揭秘數列創新題

由等差、等比數列通過組合、類比或推廣構造出一種新的數列，我們稱之為由這兩類基本數列演化出來的“生成數列”，解此類問題的關鍵仍然是運用等差、等比數列知識，涉及哪個數列問題就靈活運用相關知識求解，這類問題我們稱為數列創新題.那么數列創新題究竟有哪些類型呢？本文舉例說明，供大家參考.

新定義創新題

例1 設數列 {a_n} 的前 n 項和為 S_n .若 an+1≤2（n∈N\"），則稱{an}是“緊密數列”

（1）已知數列 {a_n} 是“緊密數列”，其前5項依次為 求 x 的取值范圍；

（2）若數列 {a_n} 的前 n 項和為 C Φ_n∈N^? ），判斷 {a_n} 是否是“緊密數列”，并說明理由；（3）設數列 {a_n} 是公比為 q 的等比數列.若數列{a_n} 與 {S_n} 都是“緊密數列”，求 q 的取值范圍.

（1）由已知得 x≠0 ，且 解得 即 x 的取值范圍為

（2）數列 {a_n} 為“緊密數列”，理由如下.當 n=1 時， a₁=S₁=1 當 n?2 時， 又 ，所以 a₁=1 滿足

因此 ），所以對任意 Ω_n∈N^*

因為 即 1lt;

，所以 ，故數列 {a_n} 為“緊密數列”

（3）當 q=1 時，有 a_n=a₁，S_n=na₁ ，所以 ，滿足題意.當 時， a_n=a₁q^n-1 （204號 因為 {a_n} 為“緊密數列”，所以 ，即 或1 時，有 （20號 qⁿlt;2 ，所以 ，滿足 {S_n} 為“緊密數列”當1 ，不滿足 {S_n} 為“緊密數列”.

綜上， q 的取值范圍是

本題以新定義數列為背景，考查數列不等式的解法和等比數列求和公式的應用，考查考生的數學閱讀能力和知識應用能力.

2 實際應用創新題

例2市民小張計劃貸款75萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張提供了兩種貸款方式： ① 等額本金：在還款期內把貸款總額等分，每月償還同等數額的本金和剩余貸款在該月所產生的利息，因此，每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差額均相同； ② 等額本息：銀行從每月月供款中，先收剩余本金利息，后收本金；利息在月供款中的比例會隨剩余本金的減少而降低，本金在月供款中的比例因增加而升高，但月供總額保持不變.銀行規定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（如某年7月8日貸款到賬，則該年8月8日首次還款）.已知該筆貸款年限為25年，月利率為 0.4%

（1）若小張采取等額本金的還款方式，已知第一個還款月應還5500元，最后一個還款月應還2510元，試計算該筆貸款的總利息；

（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半.已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張申請該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）.參考數據：1.004³⁰⁰≈3.31 ：

（3）對比兩種還款方式，你會建議小張選擇哪種還款方式，并說明你的理由.

（1）由題意可知在等額本金還款方式中，每月的還款額構成等差數列，記為 {a_n} ，用 S_n 表示數列 {a_n} 的前 n 項和，則 a₁=5500 a₃₀₀= 2510，所以 故小張的該筆貸款的總利息為 1201500-750000= 451500元.

（2）設小張每月還款額為 x 元，采取等額本息的還款方式，每月還款額構成等比數列，則

x+x（1+0.004）+x（1+0.004）²+…+

x（1+0.004）²⁹⁹=750000×（1+0.004）³⁰⁰，

所以 ，即

因為 ，所以小張該筆貸款能夠獲批.

（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息約為4299×300-750000=539700 元.因為 539700gt; 451500，所以從節省利息的角度來考慮，建議小張選擇等額本金的還款方式.

本題的創新之處在于將數列與實際應用問題緊密結合.本題以貸款買房該社會熱點為問題情境，考查等差、等比數列的實際應用，通過兩種貸款方案的對比與選擇，體現了數列的實用價值.

3數學文化創新題

例3 （多選題）大自然的美麗，總是按照美的密碼進行，而數學是美麗的鏡子，斐波那契數列就用量化展示了一些自然界的奧妙，如向日葵花瓣數、蜂巢、黃金矩形、黃金分割等都與斐波那契數列有關.在數學上，斐波那契數列 {a_n} 可以用遞推的方法來定義：a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^* ），則（ ）.

A. a₁+a₃+a₅+…+a₂₀₂₁=a₂₀₂₂ （20 B. a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₂₀=a₂₀₂₂ C.a2+a2+a2+.+a2 021=a2 021a2022 D.

對于選項 A，由 a_n+2=a_n+1+a_n ，得 a_n+1= a_n+2-a_n ，則 a6，…，a2021=a2022－a2020，將上式累加得

a₃+a₅+a₇+…+a₂₀₂₁=a₂₀₂₂-a₂，

又 a₁=a₂=1 ，所以 a₁+a₃+…+a₂₀₂₁=a₂₀₂₂ ，故A正確.

對于選項B，由 a_n+2=a_n+1+a_n ，可得 a₃=a₂+ （ a₁，a₄=a₃+a₂，…，a₂₀₂₂=a₂₀₂₁+a₂₀₂₀， 將上式累加得 a₂₀₂₂=a₂+（a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₂₀） .又 a₂=1 ，所以 a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₂₀=a₂₀₂₂-1 ，故B錯誤.

對于選項C，當 n=1 時， a₁²=1=a₁a₂ .假設當n=k 時， a₁²+a₂²+a₃²+…+a_k²=a_ka_k+1 成立，則當n=k+1 時， ?a₁²+a₂²+a₃²+…+a_k²+a_k+1²=a_ka_k+1+ a_k+1²=a_k+1（a_k+a_k+1）=a_k+1a_k+2 成立，故 a₁²+a₂²+ a₃²+…+a_n²=a_na_n+1 令 n=2 021 ，則 a₁²+a₂²+ a₃²+…+a₂₀₂₁²=a₂₀₂₁a₂₀₂₂ ，故C正確.

對于選項D，由 a_n+2=a_n+1+a_n ，可得

所以

故D正確.

綜上，選ACD.

本題以斐波那契數列為背景，要求考生根據遞推公式探求數列的性質，具有一定難度.

（完）