“圓與圓的位置關系”教學與思考

摘 要：教師通過熟悉的“超市配送范圍”問題，讓學生了解“圓與圓的位置關系”的現實背景，并結合情境清晰地描述圖形的幾何特征以引出課題，進而給出代數方法解決幾何問題的思路；在兩圓位置關系的探究與判定中，精心設計學生活動，讓學生深度參與到課堂中；充分發揮信息技術的作用，向學生演示數量關系式與幾何特征的對立統一。

關鍵詞：生活情境；GeoGebra平臺；數形結合

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）15-0017-03

收稿日期：2025-02-25

作者簡介：畢巧艷，碩士，中小學一級教師，從事高中數學教學研究。

圓與圓的位置關系是初高中皆涉及的教學內容。初中時，學生已經學習過相關概念，能根據兩圓心距離d與兩半徑r1，r2的

數值關系來判斷兩個圓的位置關系。而《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課標》）指出：能根據給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關系；能用直線和圓的方程解決一些簡單的數學問題與實際問題。可見，《課標》將重點放在了“依據方程判定兩圓位置關系”上，突出“通過數量關系來刻畫兩圓之間的位置關系”。“代數方法解決幾何問題”是平面解析幾何的基本思路，學生在學習直線與直線、直線與圓的位置關系中已經有所認識，本節課既是“用數量關系式刻畫幾何關系、方程組法解決幾何關系”的延續也是發展，為圓錐曲線的學習奠定基本的研究思路。

本課通過師生都非常熟悉的“超市配送范圍”問題，充分發揮信息技術的作用，在數量關系式與幾何特征的對立統一、在“數”與“形”中的多次聯系對應中，自主建構立起“數與形”的雙重表征，推進數形結合的深度理解。

1 教學實踐

1.1 生活情境提煉問題，數學建模導引課題

問題情境 隔壁超市閉店了，于是找到一家可以送貨上門的超市，但居住地與超市間相距4.1千米，而超市的配送范圍是3.5千米，請同學們幫著分析一下，怎樣才能購買到必需的生活用品？

《課標》倡導通過實例了解問題背景，圓與圓的位置恰是生活中會經常碰到的問題，超市配送也是每個家庭都會關注的問題，以此引入更能帶動學生的積極性。師生共同分析可以買到東西的方案，在分析的過程中，教師可以作兩個方向的引導：一是將本人的活動路徑定位為小區前面的一條路，那么能否配送到位就轉化為路所在的直線與最遠配送路徑圓（以超市為圓心，3.5千米為半徑的圓及其內部）的位置關系問題；二是用戶可以自由選擇方向，但是所走的范圍有限（如最多走1千米），從而只要考慮用戶的足跡圓（以用戶為圓心，以1千米為半徑）與配送路徑圓是否有重疊。

問題1 這個問題涉及了哪些數學知識？能否提煉出其中所包含的數學問題？能否找到合適的數學語言來刻畫這個問題？解決這個問題需要應用到哪些數學知識？

針對這些問題，引導學生分析關鍵條件，畫出示意圖，將實際問題轉化為幾何問題；在分析解決問題的過程中，復習點與圓、直線與圓的位置關系；當學生結合圖象提出“考查直線與圓、圓與圓有公共部分”時，指出不能只靠直觀判斷，要探尋更可靠、更準確的數學方法。

問題2 判定直線與圓位置關系的可靠方法是什么？

學生：建立坐標系得到方程后，

判斷直線與圓的位置關系

通常有兩種方法：一是聯立直線與圓的方程，消元得到二次方程，通過判斷其解的個數來確定；二是結合圖形，計算圓心到直線的距離d，根據d與圓的半徑r的大小關系來確定。

教師：建立平面直角坐標系，將幾何圖形坐標化代數化，是解決平面幾何問題的有力方法。

教學說明通過實例引入圓與圓的位置關系這一課題，讓學生在分析問題中，體會從數學的視角觀察世界、用數學的語言描述世界的過程，從而培養其提出、分析、解決問題的能力。學生通過直觀想象和代數運算得出結果后，教師應引導學生從圖象進行幾何解釋，使其完整經歷生活問題數學化、幾何問題代數化的完整過程。

