剖析三角函數中 ω 的取值范圍問題
2025-09-28 00:00:00趙富強
高中數理化 2025年17期
在高考數學中，三角函數的考查方向十分明確，主要以三角函數為載體衍生出一系列題型，如求函數的單調性、單調區間、平移變換問題等，其中三角函數中 ω 的取值范圍問題是高考考查的重點.本文對三角函數中 ω 的取值范圍問題進行剖析，旨在加深學生對此類問題的理解，
1利用三角函數的對稱性
此類問題有兩種求解路徑.一種路徑是由代數法列式求解，即根據三角函數的已知對稱軸或對稱中心直接建立關系式，依據的原理為“ f（x）=Asin（ωx+ φ ）的對稱軸為 
，對稱中心為 （kπ，0） ：f（x）=Acos（ωx+φ） 的對稱軸為 kπ（k∈Z） ，對稱中心為 
”另一種路徑是幾何法，即根據三角函數的圖像列出 ω 的表達式.
例1若函數 
（在 
上僅有一條對稱軸及一個對稱中心，則 ω 的取值范圍為
O 由題意可知 
解析令 
則 
.因為函數 y= 
在 
）上僅有一條對稱軸及一個對稱中心，由正弦函數的圖像可知 
解得 5lt;ω?8 ，故 ω 的取值范圍為（5，8].
本題運用幾何法求解，先進行換元，再結合圖像建立關系式.解題的難點在于確定區間，該題的區間為“已知起點型”，只需要“定圖像、定起點、動終點”即可完成圖像分析.列式時，要注意是否能夠取等.
已知函數 
x∈R） ，若 f（x） 的圖像的任何一條對稱軸與 x 軸交點的橫坐標均不屬于區間 （3π，4π） ，則 ω 的取值范圍是.
B 
0 由題意可知 
所以解析
，故排除A和B.
又 
，且 
，解得 
.當（20 k=0 時 
不滿足 
；當 k=1 時，
符合題意；當 k=2 時 
符合（20題意；當 k=3 時 
，此時 ω 不存在，則C正確，D錯誤，故選C.
本題利用代數法求解.解題的關鍵在于通過整體代換建立關于 ω 的不等式，進而對 k 進行賦值，從而得到 ω 的取值范圍.
2 利用三角函數的零點（極值點）
這類問題有兩種解法，代數法和幾何法.如果題干給出了具體的零點取值，則運用代數法求解；如果題干中給出的是零點（極值點）的個數信息，則一般運用幾何法求解.運用幾何法解題需要在圖像上找出符合“零點（極值點）個數\"對應的區間，然后列式求解.
例3已知 f（x）=cosωx-1（ωgt;0） 在 [0，2π] 上有且僅有3個零點，則 ω 的取值范圍是
因為 0?x?2π ，所以 0?ωx?2ωπ. 令f（x）=cosωx-1=0 ，則cos ωx=1 有3個根.令 t=ωx ，則cos t=1 有3個根，其中 ι∈[0，2ωπ] 如圖1所示，結合余弦函數 
的圖像可得 4π? 2ωπlt;6π ，則 2?ωlt;3 ，故 ω 的取值范圍是[2，3）.
圖1
求解本題時通過“定圖像、定起點、動終點”找出對應的區間，然后列式求解即可.
例4設函數 
在 （0，π） 上恰有3個極值點、2個零點，則 ω 的取值范圍是
依題意可得 ωgt;0. 因為 x∈（0，π） ，所以 ωx+ 
又 
3π） ）的圖像如圖2所示，要使函數 f（x） 在 （0，π） 上恰有3個極值點、2個零點，則 
，解得
，即 ω 的取值范圍是 
圖2
該解法實質還是換元思想.首先根據題意作 出 y=sinx 的圖像，然后根據 x 的取值范圍 得到 
的取值范圍，進而結合正弦函數的性質 得到不等式，解不等式即可.
例5記函數 f（x）=cos（ωx+φ）（ωgt;0，0lt; φlt;π） 的最小正周期為 T .若 
a 
為f（x） 的零點，則 ω 的最小值為
由題意可知 f（x） 的最小正周期 
且
又 0lt;φlt;π ，所以 
，即 
.又
為 f（x） 的零點，所以 
Z） ，解得 ω=3+9k（k∈Z） .因為 ωgt;0 ，所以當 k=0 時， ωmin=3 ，故 ω 的最小值為3.
點 題設給出了具體的取值信息，所以考慮運用代評 數法直接求解.先表示出 T ，由 
求出 φ ，再根據 
為函數的零點，求出 ω 的取值范圍.
3小結
對于三角函數中 ω 的取值范圍問題，求解路徑有幾何法和代數法兩種，下面以正弦型函數為例，給出兩種方法的求解步驟.
1）幾何法求解步驟：a）將函數變形轉化為標準型三角函數 f（x）=Asin（ωx+φ）（ωgt;0）;1 ）換元，將ωx+φ 視為整體 Ψt ，分析 g（t）=Asint 的圖像，注意換元后新元 t 的取值范圍；c）根據圖像確定符合題意的區間范圍，從而列出 ω 的相關表達式.
求解的難點在于步驟c），區間可分為以下幾種情況.
情況1已知起點或終點，如 t∈[0，2ωπ] ，此時起點已知，只需要移動終點，找出符合題意的區間.
情況2起點（終點）的位置未知，但知道區間內存在一個確切值，如 
π），由于區間內存在一個確定值 
，則在作圖時區間一定分布在 
的左右，起點和終點在各自的左右區間內移動，此時只需找出符合題意的區間然后列不等式求解.
情況3起點和終點均未知，區間內也不存在確切值，如 
，2πω+π），起點和終點均在的右邊區間.解題時先根據題意信息得出 ω 的初步范圍，再由 ω 的初步范圍確定區間的起點和終點，最后由圖像得出 ω 的取值范圍.
2）代數法求解步驟：a）將函數變形轉化為標準型三角函數 f（x）=Asin（ωx+φ）（ωgt;0）;b） 根據對稱軸、對稱中心、零點等具體取值，列式求解，式子一般包含 k ：
對于三角函數中 ω 的取值范圍問題，無論題型如何變化，均是依托三角函數的基本知識進行命題，解題的關鍵在于對三角函數性質的深刻理解.在平時的學習中，學生只有充分掌握三角函數的周期性、單調性、對稱性等，才能靈活和高效地求解此類問題
（完）
