例談與圓有關的動點問題的求解策略

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）20-0002-03

與圓有關的數(shù)學問題較為復雜，特別是與圓有關的動點問題極具有抽象性，令不少學生望而生畏.在初中數(shù)學教學中，為使學生掌握與圓有關的動點問題的突破方法，獲得解題的自信心，教師應做好相關問題的研究，將與圓有關的動點問題作為一個專題加以系統(tǒng)講解，尤其是要剖析經(jīng)典案例，幫助學生明晰不同問題的分析思路，提升學生的解題技能

1求長度的動點問題

在與圓有關的動點問題中，常常涉及線段長度或平面幾何圖形的周長，在解答此類問題時，學生首先應明確動點的運動規(guī)律，分析動點運動能夠引起哪些線段長度的變化，然后借助勾股定理構建方程解決問題.當然點的運動有時是不確定的，這就要求學生在解題的過程中，應綜合考慮各種可能情況，進行分類討論1．在教學過程中，教師可以先展示習題，預留充足時間給學生思考，讓其找到分類討論的依據(jù)，探尋分類討論的思路，從而做到胸有成竹

例1如圖1，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，以 ?? 邊長上的動點 o 為圓心， OB 為半徑作圓將△AOD沿 OD 翻折得到 ΔA^′OD ，若 _?o 過 ΔA^′OD 一邊上的中點，則 ?o 的半徑為

解析因為點 o 為動點，點 o 的位置不確定，所以 _?o 能經(jīng)過 ΔA^′OD 哪一邊的中點也不確定.針對這種情況，需要進行分類討論，因 ΔA^′OD 有三條邊，需要考慮三種可能的情況.當 _?o 過 A^′O 的中點時，其也過AO 的中點，此時OB =1 _?o 過 OD 的中點時， OD=2OB=2r，AO=2-r ，在RtΔOAD 中，由勾股定理可得 （2-r）²+2²=（2r）² ，整理得3r2+4r-8=0，解得r=2/7-2（ （負根已舍去）；當 ?o 過 A^′D 的中點時，如圖2所示， ?o 也過 AD 的中點 M ，則 AO=2-r，AM=1，OM=r. 在 RtΔOAM 中，由勾股定理可得 （2-r）²+1²=r² ，整理得 5-4r =0，從而可知r=5.

綜上可知， _?o 的半徑為

點評解答此題應把握兩個關鍵點.其一， OB 為 _?o 的半徑，意味著 _?o 過點 B ;其二，當 _?o 過ΔA^′OD 一邊上的中點時，應注意尋找對應的直角三角形，分析線段之間的關系，借助勾股定理構建方程，通過解方程即可求出 ?o 的半徑

2求角度的動點問題

在與圓有關的動點問題中，某一點的運動會形成不同的平面幾何圖形，構成不同的角度關系[2].在解答此類問題時，通常需要根據(jù)題干描述作出對應的輔助線，展現(xiàn)出形成的角度，靈活運用圓的對稱性及其他平面幾何知識，通過構建已知條件與所求結論之間的聯(lián)系分析問題.當然，針對動點不確定的情況，在教學過程中，教師可以引導學生先從簡單的情形出發(fā)，形成解題思路，再分析稍復雜的情形

例2如圖3 所示，四邊形ABCO 為平行四邊形，以 o 為圓心， oc 為半徑的 _?o 切 _AB 于點 B，F(xiàn) 為圓上一動點，作直線 AF 和 _?o 交于另一點 E. 當EF=BC 時，則 ∠OAF 的度數(shù)為

解析 根據(jù)已知條件可知 F 是 ?o 上的動點，其位置不確定，分析可知點 F 的位置大致分為兩種情形：點 F 在優(yōu)弧 上或點 F 在劣弧 上，其中“點 F 在優(yōu)弧 BC 上\"更容易作出輔助線，厘清線段與角度間的關系，易于作答，因此可以從此入手.

當點 F 在優(yōu)弧 BC 上時，連接 OB，OE，OF ，過點o 作 OG⊥EF 于點 G ，如圖4所示.由 AB 為 ?o 的切線可得 ∠ABO=90^° .由四邊形ABCO為平行四邊形可得 ∠BOC=90^°. 由 OE=OF=OB=OC，EF =BC ，得 ΔEOF?ΔBOC ，故 ∠EOC=∠BOC=90^°

圖4點 F 在優(yōu)弧 上的示意圖

因為 OG⊥EF ，所以 在 ΔAOG 中，由直角三角形的性質可得 ∠OAF=30^°. 當點 F 在劣弧 上時，同樣可得 ∠OAF=30^°

點評此題因不知道點 F 的位置，分析起來難度較大，但是可以先分析點 F 在優(yōu)弧 BC 的情況.在解題過程中，需要充分挖掘隱含條件，如連接圓心與切點的半徑與切線垂直.同時，需注重通過證明三角形全等確定線段間的相等關系，活用直角三角形性質，從而推理出 ∠OAF 的度數(shù).