1.2 技術支持實驗操作，直觀感知構建新知

問題3 能否類比直線與圓位置關系的研究方法，探討兩圓位置關系的判定方法？

師生回顧直線與圓的研究方式：讓一個圖形固定，另一圖形運動（即圓定直線動或圓動直線定），考查在變化過程中直線與圓的位置關系，借助GeoGebra軟件創設一組情境（圖1）來動態展示直線與圓的位置關系。由學生操作GeoGebra軟件，拖動改變圓心或半徑，在變化的過程中引導其他同學觀察并總結兩圓的位置關系，建立五種位置關系的整體印象;在畫出五種位置關系示意圖的基礎上，引導學生逐一分析每種位置關系對應的數量特征，并借助GeoGebra軟件中的計算命令，將上述的數量特征一一證實［1］。

教學說明 平面解析幾何的基本思想是借助“數”與“形”之間的對應聯系來處理問題，如找到平面曲線的方程后實現“形”到“數”的轉換，這顯然與GeoGebra軟件是高度契合的，在GeoGebra輸入框中輸入方程在繪圖區中即能看見圖形，而繪圖區內繪制圖形后代數區中即能顯示方程，在這樣的“數”與“形”的雙重表征下，學生很容易建立起數形對立統一的印象。GeoGebra對于直線與圓位置關系的直觀動態展示更利于幫助學生建立動態直觀、整體關聯的數學認知，從而為探究圓與圓的位置關系提供概念形成的先行組織者。

問題4

判定兩圓位置關系還有其他方式嗎？

學生：聯立方程，通過消元（消去y）得到關于x的一元二次方程；當Δgt;0時，方程組有兩個解，也就是兩圓有兩個公共點，兩圓相交；當Δ=0時，方程組有一個解，也就是兩圓有1個公共點，兩圓相切；當Δlt;0時，方程組沒有解，兩圓沒有公共點。

追問：當公共點個數為0或為1時兩圓是什么位置關系？

學生：方程組解的個數并不能完全確定兩圓是內切還是外切，也沒辦法區分內含還是外離，所以還是要結合圖形以及圓心距與兩半徑的關系來進行判定。

問題5 這兩個方法各有什么優缺點？

學生：數形結合的方法能夠準確判定兩圓位置關系，計算也較方便，然而解方程組的方法可以求出兩圓公共點的坐標，這是幾何法所無法做到的。

教學說明 借助GeoGebra的直觀演示、動態生成功能，將兩圓的各種位置關系直觀展現（如圖2），讓學生在動態演示中觀察、探索、猜想、驗證，通過類比歸納、合作交流，

獲得知識并參與發現過程。

1.3 自主活動引領探索，數形轉換促進理解

以小組為單位，一位同學出題（給出兩個圓方程），其他同學來判斷兩圓的位置關系。小組交流后推選一組全班展示，借助GeoGebra軟件快速繪圖，通過GeoGebra的驗算推證學生回答的正誤，讓學生直觀感受方程和幾何關系的對應聯系。

組1 圓C1：（x-1）2+（y-2）2=2與C2：（x-3）2+（y-4）2=2，如果選用數形結合法，可得圓心距為22，兩圓半徑之和為22，兩圓外切；當然也可以解方程或繪圖，但數形結合的方法最合適。

組2 圓C1：x2+y2=1與C2：x2+y2-100x+2y=0，圓心距為2 501，兩半徑之和為1

+2 501，兩半徑之差為2 501-1，兩圓應該是相交，繪圖可能更方便，因為圓C2過原點。

組3 圓C1：x2+y2=1與圓C2：x2+y2=10，因為兩圓的圓心相同，圓心距為0，所以圓心距一定小于半徑之差，于是兩圓內含。

教學說明 學生能逆向思考，比如構造兩個圓外切的確定的位置關系，如外切，那就要思考如何取圓心和半徑來滿足條件，這個過程深化了學生對圓與圓的位置關系的認識。學生紙筆運算結合GeoGebra結果展示再次體現方程與圖形的對立統一。

