聚焦平面向量熱點綜合題

平面向量在高中數學知識中占據舉足輕重的地位，它是溝通幾何與代數的橋梁，是解決復雜數學綜合題目的有力工具.近年來，這一知識點成為考查學生知識綜合運用能力的熱門考點.特別是與平面向量有關的問題，往往與函數、不等式、解三角形、圓錐曲線等綜合考查.要熟練解決有關平面向量的綜合問題，學生需牢固掌握平面向量的基本概念、性質以及其他重要知識點，并洞察這些知識點之間的內在聯系.

1與函數問題相結合

例1已知向量 a=（2^x-1，1），b=（1，2^1-x） ，若函數 f（x）=（a+b）?（a-b）+2，F（x）=f（x）+ ∣f（x）∣ ，則 F（x） 在[0，1]上的值域為

根據題意可知

f（x）=（2^x-1+1，1+2^1-x）?p

（2^x-1-1，1-2^1-x）+2=

2^2x-2-1+1-2^2-2x+2=4^x-1-4^1-x+2.

因為函數 y=4^x 在 上單調遞增， y=4^-x 在 上單調遞減，所以函數 f（x） 在 上單調遞增.因為 f（0）= ，所以函數 f（x） 在 （0，1） 上僅有1個零點 x₀ .當 x∈[0，x₀） 時， f（x）lt;0 ，則 F（x）=0 ：當 x∈[x₀，1] 時， f（x）gt;0 ，則 F（x）=2f（x） .因為F（x₀）=0，F（1）=2f（1）=4 ，所以函數 F（x） 在[0，1]上的值域為[0，4].

本題根據平面向量坐標運算以及平面向量數量積定義得到函數 f（x） 的表達式，進而結合指數函數有關性質判斷 f（x） 的單調性以及零點分布情況，最后分區間研究 F（x） 的值域.

2與不等式問題相結合

例2 已知〇為△ABC 的外心，若cos B （cos ，則 Σ_m 的最大值為

. 因為 cos A+2） ： 解析 ，將該等式兩邊同時乘 ，化簡整理可得

所以

則 .因為 C∈（0，π） .sin C≠0 ，所以 ，則 1又 A∈（0，π） 所以tan ，則

當且僅當 即 時，等號成立，故Σ_m 的最大值為

求解本題的關鍵是利用向量數量積的幾何意義以及三角恒等變換化簡求出參數的表

達式，進而通過弦化切將表達式統一成同名三角函數，最后利用基本不等式求得最值.

3與三角形問題相結合

例3如圖1所示，在 ΔABC 中，點 D 在線段BC 上，滿足 是線段 AB 上的點，且滿足3 ，線段 CG 與線段 AD 交于點 O

（1）若 ，求實數 χ_t 的值；

（2）如圖2所示，過點 O 的直線與邊 AB，AC 分 別交于點 E，F ，設 （ λgt;0 μgt;0） ，求 λ+μ 的最小值.

圖1

圖2

（1）由題意可知

因為 G，O，C 三點共線，所以存在實數 k 使得 ，即 2AB+kAC，則 解得 故

（2）由題意可知 由（1） 可知

因為 E，O，F 三點共線，所以 又λgt;0，μgt;0 ，所以

當且僅當 即 時，等號成立，所以 λ+μ 的最小值為

解題的核心是根據題意選擇合適的基底，將共線的向量用基底表示，進而結合平面向量的基本定理以及基本不等式求解.

4與圓錐曲線問題相結合

例4已知平面上一定點 C（2，0） 和直線 ι：x= 8，P 為該平面上一動點，作 PQ⊥l ，垂足為 Q ，且 （204號

（1）求動點 P 的軌跡方程；（2）若 EF 為圓 N：x²+（y-1）²=1 的任意一條直徑，求 的最值.

（1）設點 P（x，y） ，則 Q（8，y） .因為 ，得 ， 所以 ，化簡得 故動點 P 的軌跡方程為

（2）由于 EF 為圓 N：x²+（y-1）²=1 的任意一條直徑，故 ∣NE∣=∣NF∣=1 ，且 ，所以

由于點 P 是橢圓 上的任意一點，故 x²= 2，且-2√3≤y≤2√.又N（0，1），則PN2= 當 y=-3 時， 取得最大值20，故 的最大值為19;當 時， 取得最小值為 ，故 的最小值為 ：

本題是橢圓與平面向量數量積相結合的問題，解題時首先要根據已知向量等式化簡求出點 P 的軌跡方程，進而根據向量的數量積運算求出

表達式，最終將原問題轉化為二次函數的最值問題.（完）