結(jié)構(gòu)化視角下小學(xué)數(shù)學(xué)高質(zhì)量作業(yè)設(shè)計(jì)策略

在基礎(chǔ)教育改革持續(xù)推進(jìn)的背景下，作業(yè)設(shè)計(jì)的提質(zhì)增效成為當(dāng)下重要的研究課題。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》注重教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，要求教師整體把握教學(xué)內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。以結(jié)構(gòu)化視角設(shè)計(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)，將分散的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有序整合與系統(tǒng)編排，有助于破解傳統(tǒng)作業(yè)目標(biāo)單一、層次模糊、知識(shí)碎片化等問題，促使學(xué)生從整體視角把握數(shù)學(xué)知識(shí)的全貌，避免陷人孤立知識(shí)點(diǎn)機(jī)械記憶的陷阱，從而切實(shí)提升作業(yè)質(zhì)量。對(duì)此，可從內(nèi)容、方法、思維、語(yǔ)言、思想五個(gè)方面建立數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，設(shè)計(jì)知識(shí)和素養(yǎng)深度融合的高質(zhì)量作業(yè)，在多元任務(wù)中全面發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)內(nèi)容，編織知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程由數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐四個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域組成。每個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域中的學(xué)習(xí)內(nèi)容并非孤立存在的，而是相互交織、互為支撐的。例如，在“數(shù)與代數(shù)\"領(lǐng)域，整數(shù)的運(yùn)算規(guī)則為小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算提供了基礎(chǔ)范例。像整數(shù)加法中的數(shù)位對(duì)齊原則，在小數(shù)加法中同樣適用，體現(xiàn)為關(guān)注小數(shù)點(diǎn)的位置。在分?jǐn)?shù)加法中，也遵循相同分?jǐn)?shù)單位相加的理念。對(duì)于異分母分?jǐn)?shù)，借助通分先將其轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)就是為了統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位。這一過程又與整數(shù)除法中的倍數(shù)關(guān)系有所關(guān)聯(lián)。基于此，教師可依據(jù)知識(shí)關(guān)聯(lián)設(shè)計(jì)分層作業(yè)。基礎(chǔ)層鞏固整數(shù)運(yùn)算，如整數(shù)加減法的豎式計(jì)算；提高層延伸到小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算，如小數(shù)混合運(yùn)算；拓展層則要求闡述整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算規(guī)則間的聯(lián)系，如整數(shù)乘法的分配律在分?jǐn)?shù)乘法中是否同樣適用。由此，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)關(guān)聯(lián)性的理解。

此外，各個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域的學(xué)習(xí)內(nèi)容之間也存在關(guān)聯(lián)。在“圖形與幾何\"領(lǐng)域，不同圖形的面積公式推導(dǎo)過程彼此關(guān)聯(lián)。在“統(tǒng)計(jì)與概率\"領(lǐng)域，數(shù)據(jù)的收集與整理過程離不開“數(shù)與代數(shù)\"領(lǐng)域中的計(jì)數(shù)知識(shí)，而對(duì)數(shù)據(jù)的分析與解讀又常常借助“圖形與幾何”領(lǐng)域中的圖表繪制來(lái)直觀呈現(xiàn)。對(duì)此，教師在設(shè)計(jì)練習(xí)時(shí)，可巧妙設(shè)置融合多個(gè)學(xué)習(xí)領(lǐng)域知識(shí)的綜合性題目。如給出一組幾何圖形的邊長(zhǎng)數(shù)據(jù)，要求學(xué)生先計(jì)算圖形面積，再將這些面積數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，找出最大值、最小值及平均值等。這樣的綜合性作業(yè)適合小學(xué)高年級(jí)學(xué)生，在他們分別學(xué)習(xí)完長(zhǎng)方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形等常見圖形的面積計(jì)算，并掌握簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)收集、整理、統(tǒng)計(jì)圖表繪制等知識(shí)之后開展。五、六年級(jí)學(xué)生已具備一定的抽象思維能力，能理解常見圖形面積公式的推導(dǎo)過程，也掌握了基本的計(jì)數(shù)方法和簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)處理。通過這樣的作業(yè)，學(xué)生能夠清晰地感知不同數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，逐步構(gòu)建起全面而系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力。

二、關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)方法，整合多元解題策略

解決數(shù)學(xué)問題有很多常用的數(shù)學(xué)方法，如畫圖法、列表法、分析法、綜合法、轉(zhuǎn)化法、還原法、假設(shè)法等。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生會(huì)面臨各種各樣的問題，而解決這些問題的方法具有一定的通用性與關(guān)聯(lián)性。

