直擊認知堵點 建構運算一致

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2025）20-0063-04

“三位數乘兩位數的筆算\"是在學生掌握兩、三位數乘一位數算法和理解兩位數乘兩位數算理的基礎上展開教學的，屬于整數乘法學習的最后階段。日常教學中，教師通常先引導學生獨立列豎式計算 128×16 的積，再針對課堂生成的錯誤資源進行評析，最后進行變式練習。此類教學僅聚焦于算法遷移與運算技能的提升，忽視了知識間的內在邏輯關聯。因此，本節課的教學需精準把握學生的認知起點，重視對整數乘法算理與算法的梳理；以具體教學內容為載體，引導學生探索并掌握多位數乘法的算理和算法，從整體上理解和掌握整數乘法，進而建構運算一致性。

一、精準分析學情，明確認知起點

蘇教版教材將整數乘法的內容劃分為四個層次，整體編排呈現層層遞進、螺旋上升的特點（如圖1），這意味著學生是在具備筆算乘法的基礎上學習“三位數乘兩位數筆算”一課。然而在日常教學中，教師多依賴經驗和推測開展教學，難以精準把握學生的現有發展水平。

“最近發展區”是學生現有發展水平與可能發展水平之間的差距。了解學生的真實狀態，精準分析學情，能為課堂教學的設計與實施提供依據與保障。

（一）精心設計前測單

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出：“數的運算的重點在于理解算理、掌握算法體會數的運算本質上的一致性。\"“在解決問題的過程中，能結合具體情境選擇合適的單位進行簡單估算。\"基于此，筆者將學生的估算意識、計算方法的遷移水平，以及解釋算理的能力作為前測的考查內容。具體前測內容見表1。

（二）精準分析前測結果

前測對象為筆者所在學校三年級兩個班的學生（已學過“兩位數乘兩位數”），共86人。這兩個班的學生成績處于中等水平，能夠代表學校的整體情況。具體前測結果：首先， 93% 的學生會估算，但估算方法并非最優（如只對其中一個因數進行估值）；少部分學生未理解估算意義，先精確計算，再“四舍五人\"得出結果。其次， 95.3% 的學生能運用筆算方法計算 324×26 （筆算正確率為 70.9% ，說明大部分學生會將已學的筆算方法遷移到“三位數乘兩位數”的計算中； 7% 的學生將324寫成 300+24 ，分別計算兩位數乘兩位數與兩位數乘整百數的積后再相加，說明他們能通過計數單位的\"分\"與“合”將三位數乘兩位數轉化為兩位數乘法的組合計算，但簡算意識不足；學生出錯的原因集中于進位錯誤、對計算步驟不熟練。再次， 33.7% 的學生能結合筆算過程寫出每一步的含義，說明這部分學生理解算理； 10.5% 的學生先將26拆分為20和6（或將324拆分為300和24）后分別計算，再將結果合并；約30% 的學生雖能正確筆算，但無法解釋算理，僅機械執行計算程序。最后，學生的提問主要圍繞乘法的計算方法展開，說明他們對乘法計算的方法形成了結構化思考。

綜合上述分析可知，多數學生已掌握整數乘法的估算方法，能實現算法遷移，正確書寫三位數乘兩位數的筆算過程，但只有少數學生對算理有清晰認知。結合《課程標準》對四年級學段的明確要求，可厘清學生學習過程中存在的三個關鍵堵點：第一，學生對估算的意義理解不足，對三位數乘兩位數筆算的步驟掌握不牢固；第二，多數學生難以從計數單位的角度解釋運算過程，理解算理存在斷層；第三，學生雖能對整數乘法的計算方法進行結構化歸納，但尚未建構完整的整數乘法知識體系，無法體會運算一致性。

二、疏通認知堵點，確定學習目標

估算是培養學生猜測、推理、判斷能力，提升學生綜合與概括素養的重要載體。理解算理、將未知轉化為已知、建立整數乘法間的關聯，則是運算一致性的核心體現。若無法有效疏通這些認知堵點，學生便難以理解知識的本質關聯，他們在綜合素養的發展也將受限

