巧用公共陰影部分求圖形面積倍數(shù)及組合圖形總面積

把一個(gè)整體平均分成若干份，其中的一份或幾份與整體之間的關(guān)系可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。例如：把1塊蛋糕平均分成3份，其中的1份就是整塊蛋糕的 ；把8支鉛筆平均分成4份，其中的6支鉛筆就占所有鉛筆的 。

如果給一個(gè)圖形的某些部分涂上陰影，同樣也可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示涂色部分與整個(gè)圖形之間的關(guān)系。今天我們就一起用“份數(shù)法”來(lái)破解“重疊之謎”吧！

下面讓我們通過(guò)幾道例題來(lái)具體研究

題目

如圖，圖中陰影部分面積占長(zhǎng)方形面積的 占正方形面積的 。長(zhǎng)方形的面積是正方形面積的幾倍？如果長(zhǎng)方形的面積是80平方厘米，整個(gè)圖形組的面積是多少平方厘米？

小馬虎的答案：

80÷2=40 （平方厘米）40+80=120 （平方厘米）答：長(zhǎng)方形的面積是正方形面積的2倍，整個(gè)圖形組的面積是120平方厘米。

小馬虎的想法：

陰影部分的面積占長(zhǎng)方形面積的 ，占正方形面積的 。長(zhǎng)方形的面積可以看成8份，正方形的面積可以看成4份，所以長(zhǎng)方形的面積是正方形面積的2倍，整個(gè)圖形組的面積就是長(zhǎng)方形的面積加上正方形的面積。

小朋友們，你們覺(jué)得小馬虎的想法對(duì)嗎？

根據(jù)題意，陰影部分的面積是長(zhǎng)方形面積的 ，也就是說(shuō)，長(zhǎng)方形被平均分成8份，陰影部分占其中的1份；陰影部分的面積又是正方形面積的 ，也就是說(shuō)，正方形被平均分成4份，陰影部分占其中的1份。

由此可知，以陰影部分為標(biāo)準(zhǔn)，長(zhǎng)方形有這樣的8份，正方形有這樣的4份，所以長(zhǎng)方形的面積是正方形面積的2倍。

而整個(gè)圖形組有幾份呢？是不是長(zhǎng)方形的份數(shù) + 正方形的份數(shù) =12 （份）？

關(guān)鍵點(diǎn)還是陰影部分：它既是長(zhǎng)方形的一部分，又是正方形的一部分，只能數(shù)一次。所以，整個(gè)圖形組共有11份。

先算出陰影部分的面積，圖形組的面積就是陰影部分的面積 ×11 。

正確答案

8÷4=2 80÷8=10 （平方厘米）10×（8+4-1）=10×11=110 （平方厘米）答：長(zhǎng)方形的面積是正方形面積的2倍，整個(gè)圖形組的面積是110平方厘米。

方法總結(jié)

通過(guò)“陰影份數(shù) 1”建立橋梁，利用分?jǐn)?shù)意義求出兩個(gè)圖形的份數(shù)，再結(jié)合“去重疊”計(jì)算總面積。

1.定橋梁：設(shè)陰影部分面積為1份，根據(jù)分?jǐn)?shù)意義，求出長(zhǎng)方形和正方形的總份數(shù)。陰影面積占長(zhǎng)方形面積的 長(zhǎng)方形面積為8份，正方形面積為4份，“去重疊”后，總份數(shù)是 8+4-1=77 （份）。

2.求倍數(shù)：長(zhǎng)方形的份數(shù) ÷ 正方形的份數(shù) Σ=Σ 倍數(shù)（如8÷4=2 ）。

3.算總面積：先求1份的實(shí)際面積（如長(zhǎng)方形面積為80平方厘米 1 份為10平方厘米），再用總份數(shù)計(jì)算總面積，10×17=170 （平方厘米）。

解決圖形中的重疊問(wèn)題時(shí)，一定要記得：重疊部分只能算一次！

小朋友們，你們能用剛剛學(xué)到的新方法來(lái)解決下面的問(wèn)題嗎？檢驗(yàn)一下自己的學(xué)習(xí)效果吧！

題目2

圖中陰影部分是2個(gè)長(zhǎng)方形的重疊部分。陰影部分是小長(zhǎng)方形的 ，是大長(zhǎng)方形的 ，是整個(gè)圖形的（

題目分析

本題主要涉及分?jǐn)?shù)的概念，即把一個(gè)整體“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)。我們需要分別確定小長(zhǎng)方形、大長(zhǎng)方形以及整個(gè)圖形被平均分成的份數(shù)，再看陰影部分占其中的幾份，從而得出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。

步驟一：求陰影部分是小長(zhǎng)方形的幾分之幾

首先看小長(zhǎng)方形，仔細(xì)觀察就能發(fā)現(xiàn)，它被平均分成了6份，而陰影部分恰好是這6份中的1份。把小長(zhǎng)方形當(dāng)作一個(gè)完整的整體，那陰影部分占小長(zhǎng)方形的多少呢？就是1除以6，也就是

步驟二：求陰影部分是大長(zhǎng)方形的幾分之幾

接著看大長(zhǎng)方形，大長(zhǎng)方形被平均分成了8份，陰影部分同樣是其中的1份。把大長(zhǎng)方形看作一個(gè)整體，1除以8，陰影部分占大長(zhǎng)方形的

步驟三：求陰影部分是整個(gè)圖形的幾分之幾

最后看整個(gè)圖形，它是由小長(zhǎng)方形和大長(zhǎng)方形組合而成的。小長(zhǎng)方形有6份，大長(zhǎng)方形有8份。但是要注意，這里面有1份是重疊的。所以整個(gè)圖形的總份數(shù)就是6加上8再減去1，等于13份，而陰影部分是1份。1除以13，陰影部分占整個(gè)圖形的。

小朋友們，一定要注意：陰影部分既是小長(zhǎng)方形的一部分，又是大長(zhǎng)方形的一部分，只能數(shù)一次。

用分?jǐn)?shù)表示陰影部分看似有些難度，實(shí)則有很多靈活變通的方法，能夠化繁為簡(jiǎn)，讓我們更清楚、更直觀地看到整體與部分之間的關(guān)系。

最后，用今天學(xué)習(xí)的知識(shí)，試著解決下面的問(wèn)題吧?？纯醋约菏欠裾莆樟擞梅?jǐn)?shù)表示部分與整體之間關(guān)系的知識(shí)。

題目3

圖中陰影部分是2個(gè)正方形的重疊部分。陰影部分是小正方形的 ，是大正方形的 ，是整個(gè)圖形的

我的解答：

小朋友們，解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住陰影部分這個(gè)公共量，通過(guò)分?jǐn)?shù)關(guān)系，將長(zhǎng)方形和正方形的面積轉(zhuǎn)化為相同的“份數(shù)”，再利用容斥原理計(jì)算總面積。重點(diǎn)理解“部分占整體的幾分之幾中“整體”的不同，以及重疊面積的去重方法。