平面向量模的最值問題求解策略與深化應用

平面向量模的最值問題綜合性強、解法靈活，是高考與競賽的熱點題型.此類問題常以向量垂直、定夾角、線性約束為背景，要求學生從多角度突破難點.本文以一道典型題為例，系統剖析解題策略，揭示向量兼具“數形雙屬性\"的解題優勢，為后續方法遷移提供理論支撐.

1 問題呈現

題目已知平面向量 _a，b，e ，且 ∣e∣=1，∣a∣=2 若向量 與 e 所成的角為 60^° ，且 |b-te|≥|b-e| 對任意實數 χ_t 恒成立，則 的最小值為（ ）.

2 解法探究

解法1 （代數法）由題意可得

對 |b-te|≥|b-e| 兩邊同時平方得

整理得 t²-|b|t-1+|b|≥0 ，則

Δ=|b|²-4（-1+|b|）?0，

即 （|b|-2）²?0 ，則 |?b|=2. 由于 |a|=2 ，則 |a+e|= ，如圖1所示，于是

故 的最小值為 ，當且僅當 的終點在同一直線上時（設它們的起點

相同），等號成立，故選B.

圖1

解法2 （幾何法）如圖2所示，作 ， ，則點 M 在直線 OE 上運動.

圖2

由 |b-te|≥|b-e| ，得

當 BE⊥OE 時， 取得最小值 .由 ，得 |?b|=2. 由解法1知

如圖3所示，作 ，則 故點A₁ 在以 O 為圓心、1為半徑的圓上運動，則

由圖3易知，當且僅當點 A_i 為圓 O 與線段 BM₁ 的切點 A₀ 時，等號成立.易得 ，則 |?a+e|+ 的最小值為 ，故選B.

圖3

解法3 （坐標法）由解法1知 ∣e∣=1，∣a∣=2

|b|=2 .設 號 2sinθ. ，則

令 ，則只需 求 y 的最小值.令 ，則

因為 f（φ） 是偶函數，且周期為 2π ，故只需討論φ∈[-π，0] 的情況即可.

易知

當 φ∈（-π，0） 時， ，-4sinφgt;0 當8cos φ+5gt;0 時，顯然 f^′（φ）gt;0. 當8cos φ+5lt;0 時，此時

f^′（φ）gt;0 ，即 f（φ） 在 （-π，0） 上單調遞增，也即 y 在（-π，0） 上單調遞增，當 φ=-π ，即cos φ=-1 時， y 取得最小值 ，故選B.

3方法遷移與深化

例1已知向量 與單位向量 e 所成的角為60^° ，且滿足對任意的 Ψ_t∈R ，恒有 |a-te|?|a-e| ，則|xa+（1-2x）e|（x∈R） 的最小值為

由題意得

因為對任意的 Ψ_t∈R ，恒有 ∣a-te∣?∣a-e∣ ，所以 |a-te|²≥|a-e|² ，即

a²-2ta?e+t²e²≥a²-2a?e+e²，

則 t²-|a|t+|a|-1≥0 ，故 Δ=∣a∣²-4（∣a∣-1）? 0，即（ |a|-2）²?0 ，故 |a|=2 ，且

當且僅當 時，等號成立，故 |Ψ_xa+（1-2xα）β_e|? ，則 |xa+（1-2x）e| 的最小值為

例2已知非零平面向量 滿足 ，|b-c|=1 ，若 與 的夾角為 60^° ，則 |?a-c| 的最小值為

O 如圖4所示，設 解析 ， ， ，則 ，a .由 ∣b-c∣=∣c- ∣b∣=1 ，知 ，則點 c 的軌跡是以 B 為圓心、1為半 徑的圓.連接 _AB ，結合圖4 可知當 A，C，B 三點共線且

圖4

C 在 A，B 中間時， |a-c| 取得最小值.在 ΔABO 中，由 得 |a-c| 的最小值為

例3若平面向量 ^a，b，c 滿足 a⊥b ，且 ∣b∣=2，∣c-a-b∣=1 ，則 ∣c-a∣+2∣c-b∣ 的最小值為（ ）.

0 建立如圖5所示的解析 直角坐標系，設 （0，2）， ，則

圖5

由 |c-a-b|=1 ，得 （x-2）²+（y-2）²=1 ，故點 C 在以 D（2，2） 為圓心、1為半徑的圓上.取 ，則點 E 在 AD 上，故 又 ∠CDE= ∠ADC ，所以 ΔEDC～ΔCDA ，故 即|AC|=2|EC| ，所以

當且僅當 ^{13，C，E} 三點共線時，等號成立，故選D.（完）