3 求面積的動點問題

在與圓有關的動點問題中，求解圖形的面積并不少見[3].此類問題可以分為三種情形，一是求三角形的面積，通常需運用三角形的面積作答；二是求四邊形或多邊形的面積，此類情形一般采用分割法，將其分割成若干三角形求解；三是求復雜圖形的面積，此類情形可以通過運用割補思路分析

例3如圖5所示，半徑為2的 ?o 和坐標軸分別交于點 A，B，C，P 是 上的動點（包括端點A和B ）， AN⊥PC 于點 N，M（4，0） ，點 P 從 A 運動到 B 的過程中，線段 MN 掃過的面積為

解析 根據(jù)已知條件可知點 P 是 _AB 上的動點，運動過程中點 N 也會隨著運動，解答時需要明晰MN掃過的圖形的形狀.由圓的相關知識可以得出，MN掃過的面積并不規(guī)則，但可以從整體上進行考慮，借助相關圖形面積求解

因為 AN⊥PC ，所以點 N 在以 AC 為直徑的圓上運動.因為 OA=OC=2 ，所以 如圖6所示，當點 P 運動的過程中， MN 掃過的面積S_f 為 ΔAOM 的面積與弓形 AON 的面積之差.

易知S弓形AON"" -1.由OM=4得S△AOM ，故

點評此題創(chuàng)設的情境并不復雜，但是要求的圖形面積是由動點的運動而生成的，并未直接給出，因此，正確畫出圖形是解題的關鍵

4求范圍的動點問題

在與圓有關的動點問題中，求線段長度、面積大小、周長等參數(shù)范圍主要有兩種思路：一是運用幾何知識確定點的關鍵位置，然后確定參數(shù)的范圍；二是通過數(shù)形結合構造二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的性質得出參數(shù)的取值范圍[4].

例4如圖7所示， ΔABC 是邊長為3的等邊三角形， ?A 的半徑為 ^1，D 為 BC 上一動點， DM，DN 分別切 ?A 于點 M，N，?A 的另一條切線交 DM，DN 于點 E，F(xiàn) ，則 ΔDEF 周長 l 的取值范圍是

解析連接 AM，AD ，設 EF 和 ?A 的切點為點G ，如圖8所示.根據(jù)題意， DM，DN 均是 ?A 的切線，則 DM=DN. 由 EF 為 ?A 的切點，得 EM=EG，F(xiàn)G =FN ，則 l=DE+DF+EF=2DM. 又 AM⊥DM ，得ΔDAM 為直角三角形，所以 ，則 ，此時問題轉化為求AD 的最小和最大值.由于 ΔABC 是等邊三角形，則當 AD 是邊 BC 邊上的高時最小，此時在直角 ΔABD 中由勾股定理可得 當點 D 和點 C 或點 B 重合時 AD 最大，此時 AD²=9 從而可得 l 的取值范圍為

點評此題難度并不大，主要考查轉化思想和數(shù)形結合思想，借助轉化思想達到了化難為易，化復雜為簡單的目的；借助數(shù)形結合思想，明確了 AD 的最大及最小值，為后續(xù)計算奠定了基礎.

5 結束語

綜上，在解答與圓有關的動點問題時，可以從關鍵點和關鍵位置入手尋找突破，必要時可以通過畫圖形成清晰的模型，為問題解決創(chuàng)造條件

參考文獻：

[1］鄒騰.運用“動靜結合”策略解初中數(shù)學平面幾何動點問題的探究[J].數(shù)學學習與研究，2024（7） ：149 -151.

[2]郝占峰.規(guī)不正，不可為圓：以初中數(shù)學“圓”的解題為例[J].中學數(shù)學，2023（22）：74-75.

[3］李凱.初中數(shù)學圓中最值問題的解題方法探討[J].數(shù)理天地（初中版），2024（19）：71-72.

[4］秦海燕.初中數(shù)學動點問題的分類和解題思路探究[J].中學數(shù)學，2023（6）：81-83.

[責任編輯：李慧嬌]