例如，畫圖法在多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)與問題解決中發(fā)揮著重要作用。在行程問題中，如“甲、乙兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，甲的速度是每小時(shí)5千米，乙的速度是每小時(shí)4千米，兩人經(jīng)過3小時(shí)相遇，求A、B兩地間的距離”，通過繪制線段圖，能夠直觀地呈現(xiàn)出兩人的出發(fā)地、行走方向、相遇地點(diǎn)以及他們所行走的路程與時(shí)間之間的關(guān)系，從而幫助學(xué)生輕松找到解題思路。即先計(jì)算甲、乙兩人每小時(shí)行走的速度和，再計(jì)算兩人3小時(shí)行走的路程和，或者先計(jì)算甲3小時(shí)行走的路程，再計(jì)算乙3小時(shí)行走的路程，最后計(jì)算兩人行走的路程和。在計(jì)算組合圖形的面積時(shí)，需先將復(fù)雜的組合圖形通過分割或添補(bǔ)等方法轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的基本圖形，再借助基本圖形的面積公式進(jìn)行計(jì)算。在這一過程中，畫圖法同樣不可或缺，它能夠幫助學(xué)生清晰地展示圖形分割或添補(bǔ)的思路。而通過多種思路的比較，學(xué)生能夠明晰不管是分割法還是添補(bǔ)法，目的都是把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積，從而感受到數(shù)學(xué)方法之間的聯(lián)系。

因此，在設(shè)計(jì)解決問題的作業(yè)，尤其是設(shè)計(jì)中高年級(jí)的作業(yè)時(shí)，教師可要求學(xué)生先根據(jù)題目意思畫圖，然后分析圖形，使用多種方法求解，在對(duì)比中建立多種方法之間的聯(lián)系。如：景尚動(dòng)物園有一塊長(zhǎng)方形花園，長(zhǎng)60米，寬50米，現(xiàn)要對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)建，將長(zhǎng)和寬都增加10米，求花園增加的面積。要求先畫出示意圖，再分析示意圖，用多種方法求解。這一作業(yè)要求指向明確，學(xué)生通過畫圖、分析圖，整合多種解題方法，深切感受到它們之間的聯(lián)系，體會(huì)了畫圖的價(jià)值、轉(zhuǎn)化的魅力。

三、關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)思維，構(gòu)建連貫思維模式

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)程中，隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生的思維從形象思維逐步過渡到抽象思維，呈現(xiàn)出一定的階段性與連貫性。低年級(jí)側(cè)重于以形象化的操作進(jìn)行感知。例如，在認(rèn)識(shí)數(shù)字的初期，學(xué)生往往通過數(shù)小棒、擺方塊等具體的實(shí)物操作來(lái)理解數(shù)字的含義與數(shù)量關(guān)系。如認(rèn)識(shí)數(shù)字7時(shí)，學(xué)生可以直觀地?cái)?shù)出7根小棒或者7個(gè)方塊，從而建立起對(duì)數(shù)字7的初步認(rèn)知。而到了高年級(jí)，則強(qiáng)調(diào)抽象思維在實(shí)際中的運(yùn)用。例如，在學(xué)習(xí)方程時(shí)，學(xué)生需要從具體的數(shù)量關(guān)系描述中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)和方程表達(dá)式。如針對(duì)問題“一個(gè)數(shù)加上5等于12，求這個(gè)數(shù)”，學(xué)生要能夠用等式 x+5=12 來(lái)表示題目中的數(shù)量關(guān)系。

正因如此，教師在設(shè)計(jì)作業(yè)的過程中，需進(jìn)一步深化對(duì)學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律的把握。一方面，要將邏輯思維與直覺思維的協(xié)同培養(yǎng)融人不同階段的作業(yè)體系中。在低年級(jí)以形象思維主導(dǎo)的階段，設(shè)計(jì)如“觀察一組由積木搭建的立體圖形，猜猜還需要幾塊積木能補(bǔ)成正方體\"這類題目，既調(diào)動(dòng)學(xué)生的直覺判斷，又暗含簡(jiǎn)單的空間邏輯推理。高年級(jí)則可設(shè)計(jì)“在商場(chǎng)促銷活動(dòng)中，憑直覺選擇最優(yōu)惠的購(gòu)買方案，再用百分?jǐn)?shù)知識(shí)進(jìn)行精確計(jì)算驗(yàn)證”的作業(yè)，使學(xué)生靈活切換思維模式。

