單元整體教學(xué)下推理素養(yǎng)的培養(yǎng)

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容“數(shù)的運算”中，“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)”是其中重要的內(nèi)容。整數(shù)除法，既是表內(nèi)除法的自然延伸，又是學(xué)生學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)乃至更多位數(shù)除法的基礎(chǔ)，起著承上啟下的作用。“商中間有0的筆算除法”這一內(nèi)容，以小學(xué)表演團體操的生活情境為素材，引出商中間有0的除法。從教材編寫來看，本節(jié)課的教學(xué)重點是引導(dǎo)學(xué)生在具體操作活動中理解商中間有0的筆算除法的算理，探索列豎式計算的合理程序。

一、單元整體分析

“商中間有0的筆算除法”是人教版數(shù)學(xué)三年級上冊“除數(shù)是一位數(shù)的除法”中的內(nèi)容。

本單元內(nèi)容分三段：第一段教學(xué)整十?dāng)?shù)（含幾百幾十）和整百數(shù)除以一位數(shù)的口算，首位或首兩位能夠整除的兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算，以及除法的驗算；第二段教學(xué)首位不能整除和不夠除的兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算；第三段教學(xué)商中間或末尾有0的除法。在除法計算中，遇到某一位商是“0除以一個數(shù)”，或在求出商的最高位數(shù)后，遇到被除數(shù)的某一位比除數(shù)小，這時需要在商里寫0占位。商中間或末尾有0的除法的學(xué)習(xí)，一方面需要學(xué)生對三位數(shù)除以一位數(shù)的步驟與方法非常熟練，另一方面需要學(xué)生根據(jù)具體情況做出是否需要商0的選擇。

二、實踐中的問題

筆者在教學(xué)這課時發(fā)現(xiàn)，班上學(xué)生在學(xué)習(xí)商中間有0的筆算除法時，錯誤率很高。主要出現(xiàn)以下幾種錯誤。

（一）商空位

如計算 428÷4 時，學(xué)生知道被除數(shù)中的2不夠除，但商的十位上沒有商0，直接把 28÷4 得到的7寫在個位上。

（二）商錯位

如計算 428÷4 時，有學(xué)生把7寫在十位上，商的個位添了0，變成 170 。

面對學(xué)生出現(xiàn)的這些問題，教師雖然反復(fù)強調(diào)不夠商1時，不要忘記商0，但在對“0”的處理上，學(xué)生卻經(jīng)常會出現(xiàn)漏掉0和沒有逐位去除的錯誤。出現(xiàn)這些問題的原因是學(xué)生對計算的算理理解不夠，沒有深入理解計算的本質(zhì)。教師需要引領(lǐng)學(xué)生理解商中間有0的除法的計算道理，讓學(xué)生觸摸運算本質(zhì)，在知識的前后關(guān)聯(lián)中逐步完善認知結(jié)構(gòu)，掌握算法，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。

三、研究后的深度思考

（一）核心問題統(tǒng)領(lǐng)主題任務(wù)，自主探索理解算理一致性

核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的單元整體教學(xué)，基于學(xué)生認知發(fā)展規(guī)律，以大問題為依托，幫助學(xué)生深刻理解學(xué)科本質(zhì)，促進學(xué)生思維能力提升。相比“滿堂講”，問題的提出能引領(lǐng)學(xué)生思考，激發(fā)思維碰撞，讓學(xué)生體驗到解決問題的樂趣，從而提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

