賞析數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化

從古代謎題到現(xiàn)代科學(xué)，數(shù)列在數(shù)學(xué)各分支及物理、生物、計(jì)算機(jī)科學(xué)等多學(xué)科中都不可或缺，深人探究數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化意義重大.角谷猜想借助簡單規(guī)則構(gòu)建數(shù)列，體現(xiàn)數(shù)列變化的規(guī)律；斐波那契數(shù)列在自然和數(shù)學(xué)領(lǐng)域頻繁現(xiàn)身，在計(jì)算機(jī)算法等現(xiàn)代技術(shù)中應(yīng)用廣泛；楊輝垛積公式可用于解決高階等差數(shù)列求和問題，古今皆有重要作用；歐拉函數(shù)反映數(shù)的互質(zhì)關(guān)系，對(duì)數(shù)論研究和密碼學(xué)意義非凡；牛頓切線法用數(shù)列迭代求解方程，在數(shù)值計(jì)算中應(yīng)用廣泛.研究數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化，有助于理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)魅力，為數(shù)學(xué)教育提供素材，促進(jìn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的融合.

1角谷猜想與數(shù)列的奧秘

例1任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1;若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈 142 1，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱角谷猜想）.參照“冰雹猜想”，提出了如下問題：設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列 {a，} 滿足 a₁=m ， a_n 為偶數(shù)，

， 若 a₅=4 ，則 Ψ_m 的取值可以為?a_n+5 ， a_n 為奇數(shù)，（ ）.

A. 1 B.3 C.6 D. 7

若 a₅=4 ，則 a4=-1 （舍）或 8，a₃=16 或3.解析 當(dāng) a₃=16 時(shí)， a₂=32 或11;當(dāng) a₂=32 時(shí)，a₁=64 或27；當(dāng) a₂=11 時(shí)， a₁=22. 當(dāng) a₃=3 時(shí)， a₂= 6，a₁=12 或1.

綜上， m∈{1，12，22，27，64} ，故符合條件的只有A，故選A.

本題考查數(shù)列相關(guān)知識(shí)，涉及根據(jù)給定的數(shù)列遞推規(guī)則進(jìn)行逆向推理和取值分析.解題的關(guān)鍵在于依據(jù)偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)的遞推公式，從已知項(xiàng)逐步逆向推導(dǎo)可能的取值.

2斐波那契數(shù)列的廣泛影響

例2斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用.斐波那契數(shù)列滿足如下遞推關(guān)系： a₁=a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*） 已知 1+a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₆₄（m∈N^*， ，則 ¹⁺ 2（a₃+a₆+a₉+…+a_3m）=.

A. a188 B. a190 C.a192 D. a 194因?yàn)?a₁+a₂=a₃，a₂+a₃=a₄，…，a_n-1+ a_n=a_n+1，a_n+a_n+1=a_n+2 ，所以將以上各式

相加得

化簡得

a₁+a₂+a₃+…+a_n=a_n+2-a₂=a_n+2-1.

由 1+a₁+a₂+a₃+…+a_m=a₆₄（m∈N^*） 可得

a₁+a₂+a₃+…+a_m=a₆₄-1，

所以 m+2=64 ，解得 m=62

因?yàn)?a_n+a_n+1=a_n+2 ，所以 a₁+a₂=a₃，a₄+ a₅=a₆，…，a_3m-1+a_3m-2=a_3m ，則

故選A.

本題考查斐波那契數(shù)列相關(guān)知識(shí)，涉及數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用以及通過等式變形進(jìn)行計(jì)算.題目基于斐波那契數(shù)列的遞推公式 a_n+2=a_n+1+ a_n ，考查學(xué)生對(duì)數(shù)列性質(zhì)的理解和利用該性質(zhì)進(jìn)行求和、求值運(yùn)算的能力.解題的關(guān)鍵在于對(duì)遞推關(guān)系進(jìn)行相加、化簡，找到各項(xiàng)和與數(shù)列某一項(xiàng)的聯(lián)系，進(jìn)而求出 Ψ_m 的值.