（一）對比教材內容

筆者就“三位數乘兩位數\"的內容對蘇教版、人教版、北師大版、青島版四個版本的教材進行對比分析，嘗試尋找理想的疏通認知堵點的方法。具體內容見表2。

對比四個版本教材可知，共同特征如下：均通過具體情境創設，引導學生遷移已有經驗實現從未知到已知的轉化；注重算法總結與算理滲透，在解決問題的過程中發展學生的數感與運算能力。具體差異如下：在北師大版教材側重結合情境開展估算教學，并通過不同算法的對比，借助圖表直觀展示數的“分\"與“合”，將三位數乘兩位數與兩、三位數乘一位數及兩位數乘兩位數的計算邏輯有機串聯起來；青島版教材則通過辨析明確估算方法。

由此，筆者提煉出疏通認知堵點的理想路徑：創設真實情境，在情境中深化學生對估算意義的理解；知識正遷移，引導學生系統總結整數乘法的計算方法；對比不同算法，引導學生充分探討并理解算理本質；借助小棒、圖表等直觀工具引導學生感悟乘法本質，將計算方法拓展至“多位數乘多位數”的一般化場景；注重豎式書寫規范的指導，確保運算形式的統一性與規范性。

（二）梳理關鍵問題

縱觀蘇教版教材中關于整數乘法的編排，無論是兩、三位數乘一位數，還是兩位數乘兩位數，教材均通過問題情境培養學生的估算意識，借助豎式促使學生掌握算法，利用小棒幫助學生理解算理。但蘇教版教材未過多體現估算與算理，這是否意味著估算與算理不重要？這引發筆者對教材編排意圖的深入思考：學生在前期的學習中積累了一定的知識經驗，本節課應以知識正遷移為抓手，通過遷移實現知識的前后聯系。

因此，筆者提煉出本節課的四個關鍵問題：如何快速判斷月星小區的住戶數量？怎樣計算三位數乘兩位數？如何理解教材中相關圖表的數學含義？為何之后的課程不再繼續學習多位數乘多位數？

（三）確定學習目標

學習目標是保障學習質量的前提。結合教材特點與學生認知需求，本節課的學習目標確定為：

目標1.基于具體情境體會估算的意義；經歷遷移學習多位數乘法經驗的過程，探索并掌握三位數乘兩位數的筆算方法，能正確計算結果，形成運算能力。

目標2.結合豎式說明每一步運算的含義，理解算理；通過對比分析明確整數乘法的聯系，理解計數單位在乘法運算中的作用，體會運算的一致性。

目標3.通過變式習題發展推理意識，感受數學的嚴謹性，提升學習數學的興趣與自信心。

三、立足運算一致性，探索教學路徑

（一）領悟估算意義

1.情境創設

師：月星小區有16幢樓，平均每幢樓住28戶。中秋節要到了，小區物業計劃為每戶業主準備1份中秋禮盒，準備600份夠嗎？

生1：夠。把16看成20，把28看成30，大約有20×30=600 （戶）。

生2：夠。把16看成20，大約有 20×28=560 （戶）。

師：兩位同學都不約而同地選擇了估算。估算能快速確定結果的大致范圍，比筆算更便捷。

2.復習舊知

師：要精確算出一共有多少戶，需要

生3：筆算。

師：請大家嘗試筆算。

師：第一步算得的“128”表示什么？第二步算得的“32”表示什么？

生4：如果每幢有8戶，16幢就有128戶。

生5：“32”其實是320，表示32個十。

估算是基于對數據的整體感知，通過推理對運算結果進行合理預判。日常生活中，人們常用估算解決一些常見的問題，但學生解決問題時更習慣精確計算，容易忽視估算的作用。因此，教師要有意識地設計生活情境，通過“夠不夠”的問題，引導學生用估算解決問題，進而領悟估算的意義。同時，復習兩位數乘兩位數的筆算，能夠激活學生的已有認知經驗，為后續學習三位數乘兩位數打下基礎，幫助學生快速捕捉方法和原理。

（二）遷移運算方法

1.正向遷移

師：月星小區有16幢樓，平均每幢樓住128戶。中秋節要到了，小區物業計劃為每戶業主準備1份中秋禮盒。一共要準備多少份禮盒？

生1：先算6幢樓一共有多少戶，列式計算 128× 6=768 （戶）；再計算10幢樓一共有多少戶，列式計算 128×10=1280 （戶）；最后算一共有多少戶，列式計算 768+1280=2048 （戶）。