另一方面，需延續(xù)“由淺入深、循序漸進(jìn)\"的設(shè)計(jì)原則，在同一主題的作業(yè)中為學(xué)生搭建思維的階梯。例如，可先提供一些需要通過直觀操作或形象思維解決的問題，再逐步過渡到需要抽象思維和邏輯推理的題目。以“三角形面積”為例，教師設(shè)計(jì)了如下進(jìn)階練習(xí)。

1.用兩個(gè)完全一樣的三角形紙片拼一拼，能拼成哪些熟悉的圖形？請(qǐng)記錄下來(lái)。2.已知一個(gè)三角形底是5厘米，高是4厘米，求它的面積。3.一個(gè)三角形的面積是30平方厘米，高是6厘來(lái)，它的底是多少厘來(lái)？若該三角形的底增加2厘米，它的面積會(huì)增加多少？

第1題為直觀操作題。低年級(jí)學(xué)生以形象思維為主，此題讓學(xué)生通過動(dòng)手操作，直觀感受三角形與其他圖形的關(guān)系，為理解三角形面積公式做鋪墊。第2題為簡(jiǎn)單應(yīng)用題。在第1題中，學(xué)生已通過直觀操作理解了公式的推導(dǎo)過程。此題讓學(xué)生初步運(yùn)用公式計(jì)算面積，從直觀操作向抽象思維過渡。第3題為綜合推理題。學(xué)生不僅要逆向運(yùn)用面積公式求底，還要推理底變化時(shí)面積的變化，由此培養(yǎng)抽象思維與邏輯推理能力。通過這樣逐層進(jìn)階的練習(xí)，學(xué)生能夠逐步構(gòu)建起連貫、系統(tǒng)的思維模式，促進(jìn)思維能力的全面提升。

四、關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，搭建準(zhǔn)確表達(dá)橋梁

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言通常相互影響、相互關(guān)聯(lián)、相互補(bǔ)充。以“三角形內(nèi)角和是 180^° ”這一知識(shí)點(diǎn)為例，文字語(yǔ)言基本、全面地表達(dá)了三角形內(nèi)角和的性質(zhì)；符號(hào)語(yǔ)言用一個(gè)簡(jiǎn)單的算式 ∠A+∠B+∠C=180^° （其中∠A，∠B，∠C 為三角形的三個(gè)內(nèi)角)來(lái)表示，便于在數(shù)學(xué)推理和計(jì)算中使用；圖形語(yǔ)言則通過繪制三角形并標(biāo)注內(nèi)角的方式，直觀地呈現(xiàn)三角形內(nèi)角和的概念，使學(xué)生更易于理解。

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，三種數(shù)學(xué)語(yǔ)言常常需要相互轉(zhuǎn)換。例如，在描述“一個(gè)數(shù)的3倍加上5等于14，求這個(gè)數(shù)”這一問題時(shí)，首先面對(duì)的是文字語(yǔ)言表述，它可以轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言 3a+5=14 （其中 a 表示所求的數(shù)）。而在求解過程中，可能還需要借助圖形語(yǔ)言，如畫線段圖來(lái)表示數(shù)量關(guān)系，幫助理解求解步驟。

在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)，教師可以安排一些需要學(xué)生轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語(yǔ)言的題目，具體可分為三種類型。第一類，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言。教師出示文字表述：果園里有梨樹和蘋果樹，梨樹的數(shù)量比蘋果樹的2倍少5棵，蘋果樹有20棵，梨樹有多少棵？學(xué)生可設(shè)梨樹有 a 棵，根據(jù)題意得出 a=2× 20-5，從而將文字語(yǔ)言提煉為符號(hào)語(yǔ)言，培養(yǎng)抽象概括能力。也可采取畫線段圖的方式，先畫一條線段表示20棵蘋果樹，再畫一條線段表示梨樹的棵數(shù)，梨樹線段的長(zhǎng)度應(yīng)為蘋果樹線段長(zhǎng)度的2倍少一小段(代表5棵)，從而將文字語(yǔ)言用圖形語(yǔ)言的形式直觀呈現(xiàn)，加深對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解。

