新定義問(wèn)題解題策略研究

本文以2023年高考數(shù)學(xué)北京卷第21題為例，分析該題的解題思路，并總結(jié)出其一般的解題策略，希望對(duì)讀者有所啟發(fā).

1題目呈現(xiàn)

題目 （2023年北京卷21）已知數(shù)列 {a_n}，{b_n} 的項(xiàng)數(shù)均為 m （mgt;2 ，且 a_n，b_n∈{1，2，…，m} {a_n}，{b_n} 的前 n 項(xiàng)和分別為 A_n，B_n ，并規(guī)定 A₀= B₀=0 對(duì)于 k∈{0，1，2，…，m} ，定義

r_k=max{i|B_i?A_k，i∈{0，1，2，…，m}}，

其中 maxM 表示數(shù)集 M 中最大的數(shù).

（1）若 a₁=2，a₂=1，a₃=3，b₁=1，b₂=3，b₃=3 求 r₀，r₁，r₂，r₃ ：

（2）若 a₁?b₁ ，且 2r_j?r_j+1+r_j-1（j=1，2，…， m-1） ，求 r_n ：

（3）證明：存在 p，q，s，t∈{0，1，2，…，m} ，滿足_pgt;q . sgt;t ，使得 A_p+B_t=A_q+B_s ：

2 思路分析

理解數(shù)學(xué)題目的關(guān)鍵之一是將抽象的符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為具體的文字語(yǔ)言.這道題的難點(diǎn)在于理解 r_k 的定義，可以將該定義翻譯如下：“對(duì)于 0，1，…，m 中的每個(gè)數(shù) k，r_k 指的是滿足 B_i?A_k 的最大的 i .”

2.1 第（1）問(wèn)的思路分析

通過(guò)對(duì) r_k 定義的解讀，可以得到第（1）問(wèn)的解答由題意得

A=0，A₁=2，A₂=3，A₃=6; B=0，B₁=1，B₂=4，B₃=7;

r_?=max{i∣B_i?A_?，i∈{0，1，2，3}}=0， （20

r₁=max{i∣B_i?A₁，i∈{0，1，2，3}}=1，

r₂=max{i∣B_i?A₂，i∈{0，1，2，3}}=1，

r₃=max{i∣B_i?A₃，i∈{0，1，2，3}}=2. （20

2.2 第（2）問(wèn)的思路分析

求解的關(guān)鍵是如何利用條件 2r_j?r_j+1+r_j-1

（j=1，2，…，m-1） .目前要解的題目，很可能以前解過(guò)或聽(tīng)到過(guò)與之相同或相似的，學(xué)生應(yīng)努力將其與所學(xué)知識(shí)建立聯(lián)系，從而使問(wèn)題獲解.

如果將“ ? 改成“ O= ”，就得到大多數(shù)同學(xué)比較熟悉的條件 2r_j=r_j+1+r_j-1（j=1，2，…，m-1） ：

通過(guò)移項(xiàng)可得 r_j+1-r_j=r_j-r_j-1（j=1，2，…， m-1） ，所以數(shù)列 {r_n} 是等差數(shù)列.

回到原題的第（2）問(wèn)，仿照上面的解題步驟及等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法（疊加法）求解.

由 2r_j?r_j+1+r_j-1 ，得

r_j-r_j-1?r_j+1-r_j（j=1，2，…，m-1）， 即 r₁-r₀≤r₂-r₁≤…≤r_m-r_m-1，

由 a₁≥b₁gt;0 ，可知

所以 r₁-r₀?1 ，且

r_m=（r₁-r₀）+（r₂-r₁）+…（r_m-r_m-1）?m.

由定義可知 r_m?m ，則 r_m=m 且 r₁-r₀=r₂- r₁=…=r_m-r_m-1=1 ，所以數(shù)列 {r_n} 是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，故 r_n=n

2.3 第（3）問(wèn)的思路分析

第（3）問(wèn)的思維鏈條比較長(zhǎng)，我們分段敘述它的解題思路.

1）一個(gè)比較自然的想法是：將‘ B_s \"等價(jià)轉(zhuǎn)化為‘ ^?A_p-A_q=B_s-B_t ”，即“ a_?p=b_?t+1+…+b_?s， ，用文字?jǐn)⑹黾礊椤霸谶@兩個(gè)數(shù)列中，可以分別找到一組連續(xù)項(xiàng)，使得它們的和相等.\"這就是此題原型的表述方式.遺憾的是，上述轉(zhuǎn)化從結(jié)論的表述看很優(yōu)美，但從這個(gè)角度來(lái)解決問(wèn)題卻很困難.

2）題目條件中暗含著解決問(wèn)題的線索：從 r_k 的定義中“ ?_Bi?A_k ”這個(gè)不等式出發(fā)，考慮“ A-B ”型，將等式‘ \"等價(jià)轉(zhuǎn)化為“ A_q-B_t^* 二：

3）r_k 和取整函數(shù) [x] 的定義是類似的：

r_k=max{i|B_i?A_k，i∈{0，1，2，…，m}}，

從定義中觀察出性質(zhì)，這是一種基本的數(shù)學(xué)思維方法.

由取整函數(shù) [x] 的定義可得 [x]?xlt;[x]+1 類似地，由rκ的定義可得B≤Ak=m ，則 B_rk+1 無(wú)意義.

與2）中的分析結(jié)合起來(lái)，接下來(lái)分析 似乎就很合理.

