探究解三角形問題

分析近年高考試題發現，解三角形問題主要涉及四類題型，即求基本量問題、解的存在性問題、三線問題、最值范圍問題等.下面對這些熱點問題舉例分析，并歸納相應的處理策略.

1求基本量問題

三角形包含三條邊、三個角、周長以及面積等多個基本量，已知某些量求其他相關量是高考常考題型.若所給關系中含有角的正弦或邊的一次式，可考慮從正弦定理入手，即通過邊角互化，實現二者統一.若所給關系中含有角的余弦或邊的二次式，可考慮從余弦定理入手.

一例1在 ΔABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，已知 2c cos A=2b-a ：

（1）求角 C ：

（2）若 ，且 ，求 ΔABC 的 面積.

方法1 （1）由余弦定理得cos A= 代人2ccos A=2b-a ，得 b²+

a2 -c2=ab.結合余弦定理得 cos C=2+b2-c2

因為角 C 是 ΔABC 的內角，所以 0

（2）由（1）可知 所以 A ），代人 得 即 因為角 A 是 ΔABC 的內角，所以 解得 則 ，即 ΔABC 是直角三角形.又 ，所以 b=2，a=1 ，故△ABC的面積為

方法2（1）結合 2c cos A=2b-a ，由正弦定理得 2sinCcosA=2sinB-sinA. 因為 A+B+C=π 所以sin B=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC 故2sin A cos C=sinA .因為sin A≠0 ，所以cos C= 又角C是△ABC的內角，所以C=π.

（2）由 ， 及正弦定理得

.結合 得 b-a=

1，代人

得 ab=2 ，則 b=2，a=1 ，所以 ΔABC 是直角三角形， ，故△ABC 的面積為

2解的存在性問題

題目給出的基本量不同，三角形解的情況也不同，若給出三邊，且符合構成三角形的條件，即任意兩邊之和大于第三邊，且任意兩邊之差小于第三邊，則三角形可唯一確定.若給出兩角及一邊，則第三個角確定，三角形的形狀確定，又其中一邊已知，故三角形確定.若給出兩邊及夾角，由余弦定理可確定第三邊，三角形確定.若給出兩邊及一邊的對角，根據已知量的關系，三角形的解不能唯一確定，可能出現一解、兩解或無解的情況.

例2在△ABC中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 ，已知 c=1

（1）求角 B ;

（2）若 D 為邊 BC 上一點，從條件 ① 、條件 ② 、條件 ③ 這三個條件中選擇一個作為已知，使 ΔABD 存在且唯一確定，并求 ΔABD 的面積.

條件 ① ；條件 ② ；條件 ③ ：△ABD的周長為

（1） （求解過程略）.

（2）若選擇條件 ① ，在 ΔABD 中，由正弦定理得 解得 此時 ΔABD 唯一確定.又

所以S△ABD

若選擇條件 ② ，邊 BC 上的高 而 AD= 且 AH

若選擇條件 ③ ，由余弦定理得 AD²=AB²+ BD²-2AB?BDcosB ，與 聯立，解得 ，此時 ΔABD 唯一確定，所

3 三線問題

三線是指三角形的中線、內角平分線以及邊上的高線.中線問題：常用的處理方法是向量法，或兩次利用余弦定理.角平分線問題：通常需要借助角平分線定理，并綜合運用正弦定理、余弦定理.高線問題：主要涉及射影定理或等面積法的應用.

例3在△ABC中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c ，若 分線交 BC 于點 D ，則 AD=_-

由余弦定理 a²=b²+c²-2bccos∠BAC ，得b²-2b-2=0 因為 bgt;0 ，所以

由 S_ΔABC=S_ΔABD+S_ΔADC ，得 解得 AD=2

4最值范圍問題

以解三角形為背景的最值范圍問題的求解思路主要有兩種.從邊人手，構造基本不等式.當題自條件中出現 a+b，ab，a²+b² 時，可考慮利用均值不等式a+b≥2√ab，ab≤（a+b） 及有關變形進行處理.從角入手，將角和函數名統一，進而利用三角函數的有界性處理.

例4在 ΔABC 中，內角 A，B，C 所對的邊分別為 _a，b，c ，且 sin²A-sin²B-sin²C=sinBsinC

（1）求角 A ： （2）若 a=3 ，求 ΔABC 周長的最大值.

（1）由 sin²A-sin²B-sin²C=sinBsinC 及正弦定理得 a²-b²-c²=bc ，所以cos （20因為角 A 為△ABC的內角，所以 （20：

（2）因為 ΔABC 的周長為

a+b+c=3+b+c，

所以求周長的最大值，即求 b+c 的最大值.

方法1 由（1）知 b²+c²+bc=9 ，所以

（b+c）²-bc=9.

由均值不等式得 ，解得 b+c? ，所以 ΔABC 周長的最大值為

方法2設△ABC的外接圓半徑為 R .由正弦定理得

b+c=2R（sinB+sinC），

且 ，所以

因為 ，所以 （204 當 即 時， b+c 取得最大值 ，所以 ΔABC 周長的最大值為

解三角形模塊的復習備考要做好歸納總結，形成知識體系，這樣在解題時才能根據題目特征確定問題類型，進而選擇恰當的處理方法快速解題.

（完）