探究實際生活中與圓相關的綜合問題

1引言

“圓”作為初中數學中的重要幾何圖形之一，其與人們的日常生活有著密不可分的聯系.由于實際生活中與圓相關的綜合問題，常常涉及圓的性質定理等多個知識點，以及較為復雜的幾何圖形關系，這就導致學生在解決此類問題會遇到了一定的阻力，因此熟練掌握相關的數學知識是關鍵所在.

2 例題呈現

圖1為對心曲柄滑塊機構，圖2為對心曲柄滑塊機構運動的模型示意圖，滑塊 B 和曲柄 OA 的端點 O 在一條直線上，曲柄 OA 從 OC 開始繞回轉中心O 逆時針整周轉動的過程中，連桿 AB 使滑塊 B 在直線 OB 上往復運動.直線 OB 與圓 O 交于點 C 和點D （點 D 在點 c 的左側），連桿AB在運動過程中與圓 O 的另一交點是點 E ，曲柄 OA 的長度是 8dm .當連桿 AB 與圓 O 相切時，點 c 剛好是 OB 的中點.試求：

（1）連桿AB的長度；（2）當曲柄 OA 轉動使得 AB 首次與圓 O 相切時，滑塊 B 在直線 OB 上移動的距離；（3）如圖3所示，當曲柄 OA 轉動，首次使得 AB =3BE 時，曲柄 OA 掃過的面積.

3解題思路

分析 本題考查的知識點是二次函數的應用.

（1）首先，根據題目中的已知條件，明確連桿AB與圓 O 相切時點 C 的位置；然后，利用中點和等邊三角形的性質，判斷出 ΔAOC 的類形；最后，結合正切函數與等邊三角形的性質，即可計算出連桿AB的長度.

（2）結合幾何關系，即可求算出滑塊 B 在直線OB上移動的距離.

（3）首先，利用已知條件和幾何關系，求算出BE和OD的長度；然后，結合相似三角形的性質和幾何關系，建立方程并求解出BC的長度，同時求算出OB的長度；最后，再結合勾股定理和直角三角形的性質，即可計算出曲柄OA掃過的面積.

解析（1）當曲柄OA轉動使得連桿AB與圓O 相切時，此時 OA⊥AB ，如圖4所示，連接 AC

因為點 c 是 ?OB 的中點，

所以在 RtΔOAB 中， AC=OC=BC 又因為 OA=OC .所以 AC=OC=AO .

所以 ΔAOC 是等邊三角形，

則 ∠AOC=60^°

因為 所以

（2）當曲柄 OA 未開始轉動時， O，A，B 三點共線，如圖5所示，點 B 在點 B^′ 的位置，點 A 在點 A^′ 的位置，

此時 ：

當曲柄 OA 轉動使得 AB 首次與圓 O 相切時，由題（1）可知 OB=2AO=16 業所以 8.綜上所述，滑塊 B 在直線 OB 上移動的距離是 ：

（3）如圖6所示，連接 CE，AD 因為 AB=3BE ，由題（1）可知 ，所以

又因為 OA=8 ，所以 OD=OC=8 ，CD=16 因為四邊形ADCE是圓 O 的內接四邊形，所以 ∠CEB=∠D ：又因為 ∠B=∠B ，所以 ΔCEB 與 ΔADB 相似，所以 ，自 可解得 （已舍去負值），所以 在 ΔAOB 中，

所以，由勾股定理逆定理可得知， ΔAOB 是直

角三角形，即 ∠AOC=90^° ·綜上所述，可求得曲柄 OA 掃過的面積是：

4結語

本文通過對一道例題的深入剖析，詳細地展示了如何將圓的性質、勾股定理等知識點應用到解決實際問題中.在解決實際生活中與圓相關問題的過程中，不僅加深了學生對相關數學知識內容的理解，還極大地激發了學生對數學學科的學習興趣，同時還鍛煉了學生的邏輯思維能力和問題分析能力.