生2：把16寫成 4×4 ，先算 128×4=512 （戶），再算 512×4=2048 （戶）。

生3：我是筆算 128×16 □

2.對比總結

師：前兩位同學利用學過的兩、三位數乘一位數的方法算出結果，但第三位同學寫的“ 128×16 ”是一個幾位數乘幾位數的式子？

生4：三位數乘兩位數，我們之前沒有學過。

師：會算嗎？

生5：它和我們之前學過的兩位數乘兩位數的算法相同。

師：具體說說。

生5：都是用第二個數的個位去乘第一個數，再用第二個數的十位去乘第一個數，最后把結果相加。

師：不管是兩、三位乘一位數，還是兩位數乘兩位數，都是我們學過的知識。將沒學的轉化為學過的知識，問題就迎刃而解了。請同學們動筆算一算。

將例題稍加改編，通過算法的多樣性促進學生的思維多樣性發展，增強新舊知識間的聯系。教學中充分發揮學生原有經驗的作用，使學生的計算探究充滿思維的遷移。學生通過觀察算式會發現：筆算乘法的實質是將多位數乘多位數拆分成若干個多位數乘一位數，最后把結果相加。

（三）厘清乘法算理

1.解釋含義

師：不僅要算對，還要知道每一步的含義。這里的“768”表示什么？

生1：表示768個一。

師：這里的“128”表示什么？生2：128個十。師：2048又表示什么？生3：表示2048個一。

2.圖表釋義

師（出示圖2）：你能看懂這個圖嗎？

生4：把128分成1個一百、2個十和8個一，把 16分成1個十和6個一。

生5：將這些數的乘積加起來就得到結果。

學生借助之前的經驗能夠迅速算出結果，但對其中蘊含的算理仍是認知模糊的。而借助計數單位說出每一步的含義，利用圖表再次認識三位數乘兩位數的筆算，就能直觀感知乘法計算就是相同計數單位不斷累加的過程。這樣就通過計數單位理解了運算一致性。

（四）建構運算體系

1.編題練習

師：請先編一道三位數乘兩位數的算式，然后同桌交換算一算，最后說說計算方法和每一步的含義。

師：哪個算式的結果是最大的？

生1：最大的是 999×99=98901 。

師：那最小的是多少？

生2：最小的是 100×10=1000 ，這是一個四位數。

師：看來，三位數乘兩位數的積不是四位數，就是五位數。

2.拓展延伸

師（出示圖3）：看到這個式子，你有什么想說的？

生3：這是四位數乘四位數，我們還沒學。

生4：雖然沒學，但可以應用剛學的知識計算。

師：怎么計算？

生5：就是多乘幾次，依次用第二個數各數位上的數去乘第一個數，得到的幾個一、幾個十、幾個一百、幾個一千，最后加起來。

師：是的，不管是三位數乘兩位數，還是四位數乘兩位數，都可以用“先分后合”的方法計算

3.系統聯結

師：大家猜接下來還會學習哪些運算？

生6：三位數乘三位數、四位數乘三位數。

師：事實上，三位數乘兩位數是整數乘法板塊最后的計算課了。想一想，為什么不繼續學多位數乘多位數了呢？

生7：因為計算方法都一樣，只不過計算步驟復雜些罷了。

師：是的，掌握了方法并學會遷移，很多復雜的題目就迎刃而解了。

數學知識之間聯系緊密，特別是數的認識和數的運算，本質上具有一致性。四位數乘三位數的知識能引導學生發散思維，從而構建系統的計算方法。

本節課以運算一致性為核心，實施“領悟估算一遷移方法一厘清算理一建構體系\"的路徑，從估算的整體感知到算理的直觀辨析，從算法遷移應用到體系系統建構，學生逐步體會到多位數乘法的核心是“先分后合”，是相同計數單位的累加。這種基于一致性的教學，不僅提升了學生的運算能力與推理意識，還讓學生學會用整體眼光看待數學知識，為后續學習與解決復雜問題奠定思維基礎。

[參考文獻]

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