時(shí)，記向量 與向量 的最大夾角為 θ ，則cos 0=

如圖7所示，令 為 AB 上 一點(diǎn)，則OP=ta+（1-t）b.令OC=a， a，則 向量 與 的夾角為 ∠OPC .根據(jù)米勒定理可知 ΔOPC 的外接圓與定直 線(xiàn) AB 相切于點(diǎn) P 時(shí) ∠OPC 最大，如圖8所示.由 ΔPAC～ΔOAP ，得 AP²=AC?AO ，所以 AP= .根據(jù)勾股定理得 ，此時(shí) （204號(hào) 故 1 ΔAPCΔABO ，所以 PC⊥OA ，則 OP 為 ΔOPC 外接圓的直徑，且 OP⊥AB .由 ΔAPCΔABO ，可 得 PC=4 在 RtΔOPC 中， 則 C 故cos

圖7

圖8

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)踐探索中，本研究通過(guò)對(duì)典型例題的深度剖析，揭示了米勒定理在優(yōu)化解題策略方面的獨(dú)特價(jià)值.研究發(fā)現(xiàn)，在處理最大視角問(wèn)題時(shí)，米勒定理展現(xiàn)出三重優(yōu)勢(shì)：其一，通過(guò)幾何直觀直擊問(wèn)題本質(zhì)，避免了煩瑣的代數(shù)運(yùn)算；其二，提供了一種普適性的解題范式，適用于最大角問(wèn)題；其三，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)

（完）