4）要證：“存在 p，q，s，t∈{0，1，2，…，m} ，滿足pgt;q，sgt;t ，使得 A_?+B_ι=A_q+B_s， ，只需證：“存在p，q∈{0，1，2，…，m} ，滿足 且 A-B_rp=A_q- B_rq ”，這個(gè)轉(zhuǎn)化不是等價(jià)轉(zhuǎn)化，后面的命題是前一個(gè)命題（即要證命題）的充分條件.“要證明 P ，只需證明Q ”是一種常用的逆向思維方式.

5）由3）可知，當(dāng) r_klt;_m 時(shí)，由 得 ，從而

{0，1，…，m-1} 中有 Ψ_m 個(gè)數(shù)，而 A-B_r0，A₁- B_r1，…，A_m-B_rm 共有 m+1 項(xiàng)，所以其中必有兩項(xiàng)相等，即存在 p，q∈{0，1，2，…，m} ，滿足 ?gt;q 且A_??-B_rp=A_?q-B_rq ，結(jié)論成立.

上面的推導(dǎo)中用到了抽屜原理.

6）如果存在 r_k?m ，事實(shí)上，由定義可知 r₁? r₂?…?r_m?m ，則必有 r_m=m ， B_?m?A_?m .而5）中的前提為 r_mlt;_m .又 A_?m?rm+1?B_?m ，這提示我們變換分類討論的標(biāo)準(zhǔn)： B_m?A_m，A_mm

7）考慮簡(jiǎn)單情形：若 B_m=A_m ，則令 p=s=m ， q=t=0 ，有 A_p+B_t=A_q+B_s ，結(jié)論成立.

8）若 B_mm ，可仿照 r_k 的定義，令 r_k^′= max{i∣A_i?B_k，i∈{0，1，2，…，m}}（0?k?m） ，則r_k^′ ，與 5）中的討論類似，結(jié)論成立.

略去上面詳細(xì)的思路分析，下面給出第（3）問(wèn)完整的解答過(guò)程

若 A_m=B_m ，令 p=s=m，q=t=0 ，則 A_?+ B_?=A_?+B_s ，結(jié)論成立.

若 A_mm ，則 r_nk?r_mlt;_m ， ，所以

注意到 {0，1，…，m-1} 中有 Σ_m 個(gè)數(shù)，而 ， 共有 m+1 項(xiàng)，所以

其中必有兩項(xiàng)相等，即存在 p，q∈{0，1，2，…，m} ，滿足 且 .令 s=r_p，t=r_q ，得A_?P-B_s=A_q-B_t ，即 ，結(jié)論成立.

若 A_mgt;B_m ，令 r_k^′=max{i∣A_i?B_k，i∈{0，1} 2，…，m}}}（0?k?m） ，則 r_k^′

注意到 {0，1，…，m-1} 中有 Ψ_m 個(gè)數(shù)，而 ， 共有 m+1 項(xiàng)，所以其中必有兩項(xiàng)相等，即存在 s，t∈{0，1，2，…，m} ，滿足 sgt;t 且 .令 p=r_s^′，q=r_t^′ ，得 B_s-A_p= B_?-A_q ，即 A_?+B_t=A_q+B_s ，結(jié)論成立.

3小結(jié)

與其他試題相比，除了考查基礎(chǔ)知識(shí)與基本的數(shù)學(xué)思想方法之外，北京高考數(shù)學(xué)壓軸題更注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理能力以及在陌生情境下分析問(wèn)題、解決問(wèn)題與轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力.通過(guò)以上對(duì)2023年北京高考數(shù)學(xué)壓軸題的解題思路分析，可以總結(jié)出以下一般的解題策略，

1）理解題目.閱讀題目后要嘗試將條件中的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言翻譯為文字語(yǔ)言.在本題中，可以將 r_k 的定義翻譯為：“對(duì)于 0，1，…，m 中的每個(gè)數(shù) k，r_k 指的是滿足 B_i?A_k 的最大的 i .”

2）類比推理.由條件“ 2r_j?r_j+1+r_j-1 ”聯(lián)想到# 2r_j=r_j+1+r_j-1 \"這種相對(duì)熟悉的條件； r_k 的定義可以和 [x] 的定義類比，也可以得出類似的性質(zhì).

3）從定義中尋找基本性質(zhì).數(shù)學(xué)概念的定義表述相對(duì)簡(jiǎn)單，卻蘊(yùn)含著豐富的性質(zhì).由 [x] 的定義可知[x]?xlt;[x]+1 ；由 r_k 的定義可知

4）逆向思考.“要證 P ，只需證 Q ”是證明題中常用的一種方法，可以將不好處理的命題“ P \"轉(zhuǎn)化為相對(duì)好處理的命題“ Q ”.在本題中，先將“ ??A_P+B_t=A_q+ B_s \"等價(jià)轉(zhuǎn)化為‘ ^?A_p-B_s=A_q-B_t^? ，再（非等價(jià)的）轉(zhuǎn)化為 或 ，：

5）從條件中尋找隱藏的解題線索.壓軸題的解題思路往往比較隱蔽，但很多時(shí)候還是能從條件中找到突破口.在本題中，在嘗試“ A-A ”型和“ B-B ”型失敗之后，題目條件“ ?_Bi?A_k ”啟發(fā)我們?nèi)タ紤]“ A-B ，型或“ B-A ”型

（完）