追本溯源 拾級而上 成之自然

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出要強化對數學本質的理解.關注數學知識的產生與來源、結構與關聯、價值與意義，確立以核心素養為導向的教學目標.通過設計富有思維含量的探究活動，引導學生在實踐、探究、體驗、反思等學習過程中感悟數學基本思想，積累基本活動經驗.本文以“探索勾股定理”為例進行闡釋，不當之處，敬請指正.

1教材解析

本課是魯教版初中數學七年級上冊第三章“勾股定理”章節起始課.勾股定理是平面兒何有關度量的最基本定理，它從邊的角度進一步刻畫了直角三角形的特征，揭示了三角形中最重要的“數\"與“形\"的關系.教材設計了大量的探究、驗證活動，提供了多種勾股定理的證明方法，內容豐富，從特例入手發現定理，強調動手操作與推理論證，探索味濃厚.

2學情分析

在六年級“平面圖形的認識”的學習中，學生已經掌握了在網格紙中作垂線、平行線及計算格點多邊形面積的基本技能，具備一定的幾何直觀能力和構圖能力，思維逐步從經驗型轉向邏輯型.但七年級學生思維偏感性和直觀，探索問題的角度和方法比較隨意，需要教師進一步引導.

3教學分析

本節課的教學目標：

（1）經歷操作、發現、猜想等探索活動，發現勾股定理.培養發現問題、提出問題的能力，發展幾何直觀和模型觀念素養.

（2）經歷驗證、推理、計算等探索活動，證明勾股定理.培養分析問題、解決問題的能力，發展數學抽象和邏輯推理素養.

本節課的教學重點是探索并發現勾股定理，難點是證明并運用勾股定理.

4教學過程

4.1環節一：創設情境，引入新知

科學家曾在1977年發射“旅行者1號\"空間探測器，其主要任務是探索太空中是否存在新的生命.其中飛船把“勾股定理\"這一文明成果發射到了外太空，作為人類和外星生命溝通交流的信號.讀完這段材料你有何感想？

設計意圖：通過一段科學史話，開門見山引出本節課的學習主題.一方面說明勾股定理的重要性，另一方面激發學生的探究欲望和學習興趣，為接下來的探究做好準備.

4.2環節二：建構活動，探究新知

4.2.1活動1：格點構圖

任務1：請在網格紙中畫出不同的正方形（正方形頂點需在網格紙格點上）.

（學生依托網格紙中的橫線和豎線，容易畫出橫平豎直的正方形，如下圖1（1）.對于圖1（2）中的斜正方形，則需進一步引導后畫出.）

圖1

思考：對于剛剛畫出的正方形，你能求出它的面積嗎？

設計意圖：勾股定理的研究對象是直角三角形的三邊關系，但若直接將研究對象拋給學生，會顯得突兀生硬[1].本環節以學生非常熟悉的正方形為切入點，引導學生畫出不同的正方形，順勢提出求解正方形面積這個問題，對于圖1（1）中的面積容易求解，如何求解斜正方形面積是難點，從而自然引出活動2.

4.2.2活動2：面積巧解

任務2：如何求出所畫斜正方形的面積？（學生依托網格能夠想到通過“割\"或“補\"的方法“化斜為直\"求解斜正方形面積（如下圖2）.但具體如何“割\"或“補\"則需動手操作嘗試.）

圖2

思考：通過割或補將斜正方形分成了哪幾個圖形？這些圖形有什么關系？

設計意圖：在網格中求面積的問題學生較為熟悉，大部分學生都能利用“割”或“補”的方法求解，而“割補”形成的兩個圖形恰好對應著中西方證明勾股定理的兩個重要方法，即趙爽弦圖證法和畢達哥拉斯證法.同時，學生的眼光也由此慢慢聚焦到正方形中的四個全等直角三角形上，為后續進一步探究直角三角形的三邊關系搭建好了思維腳手架，也為證明勾股定理埋下了種子[2].

4.2.3活動3：規律探尋

任務3：通過“割\"或“補\"得到了四個全等直角三角形，請將求解過程中直角三角形的兩條直角邊長以及對應正方形的面積填寫到表中.

（由于每人所畫斜正方形大小不一，應引導學生通過小組合作方式盡可能多地收集數據填入表中，以便更好地觀察和發現規律.填表結果如表1所示.）

思考：觀察表中數據，你發現了什么規律？

追問：正方形的面積與直角三角形的哪條邊存在什么樣的關系？

表1

設計意圖：通過求解正方形的面積，學生能夠發現直角三角形的兩直角邊與正方形面積的數量關系.進一步追問正方形面積與直角三角形斜邊的關系，皆在巧妙引出直角三角形的斜邊.正方形面積等于其邊長的平方，而正方形的邊長恰好是直角三角形的斜邊長，故正方形面積等于直角三角形斜邊的平方，至此自然揭示出直角三角形三邊之間的數量關系，從而使勾股定理的發現水到渠成.學生在觀察猜想過程中發展了邏輯推理和數據分析能力.

