輔助角公式應用直通車

三角函數問題離不開三角恒等變換，尤其是輔助角公式.對于形如 y=asinx+bcosx（a，b 不同時為0）的三角函數，可以適當變形為

其中 sin φ= ，COs ，稱這個公式為輔助角公式.它在研究三角函數問題中具有不可替代的作用，是解答三角函數問題的“必備武器”那么輔助角公式可以幫助我們解決哪些常見的問題呢？本文舉例說明.

1化簡求值問題

例1 化簡

將原式化簡得

在許多化簡求值問題中，運用輔助角公式可以消除角與角之間的差異，從而達到約分或正負抵消的目的.

2 最值問題

例2 在△ABC中，若 AC=2 ，則 ΔABC 的周長的最大值為（ ）.

A.2√5+4 B.2√7+4

C.2√5+7 D.2√7+7

由 ，可得

兩邊同時乘si nAsinB ，得

sinA+sinAcosB=

sinB+sinBcosA+sinAsinB，

兩邊同時加 sinBcosA ，得

sinA+sinAcosB+sinBcosA= 9 sinB+2sinBcosA+sinAsinB，

即

sinA+sin（A+B）=

又 sin（A+B）=sin（π-C）=sinC ，所以

設角 A，B，C 對應的邊分別為 a，b，c. 由正弦定 理得

a+c=b（1+2cosA+sinA）=

其中 sin ，COs

不妨設 ，當 時， a+c 取得最大值 ，此時 ΔABC 的周長取得最大值 ²⁺ ，故選A.

點解題的關鍵在于化簡得到 sin B+sinB ·cos A+sinAsinB 后，通過兩邊同時加sin BcosA ，結合兩角和的正弦公式、三角形內角和定理、正弦定理求得 a+c ，進而借助輔助角公式求得最值.

3參數的取值范圍問題

例3 已知函數 sin 2x （0 對稱，若方程 在[0， 上恰有兩個實數根，則 Ψ_m 的取值范圍是（ ）.

B.

0 當 a=1 時， .f（x）=cos2x ，此時 f（x）=m 解析在[0， 上不可能有兩個實數根，不符合題意，故 f（x）=sin（2x+φ） （其中 tan f（x） 的圖像關于直線 對稱，且 0

解得 ，故

當 時， .當 即 時 ；當 即 時， ，故 f（x） 在 上單調遞增，在 上單調遞減，且f（O）= 因為f（x）=m（m∈R） 在 上恰有兩個實數根，即y=f（x） 與 y=m 的圖像在[0， 上恰有兩個交點，所以 ，即 Σ_m 的取值范圍是 ，故選C.

本題先根據輔助角公式及函數圖像的對稱性

求出函數解析式，再根據 y=f（x） 在 上的單調性求出端點處的函數值與最大值，進而依據（204號 y=f（x） 與 y=m 的圖像在[0， 上恰有兩個交點求得參數的取值范圍.

4圖像性質問題

例4 （多選題）已知函數 sin 2x+ 2sin²x ，則（ ）.

A. f（x） 的最小正周期為 π B. f（x） 在 上單調遞增C. f（x） 的圖像關于直線 對稱D. f（x） 在 （0，2π） 上有3個零點

C 解析

對于 A，f（x） 的最小正周期為 ，故A正確.對于B，當 時，令 ，則 t∈ ，此時 Ψ_t 關于 x 單調遞增.因為 ω_y=sinω_t 在 上單調遞增，所以 f（x） 在 上單調遞增，故B正確.

易知

對于C，因為 （204號對應的函數值不是最值，所以直線 不是f（x） 圖像的對稱軸，故C錯誤.

對于D，當 x∈（0，2π） 時，令 ，則 t∈ ，此時 Ψ_t 關于 x 單調遞增，即 Ψ_t 與 x 是一一對應的，故

又關于 χ_t 的三角函數方程sin 在 上恰好有3個根： 且 Ψ_tΨ_Ψ 與 x 是一一對應的，所以 f（x） 在 （0，2π） 上有3個零點，故D正確.綜上，選ABD.

本題利用輔助角公式將函數解析式變形，再運用周期公式判斷A；通過整體代入法將原函數化簡成 y=Asin（ωx+θ）+B 的形式判斷B和C；通過換元法化簡三角函數方程判斷D.

（完）