探究基本不等式在解三角形問題中的應用

解三角形問題類型多樣、題目繁多，其中求最值與取值范圍的題型特點鮮明、解法精妙，求解的常規方法是先運用正弦定理、余弦定理建立關系式，再運用基本不等式求解.本文對幾道典型例題進行分析，展示解題核心要點和關鍵技巧，供讀者參考.

1求解三角形中邊的問題

例1在 ΔABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別 為 a，b，c ，若 cos A ，且 a=4 ，求 b+c 的 取值范圍.

因為 ，由正弦定理可得（2 又sin Bgt;0 ，所以 sin cos A ，即tan 又 0 （b+）2，則（b+c）2≤64，故 b+c?8 ，當 b=c=4 時，等號成立.又 b+cgt;a=4 ，所以 4

求解三角形邊的取值范圍問題時，常運用余弦定理構建邊的平方關系，再借助基本不等式解題.

例2 在△ABC中，內角 A，B，C 所對的邊分別為a，b，c，若 ，且 A≠B

（1）求角 c ：

（2）若角 C 的平分線交 AB 于點 D ，且 CD= ，求 a+2b 的最小值.

（求解過程略）.

（2）由題意得 .又S△ABC= S_ΔACD+S_ΔBCD ，所以

則 ，所以

當且僅當 ，即 （20時，等號成立，故 a+2b 的最小值為 ·

求解本題的關鍵在于充分運用角平分線的條件以及三角形面積相等構建 a_λ，b_λ 兩邊隱關系.

例3在△ABC中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，若 2c-a=2bcosA ，且 b=3

（1）求角 B ：

（2）求 的最大值. （20

（求解過程略）.

（2）根據（1）及余弦定理得 b²=9=a²+c²-ac ，則 ，所以 3 .因為 中 在（3，6]上單調遞增，所以 f（t） 有最大值 即 的最大值為

解題的關鍵是運用基本不等式求出 a+c 的取值范圍，這里運用到第（1）問的結論，將待求關系式轉化為函數關系式是一種常見方法.

2求解三角形中角的問題

例4在△ABC中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 _{a，b，c} ，若 ，求角 c

由于 c²-2bccosA ，則

2bc cos

.由基本不等式可得 b²+c²?2bc ，則 4bcsin（A-

，即 π）≥1，所以 sin（A-

b=c .又 A∈（0，π） ，所以 （20 故 ：

由題設條件式聯想到余弦定理，因此運用余弦定理進行等價轉化，進而借助基本不等式題，但需要注意基本不等式等號成立的條件.

例5在 ΔABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 _{a，b，c} ，且

（1）求cos C 的最小值；

（2）求證： （求解過程略）.

（2）若 c?A ，則 C-A?0 ，顯 然滿足題意.若 cgt;A ，設線段 AC 的垂直平分線交 AB 于點 D ，如圖

圖1

1所示，則 故 DB=c- 在 ΔCDB 中，由正弦定理可知 ，當且僅當 ，即 時，等號成立，所以 由（1）知cos ，則 0lt;∠BCA-∠BAClt; 故

0

作為從等式關系過渡到不等式關系的關鍵理論，基本不等式在解決三角形問題中發揮了重要作用.

3求解三角形的面積問題

例6在 ΔABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 _a，b，c ，已知2acos B=2c-b

（1）求角 A ：

（2）若 ，求△ABC面積的最大值.

（求解過程略）.

（2）由正弦定理及（1）可得sin ，sin C= 又 ，所以 c²-a²）=abc .由余弦定理得cos 即 a= ，所以 b²+c²=bc+3≥2bc ，則 bc?3 ，當且僅當 b= 時，等號成立，所以 故△ABC面積的最大值為

求解本題時求出 bc?3 是解題的關鍵，解題 中要充分將題設條件進行等價轉化.

例7在△ABC中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，已知tan B tan ，若 bc=3 ，求 ΔABC （204號面積的最小值.

因為tan B tan 且在 ΔABC 中角 B C 不可能同時為鈍角，所以tan Bgt;0 ，tan cgt;0 ，則 當且僅當tan 時，等號成立，且 A 為鈍角，則 ，故 π-A 為銳角.結合 sin²（π-A）+cos²（π-A）=1 ，得 sin（π-A）= sin 則

故ABC面積的最小值為

在求三角形的面積最小值時，由于 bc=3 ，所以只需求出 sinA 的最小值，故本解法就是根據已知條件，圍繞著如何表示角 A 進行推理論證.（完）