【教學(xué)片段】自主探索，掌握算法

1.題目：（圖略）三只小猴一個桃子也沒分到很傷心，可是回到家發(fā)現(xiàn)猴媽媽早就給他們分好了，猴媽媽給他們準備了多少個桃呀？

提問：要求“每只小猴能分得多少個桃”怎樣列算式？（ 306÷3 ）

師：為什么用除法？你是怎么想的？

2.談話： 306÷3 ，你能先估計商是多少嗎？

提問： 306÷3 的商大約是多少？你是怎樣估算的？

3.嘗試筆算：

學(xué)習(xí)任務(wù)：那到底是多少呢？請你們嘗試算一算。

核心問題：在計算過程中，想一想有沒有遇到新的計算問題？你是怎么解決這個問題的？為什么可以這樣解決？

4.交流豎式：

交流：你們是怎么計算 306÷3 的？說一說你們的計算過程。你們在解決這題的時候遇到了什么新問題？

核心問題：這題的商的中間出現(xiàn)了0，這個0在什么位上？為什么商的十位上要商0？（十位上是0，0÷3=0 ）

總結(jié)：如果被除數(shù)的百位上正好除盡，那么十位上的0除以3得0，0商在十位上，個位落下來，繼續(xù)除。

在教學(xué)中，教師主要圍繞以下幾個核心大問題讓學(xué)生進行探索和研究：

（1）在探索0作為除數(shù)沒有意義環(huán)節(jié)，提問：0可以做除數(shù)嗎？為什么？

（2）在嘗試筆算環(huán)節(jié)，提問：請你們先嘗試算一算，在計算過程中，你遇到了什么新問題？說說你是怎么解決的。

（3）在對比寫法、規(guī)范書寫環(huán)節(jié)，提問：這種寫法與剛才的寫法比，哪里不一樣？

圍繞這幾個核心大問題，引導(dǎo)學(xué)生探索商中間有0的筆算除法的算理和算法，并交流在遇到新問題時是如何解決的。

從之前學(xué)過的一般的兩、三位數(shù)除以一位數(shù)，到這次的學(xué)習(xí)商中間或者末尾有0的除法，再到之后要研究的被除數(shù)中某一位上不夠商1要商0的情況，這些內(nèi)容都是相互關(guān)聯(lián)的，雖然這次學(xué)習(xí)的除法計算比較特殊，需要處理“0”的問題，但是它在計算過程中仍要遵循筆算除法的法則。通過對這些知識的學(xué)習(xí)，學(xué)生看到這些除法都要遵循統(tǒng)一的計算法則，從而學(xué)會類比遷移、舉一反三，體會運算知識的一致性。

（二）不僅要重視數(shù)學(xué)表達形式，更要理解形式背后的本質(zhì)

1.對比探究算理與算法，完善認知結(jié)構(gòu)

前面學(xué)生掌握了除數(shù)是一位數(shù)的口算和基本筆算方法，經(jīng)歷了百位夠除有剩余，百位能被整除，十位夠除且有剩余，百位不夠除等情況。關(guān)于兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的計算，學(xué)生已經(jīng)有了一定的經(jīng)驗，對除法“都是從高位開始一次均分”的理解并不困難。本節(jié)課要解決 306÷3 十位不夠商1怎么辦的問題，學(xué)生只有獨立嘗試解決，才能激發(fā)已有知識經(jīng)驗，讓課堂生成真正發(fā)生。

【教學(xué)片段】簡便算法對比出示簡便的寫法。（略）

核心問題：將這種寫法與剛才的比一比，哪里不一樣？你們覺得哪個豎式更簡便？

追問：你們認為這樣寫可以嗎？為什么？

師：我們借助方格圖（圖1）來看一看 306÷3 。

圖1

師：誰來用筆圈一圈，表示我們的計算過程？

生1：先分百位上的3，3個百除以3等于1個百，再分個位上的6，6個一除以3等于2個一，十位上是0，0除以3等于0，所以只要兩步，十位上的過程可以省略。

生2：這樣寫比較簡便。百位上的數(shù)正好除完，十位上的0除以3直接商0，這一步可以直接省略。

計算要掌握算法更要講明道理，先明理再定法。在用圖解釋算理的過程中，教師需要用數(shù)學(xué)語言去夯實算理。課上教師收集了學(xué)生簡化前后以及結(jié)果是12的幾種不同的計算過程并展示出來，引發(fā)學(xué)生的思考：雖然在形式上有不同，但它們在本質(zhì)上都是相同的。如此，學(xué)生能更好理解形式之外內(nèi)在本質(zhì)的一致性。

2.溝通知識聯(lián)系，促進結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)

在研究了商中間、末尾有0的除法之后，教師組織學(xué)生對比 306÷3 和 360÷3 以及練習(xí)中的幾道題的算式，立足單元視角，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這次學(xué)習(xí)的計算雖然有的商中間有0，有的商末尾有0，情況都不相同，但它們遵循的計算法則都是相同的：筆算除法的方法是從高位算起，一位一位地除，除到哪一位，就在那一位的上面寫商。商中間有0的除法，計算法則是一樣的，只不過遇到了新的情況一一中間有0，教師要引導(dǎo)學(xué)生對比思考，建聯(lián)溝通，將新的認識納入原來筆算除法的認知結(jié)構(gòu)中，形成更加完善、更加上位的認知結(jié)構(gòu)體系。如此，勾連了計算除數(shù)是一位數(shù)的筆算除法之間的知識，促進了學(xué)生知識體系的構(gòu)建。