3楊輝垛積公式與數(shù)列

例3 （多選題）中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或高次差成等差數(shù)列.例如，數(shù)列1，3，6，10，它的前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，則數(shù)1，3，6，10被稱為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有二階等差數(shù)列{c_n} ，其前6項(xiàng)分別為4，8，10，10，8，4，設(shè)其通項(xiàng)公式c_n=g（n） ，則下列結(jié)論中正確的是（ ）.

A.數(shù)列 {c_n+1-c_n} 的公差為2B. C.數(shù)列 的前7項(xiàng)和最大D. c₂₁=-296

二階等差數(shù)列 {c_n} 的前6項(xiàng)分別為4，8，10，10，8，4，從第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差組成新數(shù)列，其前5項(xiàng)為 4，2，0，-2，-4 ，即數(shù)列{c_n+1-c_n} 是首項(xiàng)為4、公差為一2的等差數(shù)列，故 A錯(cuò)誤.

由等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式可得 故B正確.

由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 1）×（-2）=-2n+6 ，則 c₂-c₁=-2×1+6，c₃- （20 c₂=-2×2+6，…，c_n-c_n-1=-2（n-1）+6 ，累加得 （20 c_n-c₁=-2[1+2+…+（n-1）]+6（n-1）= 則

當(dāng) n?4 時(shí)，數(shù)列 {c_n} 單調(diào)遞減，且前6項(xiàng)均為正數(shù)，易知 ，所以 c_ngt;0（1?n?6） ！ c_nlt;0 （ 7），則數(shù)列 {c_n} 的前6項(xiàng)和最大，故C錯(cuò)誤.

由 c_n=-n²+7n-2 ，得 c₂₁=-296 ，故D正確.

綜上，選BD.

本題考查高階等差數(shù)列相關(guān)知識(shí)，涉及中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝提出的垛積公式中二階等差數(shù)列的概念.通過給定的二階等差數(shù)列前6項(xiàng)，考查學(xué)生對(duì)這類特殊數(shù)列性質(zhì)的理解，以及運(yùn)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式求解問題的能力.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)二階等差數(shù)列的定義，分析出數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)組成的新數(shù)列特征，再進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算.

4歐拉函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系

例4歐拉函數(shù) φ（n） 表示不大于正整數(shù) n 且與n 互素（互素：公約數(shù)只有1）的正整數(shù)的個(gè)數(shù).已知 ），其中ρ1，ρ₂，…，ρ_r 是 n 的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)（質(zhì)因數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)數(shù)），例如， 若數(shù)列 {a_n} 是首項(xiàng)為2、公比為3的等比數(shù)列，則φ（a₁）+φ（a₂）+…+φ（a_n）=

因?yàn)閿?shù)列 {a_n} 是首項(xiàng)為2、公比為3的等比數(shù)列，所以 a_n=2×3^n-1 .當(dāng) n=1 時(shí)， 當(dāng) n?2 時(shí)， a_n=2× 3^n-1 的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)為2和3，所以

則

φ（a₁）+φ（a₂）+…+φ（a_n）=1+2（1+3+

當(dāng) n=1 時(shí)， φ（a₁）=1 滿足上式，故

φ（a₁）+φ（a₂）+…+φ（a_n）=3^n-1.

本題考查等比數(shù)列與歐拉函數(shù)相關(guān)知識(shí)，涉及等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用以及對(duì)歐拉函數(shù)概念的理解.解題的關(guān)鍵在于先根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式確定 a_n ，再準(zhǔn)確找出 a_n 的質(zhì)因數(shù)，進(jìn)而運(yùn)用歐拉函數(shù)公式計(jì)算 φ（a_n） 的值，考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的綜合應(yīng)用能力.

數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化豐富多彩，角谷猜想、斐波那契數(shù)列、楊輝的垛積公式以及歐拉函數(shù)從不同角度展示了數(shù)列的魅力和應(yīng)用價(jià)值.它們不僅是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要組成部分，還對(duì)自然界、科學(xué)技術(shù)、文化藝術(shù)等多個(gè)領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響.研究數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化有利于尋求數(shù)學(xué)進(jìn)步的歷史軌跡，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣和創(chuàng)新思維.

（完）