第二類，將符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言或圖形語(yǔ)言。教師出示關(guān)系表達(dá)式： 3a+2=17 。對(duì)此，學(xué)生可用文字表述為：一個(gè)數(shù)的3倍加上2等于17，求這個(gè)數(shù)。也可以采取畫圖的方式，先畫一個(gè)長(zhǎng)方形表示整體17，再將其分為兩部分：一部分是一個(gè)小長(zhǎng)方形，表示2；另一部分平均分成3份，每份用 a 表示。如此，通過把抽象的符號(hào)轉(zhuǎn)化為文字或圖形，理解關(guān)系表達(dá)式的實(shí)際意義，提升數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。

第三類，將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言。教師出示一個(gè)直角三角形，它的一條直角邊的長(zhǎng)度為4厘米，另一條直角邊的長(zhǎng)度為3厘米，斜邊長(zhǎng)度為5厘米，并標(biāo)注好各邊長(zhǎng)度。學(xué)生可先將其用文字表述為：有一個(gè)直角三角形，兩條直角邊的長(zhǎng)度分別為4厘米和3厘米，斜邊長(zhǎng)度為5厘米，求該直角三角形的面積。再設(shè)面積為S，將圖形轉(zhuǎn)化為算式s=1× 。如此，學(xué)生經(jīng)歷了從圖形中獲取信息并用語(yǔ)言表述，再用符號(hào)解決問題的完整過程，鍛煉了數(shù)學(xué)思維與語(yǔ)言表達(dá)能力。

通過上述作業(yè)，學(xué)生能夠更加準(zhǔn)確、流暢地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)思想，對(duì)于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)交流水平的提升和數(shù)學(xué)思維的發(fā)展有很大的幫助。

五、關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)核心本質(zhì)

數(shù)學(xué)思想是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的關(guān)鍵。而轉(zhuǎn)化思想是其中應(yīng)用最為廣泛、聯(lián)系最為密切的一種數(shù)學(xué)思想。例如，在計(jì)算平行四邊形面積時(shí)，教師通常會(huì)采取割補(bǔ)法，將其轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形來(lái)計(jì)算，從而把未知的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為已知的容易理解的問題，使學(xué)生的學(xué)習(xí)更加自然、順暢。在計(jì)算圓柱體積時(shí)，則引導(dǎo)學(xué)生將圓柱轉(zhuǎn)化為近似的長(zhǎng)方體，從而順利地解決問題。

此外，函數(shù)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中也有初步的體現(xiàn)。如在探究“一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)與它的周長(zhǎng)之間的關(guān)系\"時(shí)，教師可以放手讓學(xué)生隨便畫自己喜歡的正方形，算出它的邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)。接著，讓學(xué)生進(jìn)行全面的展示，并將邊長(zhǎng)按從小到大的順序排列。學(xué)生由此可以發(fā)現(xiàn)：隨著邊長(zhǎng)的不斷變化，周長(zhǎng)也在不斷變化，其中蘊(yùn)含著函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系思想。

教師設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)，可以有意識(shí)地將不同的數(shù)學(xué)思想融入題目。例如，在學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積計(jì)算方法后，可設(shè)計(jì)如下練習(xí)。

1.下面四種剪拼方法中，不可以推導(dǎo)出平行四邊形面積計(jì)算公式的是。 (M，N 是所在邊的中點(diǎn)）

2.平行四邊形一條底邊的長(zhǎng)是10厘米，該邊上的高是6厘米，另一條底邊的長(zhǎng)是8厘米，該邊上的高是多少厘米？比較這兩組底和高，你有什么發(fā)現(xiàn)？

第1題讓學(xué)生通過圖形的轉(zhuǎn)化，在操作與計(jì)算的過程中體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。第2題則引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比同一個(gè)平行四邊形底和高數(shù)據(jù)的變化，發(fā)現(xiàn)其中的函數(shù)關(guān)系，從而逐步領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵與價(jià)值，提升數(shù)學(xué)思維的深度與廣度。

總之，高質(zhì)量的作業(yè)設(shè)計(jì)應(yīng)注意關(guān)聯(lián)內(nèi)容、方法、思維、語(yǔ)言和思想等五個(gè)方面，引領(lǐng)學(xué)生探索知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，促使他們形成多元化的解題策略、連貫的思維模式、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力以及對(duì)數(shù)學(xué)思想的深刻領(lǐng)悟，全方位提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而為其未來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)而穩(wěn)固的基礎(chǔ)。

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（福建省福州高新區(qū)第一中心小學(xué)）