（三）推理能力主導(dǎo)課堂素養(yǎng)方向，實現(xiàn)學(xué)習(xí)主 動進階

《PISA2022數(shù)學(xué)測評框架呈現(xiàn)新變化：推理成為數(shù)學(xué)素養(yǎng)的核心》一文指出，較之2012版模型，PISA2022數(shù)學(xué)框架整體結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)新的變化，就是建模過程特別凸出了“推理”的核心地位，強調(diào)在越來越復(fù)雜的環(huán)境中，我們所有培養(yǎng)的數(shù)學(xué)思維不再由基本計算過程的再現(xiàn)驅(qū)動，而由推理（演繹和歸納）驅(qū)動。

推理作為核心素養(yǎng)的重要組成部分，在教學(xué)中應(yīng)如何培養(yǎng)呢？推理的內(nèi)涵包含了演繹和歸納，涉及評價情境、選定策略、邏輯結(jié)論、制訂和描述解決方案，以及這些解決方案如何應(yīng)用。在本節(jié)課中，推理能力的培養(yǎng)在幾個設(shè)計中有所凸顯。

【教學(xué)片段】推理遷移，獲得結(jié)論

師：三只小猴去采6個桃，平均每只小猴能采到幾個桃？怎么列算式？

板書： 6÷3=2 （個）。

提問：你是怎樣想的？（課件上分一分）

師：現(xiàn)在呢？樹上有3個桃，平均每只猴能摘幾個桃？ 3÷3=1 （個）。

師：現(xiàn)在樹上有幾個桃？（一個桃都沒有）我們用哪個數(shù)表示？（0）現(xiàn)在每只猴平均能得多少個桃？

（0）可以怎樣列算式？

預(yù)設(shè)： 0÷3=0 ，你是這樣想的嗎？（一個都摘不到，0個）

師：如果是4只猴，怎么列算式？（板書： 0÷4=0 0如果是5只猴呢？（ 0÷5=0 如果是10只呢？（ 0÷10=0 ）

談話：這樣的算式寫得完嗎？那你能用一個算式把所有這些情況都包含了嗎？

0÷（γ）=0 ，預(yù)設(shè)：0除以任何數(shù)都等于0。你有不同想法的嗎？

師：0可以做除數(shù)嗎？ 0÷0 可以嗎？為什么？（結(jié)合情景理解一只猴也沒有，“分”就沒有意義了）

師（評價）：你真會聯(lián)系實際想問題，如果猴沒有了，那“分”還有意義嗎？

小結(jié)：0除以任何數(shù)都等于0，要加個條件—0除外。

本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生從‘ ?0÷3=0 ， 0÷4=0 ， 0÷6=0 到 ^s0 除以所有數(shù)都得0嗎？0可以除以0嗎？”進行討論，通過舉出更多例子進行推理、結(jié)合乘法聯(lián)系情境進行關(guān)聯(lián)，最終獲得結(jié)論。這樣的教學(xué)層層遞進，推理逐漸深入，最終用不完全歸納推理得出結(jié)論。

學(xué)生在獲得大量計算活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，進一步掌握算法，再對商中間有0的筆算除法的計算規(guī)則進行提煉、歸納和總結(jié)。這整個過程蘊含了歸納推理，從而讓學(xué)生理解算理和形成計算技能。教師只有為學(xué)生提供有效的深度的結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)策略，學(xué)生才能更好地把握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，進而在不斷進階的思考、探究中“撥云見日”。

培養(yǎng)學(xué)生的運算能力不只為做題，教師要讓學(xué)生充分感受運算體驗，領(lǐng)悟運算規(guī)則的重要性，在理解算理的同時從學(xué)科導(dǎo)向轉(zhuǎn)向育人導(dǎo)向，幫助他們樹立積極的、正確的數(shù)學(xué)觀，進而滋養(yǎng)理性思維、提升核心素養(yǎng)。

【參考文獻】

[1]劉徽.大概念教學(xué)：素養(yǎng)導(dǎo)向的單元整體設(shè)計[M].北京：教育科學(xué)出版社，2022.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[3]鞏子坤，張希，金晶，等.程序性知識課程設(shè)計的新視角：算理貫通，算法統(tǒng)整[J].課程·教材·教法，2021（6）.

[4]史寧中.基本概念與運算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[5]鞏子坤，劉萍.論數(shù)的概念與運算的一致性之三：整數(shù)運算算理、算法的一致性[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2022（10）.