1.4 逆向思考聚焦相切，數形聯通深刻認識

問題6 能否選擇合適的圓心坐標或者半徑使圓C1與圓C2是外切的，是內切的？

例1 （1）圓C1：x2+（y-1）2=4與圓C2：x2+（y+2）2=兩圓相切？

（2）圓C1：x2+（y-1）2=4與圓C2：（x-1）2+（y-）2=1何時相切？

教學說明 通過“數”與“形”的相互轉化，可以保證抽象代數問題也有著直觀形象的呈現，如學生在兩圓內切的列式求解中，很容易忽略兩半徑之差的“絕對值”而導致漏解，而有了圖形作參考，學生自然會主動發現自己的失誤。

例2 求過點A（0，6）且與圓C：x2+y2+10x+10y=0切于原點的圓的方程。

本例的難點在于學生不知如何列式，也不知道到底是內切還是外切，原因是頭腦中沒有想象出適合條件的圓。教師可以順勢引導學生回顧幾何問題的解決方法：一是直接列關系式進行計算；二是繪制兩圓相切的圖形，從圖形中感受位置關系，從而幫助學生聚焦外切情形解決問題，進一步將學生的解題過程進行實物投影，并帶著學生一起剖析、欣賞優秀解法。

1.5 工具優勢拓展課堂，技術支持自主學習

問題7 例1和例2研究的都是兩個圓的相切關系，那么接下來我們還可以再研究兩圓位置關系中的什么問題？你能否設計出一些研究方向呢？

學生設計的研究方向很多，如兩相交圓的公共弦長問題、公共弦所在直線方程、兩圓的公切線、兩個外離的圓上點的最短距離等。教師利用GeoGebra軟件將學生的猜想即時呈現，如圖3，針對公共弦CD問題，可以通過快速制圖和即時測算為猜想提供數據支持。

教學說明 讓學生自己設計知識學習的路徑，嘗試從設計者的角度去參與學習，而不只是簡單地接受教師給定的學習內容，這樣的設計無疑可以最大程度地激發學生的學習創造性，同時也可以反向拓展數學問題的研究思路。GeoGebra軟件能即刻生成所需要的圖象與數據，將師生從繁瑣的計算和繪圖中解放出來，使得師生能更加專注于關鍵知識的感知與思考上；同時，學生的突發靈感也可以得到及時的反饋與驗證，這對學生而言是莫大的鼓舞，他們會敢于去想象、去表達，從而感受到思考與探究的真正樂趣。

2 結束語

基于《課標》，本課設計時主要突出以下幾個方面：

（1）通過實際情境，分析蘊含其中的數學問題，抽象得出幾何關系，從而落實數學抽象、直觀抽象和數學建模等學科核心素養。

（2）學習過程中注重學生的主動參與。在應用所學知識判定兩圓位置關系時，教師不只是給出方程讓學生列式，或者聯立方程組來簡單計算，而是真正地把學生納入到教與學的過程中，讓學生自主出題，自己選擇方程形式，在逆向思考中考查兩圓外切的構造條件，這個過程也是把學生對于圓與圓的位置關系的探究引向更深入的過程。

（3）技術應用助力數形聯通。動態呈現助力學生構建動態直觀、整體關聯的知識結構，從而推動對知識之間的橫向和縱向的聯系［2］。

參考文獻：

［1］ 胡云飛。“教什么”和“怎么教”是課堂教學落實核心素養的關鍵維度：以“直線與圓的位置關系”為例[J]。數學通報，2019，58（11）：33-37。

[2] 王永輝。依據標準深度學習探究建模落實素養：以“圓與圓的位置關系”為例[J]。中學數學教學參考，2021（06）：22-25。

［責任編輯：李慧嬌］