4.2.4活動4：結論證明

任務4：通過猜想我們知道，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，請寫出它的符號語言并予以證明.

（如果證明存在困難，可以引導學生從剛剛求正方形面積的方法中探尋思路.）

追問：你還有其他證明方法嗎？觀察思考不同證明方法之間有什么共同點？

設計意圖：本環節引導學生跳出網格，將發現的結論用更具一般意義的字母來表示，體現了從特殊到一般的數學思想.經過前邊三個探究活動的經驗積累，學生能夠意識到“二次計算面積建立等量關系”是證明勾股定理的關鍵所在.本環節實現了從具象發現到抽象證明的的跨越，學生數學抽象能力得到了發展.通過勾股定理不同證明方法之間的對比，既彰顯出中西方數學文化的多樣文明和璀璨發展，又刻畫出勾股定理證法的內在一致性，體現出數學大道至簡的深刻內涵.

4.3環節三：活學活用，拓展新知

思考：剛才探索和證明了直角三角形中三邊之間的數量關系，該數量關系在非直角三角形中仍然成立嗎？

設計意圖：勾股定理作為一個重要的幾何定理，它的功能是多方面的.由它出發延伸下去，可以是余弦定理，也可以是三角函數、無理數，甚至是方程 xⁿ+ yⁿ=zⁿ 的正整數解問題.雖然學生目前不能解決這些問題，但是它們都像一粒粒種子一樣，埋在學生思維的深處等待著被喚醒.

4.4環節四：反思總結，素養提升

（1）本節課我們是如何探索勾股定理的？（2）在探索過程中用到了什么樣的數學思想？這些思想方法在探究過程中發揮了怎樣的作用？（3）回到本課引人部分，你能說說為什么選擇勾股定理作為人類與外星生命溝通的語言嗎？

設計意圖：通過總結反思，引導學生厘清本節課的探究路徑，促使學生明晰幾何定理學習的一般思路和方法，為以后學習新的知識提供參考和借鑒.同時提煉探究過程中用到的數學思想，引導學生感悟數學思想方法在數學探究過程中所發揮的重要作用.最后回扣本課引入部分，使學生真正認識到勾股定理是人類發展過程中的重要文明成果，其承載了極其豐富的數學文化價值.

5思考感悟

5.1追本溯源把握本質，巧妙突破教學難點

教師在勾股定理教學中常常會有這樣的困惑：如何引導學生順其自然地發現勾股定理，如何引導學生水到渠成地想到勾股定理的證明方法？筆者通過查閱史料發現，勾股定理的發現偶然之中蘊含著必然，勾股定理的證明紛繁之中歸于至簡.為此，本節課溯本求源抓住“面積”這個本質核心，選擇與勾股定理“形結構\"關系密切的正方形作為研究切入點，在求解面積過程中將正方形自然分割成直角三角形，通過探尋直角三角形兩直角邊長和正方形面積之間的數量關系，巧妙發現勾股定理，最后借助生成的弦圖順其自然證得勾股定理.

5.2拾級而上突破藩籬，有效培育核心素養

本節課學生循著探究路徑拾級而上，由淺入深突破知識和方法的藩籬，注重核心素養的培育.在發現階段，通過觀察操作、猜想歸納得出結論，該過程培育了幾何直觀、數據觀念核心素養，意在引導學生用數學的眼光觀察現實世界.在證明階段，通過類比遷移、邏輯推理證明結論，培育了數學抽象、邏輯推理和模型觀念素養，皆在引導學生用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界.在探索過程中啟發學生以數刻形，見形思數，真正感悟到勾股定理是用代數思想解決幾何問題的重要工具，也是數形結合思想的重要紐帶.

5.3成之自然追求簡約，綻放數學生長之美

追求數學知識的自然生成，刻畫數學背后的簡約規律，綻放數學生長之美是數學教學的永恒追求.本節課努力營造最近聯想的自然性，堅持前后一致的必然性，揭示本質貫通的超然性[3].從一般三角形三邊之間的不等關系自然過渡到直角三角形三邊之間的等量關系，這刻畫出“三角形角的變化導致邊之間數量關系變化\"這一簡約而又深刻的規律.由此自然生長，引出非直角三角形中三邊平方關系是否依然成立這個問題，引導學生思考一般三角形的邊角關系，體現出由一般到特殊、再由特殊回歸一般的數學研究規律，同時為后續學習銳角三角函數、余弦定理做好了鋪墊。